Kirjoitukset avainsanalla normaalijakauma

Kosmisen lämpösäteilyn kuva vauvauniversumista. Kuva: Pablo Carlos Budassi / Wikimedia Commons

Ylistin vuoden takaisessa kirjoituksessa normaalijakauman mittaamatonta arvoa ja kauneutta. Nyt on jatko-osan vuoro. Eli aika selvittää, miksi poikkeamat täydellisen normaalijakauman kauneudesta voivat olla jopa puoleensavetävämpiä ja arvokkaampia kuin itse kauneus.

Havainnollistetaan poikkeamien tärkeyttä eräällä tunnetuimmista normaalijakaumista, ihmisväestön pituusjakaumalla.

Täysikasvuisten suomalaisten pituusjakauma näyttää suunnilleen tältä:

Jakauma ei näytä normaalilta. Miksi?

Syy selviää jakamalla aikuiset kahteen porukkaan: niihin joilla on Y-kromosomi ja niihin joilla ei ole. Näissä osaväestöissä pituuden jakauma näyttää likimain tältä:

Y-kromosomillisten pituus eli sininen käyrä ja Y-kromosomittomien pituus eli punainen käyrä noudattavat kumpikin erikseen omaa normaalijakaumaansa.

Pituusjakauman poikkeama normaalista on johtolanka, josta tiedämme etsiä symmetrian rikkovaa tekijää. Syyllisen tunnistaminen Y-kromosomiksi havainnollistaa muutamaa tilastollisen tutkimuksen vaihetta: 1) tutkitaan kiinnostavaa muuttujaa (pituus) kiinnostavasta populaatiosta (suomalaiset aikuiset), 2) havaitaan poikkeama normaalijakaumasta ja 3) etsitään selittävä tekijä, jonka huomioimisen jälkeen jäljelle jää pelkkää normaalijakautunutta satunnaisvaihtelua. Vaiheiden väliin kuuluu toki usein mutkia, joissa suunnitellaan, mallinnetaan, testataan hypoteeseja ja kenties palataan keräämään uusia havaintojakin, mutta se on kokonaan toinen tarina tieteen piiritanssista josta kirjoitin aiemmin erikseen.

Suomalaisten pituutta en tietenkään valinnut kiinnostavuuden vaan yksinkertaisuuden ja tuttuuden vuoksi. Sillä ymmärtämällä pituusesimerkin ymmärtää muutkin tutkimukset, koska periaate toistuu samana myös monimutkaisemmissa ja kiinnostavammissa tutkimuskohteissa.

Poikkeamaa normaalista ei suinkaan aina selitä Y-kromosomin kaltainen selkeä luokitteleva tekijä, vaan syyllinen voi olla myös lukuarvoinen muuttuja kuten ikä.

Esimerkkinä normaalijakauman rikkovasta lukuarvoisesta muuttujasta riittää katsoa vaikkapa 7-12-vuotiaiden kasvuikäisten pituusjakaumaa:

Kasvuikäisten pituusjakaumakaan ei näytä normaalilta. Miksi?

Syy selviää jakamalla lapset ikäryhmiin. Eli tarkastelemalla erikseen 7-, 8-, 9-, 10-, 11- ja 12-vuotiaiden pituusjakaumaa, mitä kutsutaan iän tilastolliseksi vakioimiseksi. Tällöin havaitaan jakaumat:

joista kukin on normaalijakauman käyrä (nuorimpien lasten jakauma on piirretty tummimmalla, vanhimpien vaaleimmalla harmaalla). Äärettömän populaation tapauksessa voitaisiin tasavuosiin pyöristettyjen ikäryhmien sijasta piirtää kaikki äärettömän monta, äärettömän tarkasti samanikäisten pituusjakaumaa (joiden käyrät piirtäisivät kuvaan harmaan sävyjen jatkuvan spektrin).

Jos pituusjakaumaa tarkasteltaisiin koko suomalaisväestössä vauvoista vaareihin, normaalijakautuneen vaihtelun esiin tuomiseksi tulisi mallintaa iän ja Y-kromosomin lisäksi ainakin niiden yhteisvaikutus murrosiässä sekä elintason kasvuun liittyvä keskipituuden kasvu. Koko maapallon väestön tapauksessa täytyisi huomioida myös perintö- ja ympäristötekijöiden maantieteelliset epätasaisuudet. Näitä asioita pohtimalla saa hieman esimakua siitä, miten nopeasti tosimaailman kiinnostavimpien ilmiöiden matemaattinen mallinnus monimutkaistuu.

Eräs kiinnostava tutkimuskohde on tautien leviäminen. Ja erityisesti sen selvittäminen, mikä aiheuttaa eteenpäin levitettyjen tartuntamäärien normaalista poikkeavan jakauman. Eli miksi jotkut levittävät saamaansa tautia paljon normaalia enemmän kun taas odotettua useampi ei levitä tartuntaansa ollenkaan. Kysymys on monimutkainen, koska normaalista poikkeavan leviämisen syyt voivat olla osin yksilöissä, osin ympäristössä ja osin tilanteissa. Lisäksi eri taudit leviävät eri tavoin ja kaikki tekijät vuorovaikuttavat keskenään. Syiden löytäminen on kuitenkin monimutkaisuudestaan huolimatta tärkeää, koska vain tiedon avulla tautien ehkäisyä voidaan kohdentaa oikein ja siten tehostaa epidemioiden torjuntaa. Paljon rahaa, henkiä ja terveyttä olisi säästettävissä.

