Kotilon rakenne noudattaa Fibonaccin sarjaa. Kuva: F. Martinez Clavel /SPL/MVPhotos
Kotilon rakenne noudattaa Fibonaccin sarjaa. Kuva: F. Martinez Clavel /SPL/MVPhotos

Fibonaccin sana jatkuu loputtomasti, mutta ei toista koskaan itseään. Sillä on muitakin matemaatikkoja kiehtovia ominaisuuksia.

Onko sana abaababaabaab… tuttu?

Se on Fibonaccin sana. Kahdella kirjaimella muodostettu merkkijono rakennetaan samantyyppisillä säännöillä kuin Fibonaccin lukujono, joka menee 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. . . Lukujono muodostetaan ottamalla uudeksi luvuksi aina kahden edellisen luvun summa.

Fibonaccin sana pitenee samaa tahtia kuin lukujonon kanssa.

Sisältö jatkuu mainoksen jälkeen

Ensimmäiset sanat ovat b ja a. Kaikki niitä seuraavat sanat muodostetaan pistämällä kaksi edellistä putkeen. Näin:

b

Sisältö jatkuu mainoksen alla

a

ab

aba

abaab

abaababa

abaababaabaab

Ja niin edelleen.

Listassa, josta Fibonaccin sana muodostetaan on ensimmäisenä b, jotta itse sana saadaan alkamaan a:lla. Tuloksena on loputon kirjainjono, joka ei koskaan toista itseään.

Sana tai merkkijono ilmestyi merkkijoukkoja tutkivaan matematiikkaan eli kombinatoriikkaan viimeistään 1940-luvulla.

Fibonaccin sanan keksijästä ei ole varmuutta. Ensimmäisen kerran se mainittiin tutkimuskirjallisuudessa vuonna 1947. Vastaava kehitelmä mainittiin toisessa yhteydessä satoja vuosia aiemmin.

”Fibonaccin sana on yksinkertainen. Siihen tarvitaan vain kaksi merkkiä ja sen luomiseen tarvittava sääntö on selvä”, selittää Turun yliopiston tutkijatohtori Jarkko Peltomäki. Turun yliopistolla on kombinatoriikan tutkimuksessa pitkät perinteet.

”Siitä huolimatta Fibonaccin sanalla on paljon erikoisia ominaisuuksia. Aika usein, jos joku keksii kombinatoriikassa uuden idean, sitä testataan juuri ensin Fibonaccin sanalla. Emme vielä tunne sen kaikkia outouksia.”

Yksi esimerkki sanan erikoisuuksista on professori Juhani Karhumäen todistus vuodelta 1983.

Todistuksen mukaan jokainen Fibonaccin sanassa esiintyvä lyhyempi sana esiintyy enintään kolmesti peräkkäin, muttei koskaan neljästi. Aba on jo sanan alun lähellä kolmesti peräkkäin, mutta yhdistelmää abaabaaba­aba ei löydy sanasta kertaakaan.

Fibonaccin sana on mahdollisimman vaikea hahmotettava klassiselle etsintäalgoritmille, joka pyrkii löytämään sanoista tuttuja merkkijonoja.

”Jokin Fibonaccin sanan rakenteesta tekee sellaisen, ettei algoritmi saa otetta. Algoritmi joutuu vertailemaan merkkejä paljon enemmän kuin yleensä.”

Mikään rajallisen mittainen Fibonaccin sana ei ole palindromi, jollaisen voi lukea kumminkin päin. Sanasta voi tehdä palindromin poistamalla kaksi viimeistä kirjainta.

Peltomäki on tutkinut Fibonaccin sanaa itsekin.

”Se on kiehtova, koska se on niin hyvin tunnettu, mutta siitä voi silti löytää aina uutta.”

Hän kertoo yhden oman tuloksensa, jonka löysi kollegansa Markus Whitelandin kanssa.

Sen ideana on kirjoittaa Fibonaccin luku käyttämällä kuutta sanaa, joista jokaisessa toistuu sama kahdesti. Ne ovat aa, abab, abaaba, baba, baabaa, baababaaba. Näiden avulla voidaan kirjoittaa miten pitkä Fibonaccin sana tahansa, tähän tyyliin: abaaba baabaa baba abab aa baababaaba abab aa baba abaaba. . .

Seuraavassa vaiheessa poistetaan jokaisesta kuudesta sanasta aina puolet. Saadaan merkkijono joka alkaa näin: aba baa ba a baaba ab a ba aba. . .

Yhtä lailla loputtoman pitkä, itseään toistamaton merkkijono, muttei Fibonaccin sana.

Mutta tässä ei vielä kaikki. Jos laitamme Fibonaccin sanan eteen lisätään kaksi merkkiä, b ja a, ne sekoittuvat ensimmäiseen merkkiin ja muuttavat näin koko merkkijonon jakautumista kuuden sanan kesken.

Jos toistot poistetaan, on lopputulos sama kuin mistä lähdettiin eli Fibonaccin sana, jonka edessä ovat nuo kaksi merkkiä.

”Eli poistamme puolet, ja kuitenkin jäljelle jää sama sana. Se kertoo, miten Fibonaccin sana yllättää aina uudelleen.”

Sisältö jatkuu mainoksen alla