Huolellinen lukija huomaa, että tartunnat eivät periaatteessakaan voi noudattaa jatkuvaa normaalijakaumaa koska lukumäärät ovat kokonaislukuja. Tämä on totta. Jatkuvan normaalijakauman vastine kokonaisluvuille onkin tässä tapauksessa Poisson-jakauma, jota voi yksinkertaisuuden vuoksi kutsua normaaliksi kunhan muistaa olla laskuissa huolellinen.

Kun Poisson-jakauman tartuttavuusluku R eli tartunnan saanutta kohti syntyvien uusien tartuntojen keskiarvo ei ole vakio vaan riippuu jostain tekijästä X, syntyy normaalista poikkeava jakauma (kuten negatiivinen binomijakauma). Tekijän X tunnistaminen ja huomioiminen palauttaa jakaumat normaaleiksi Poisson-jakaumiksi samaan tapaan kuin Y-kromosomin ja iän huomioinen palauttaa pituusjakauman normaaliksi.

Superleviäminen ei rajoitu pelkästään tauteihin, vaan esim. ystävien, kumppanien ja jälkeläisten määrissä havaitaan vastaavaa normaalista poikkeavaa kasautumista harvoille superyksilöille. "Sille, jolla on, annetaan, ja hänellä on oleva yltäkyllin; mutta siltä, jolla ei ole, otetaan pois sekin, mikä hänellä on" on kenties ollut kivuliaan ilmeistä jo esihistorian hämärissä, mutta syissä ja selittävissä tekijöissä riittää edelleen tutkimista.

Pituuden, lapsimäärän ja jatkotartuntojen normaalista poikkeavat jakaumat ovat vain muutama esimerkki loputtomasta ilmiöjoukosta, joista jokainen noudattaa esiteltyä yleistä periaatetta. Tilastollisen mallinnuksen eli selittävien tekijöiden etsimisen kannalta kaikissa on kyse samasta matematiikasta.

Entä jäljelle jäävän normaalijakautuneen satunnaisvaihtelun selittäminen? Sama normaalijakauma voi syntyä monien erilaisten pikkutekijöiden summasta – vaikkapa päihtyneiden päämäärättömästä hyörinästä – joten tarkempien syiden löytäminen on vaikeaa tai mahdotonta. Normaalijakauman syiden selvitys on kuin kysyisi, mitä lukuja yhteen laskemalla on päästy tulokseen miljoona. Jokainen kasvuiässä masuun tai jäteastiaan päätynyt kauravelli ja jokainen esivanhemmilta peritty DNA-pätkä jättää aikuispituuteen oman pikkuruisen jälkensä joita on vaikea erottaa toisistaan. Vain Y-kromosomin kaltainen iso tekijä jättää johtolangan, jonka takana oleva syyllinen voidaan saada kiinni.

Liian täydellisellä kauneudella on siis kääntöpuolensa: Ei jää mitään selitettävää. Ei johtolankaa, jota tutkia. Siksi poikkeama normaalijakaumasta on tutkijalle kuin lumoava kauneuspilkku.

Erästä kuumeisimmin kaivattua kauneuspilkkua etsitään alkuräjähdyksen jälkihehkusta eli kosmisesta taustasäteilystä. Toistaiseksi sellaista ei ole löydetty: taustasäteilyn lämpötilajakauma näyttää noudattavan normaalijakaumaa erittäin suurella tarkkuudella, josta poikkeamat voivat nykyhavaintojen tulkinnan mukaan olla enintään suuruusluokkaa yksi sadastatuhannesta. Poikkeaman havaitseminen voisi antaa johtolangan maailmankaikkeuden perimmäisten syiden selvittämiseen.

Normaalijakaumaa täydellisesti noudattava vauvauniversumi näyttää liian kauniilta.

Tieteessä poikkeama normaalista ei ole uhka, vaan mahdollisuus. Mahdollisuus oppia uutta. Eli sitä mitä tiede parhaiten osaa.

Kommentit (0)

Kommentit julkaistaan hyväksynnän jälkeen.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Kuva: Wellcome Collection gallery

Tieteellinen teoria on matemaattinen malli, josta voi laskea ennusteita. Havaintoihin hyvin sopivat ennusteet lisäävät teorian uskottavuutta. Paitsi silloin, kun ennusteet näyttävät sopivan havaintoihin liian hyvin. Liian hyvin ollakseen totta.

Jotta voi ymmärtää miten malli voi olla liian sopiva, on ensin ymmärrettävä mitä mallin sopivuus tarkoittaa.

Sopivuus mittaa ennusteiden poikkeamaa havainnoista, matemaattisen täsmällisesti määriteltynä. Mitta on käänteinen eli mitä pienempi poikkeama, sitä sopivampi malli.

Eräs sopivuuden mitta on suhteellinen neliöpoikkeama. Tämän yleisesti käytetyn mitan ymmärtämiseksi täytyy tietää, mitä tarkoittavat suhteellinen, neliö ja poikkeama.

Poikkeama tarkoittaa erotusta eli vähennyslaskua. Kun havainto on 73 ja teoria ennustaa 68, poikkeama on 73 - 68 = 5. Havainnon H ja ennusteen E täydellinen yhteensopivuus H = E vastaa nollan suuruista poikkeamaa H - E = 0.

Neliö tarkoittaa toista potenssia eli luvun kertomista itsellään. Kakkosen neliö on neljä 2² = 2×2 = 4, kolmosen neliö yhdeksän 3² = 3×3 = 9, nelosen neliö kuusitoista 4² = 4×4 = 16 jne. Kun havainto on 73 ja teoria ennustaa 68, neliöpoikkeama on (73 - 68)² = 5² = 5×5 = 25. Neliö saa nimensä geometriasta: luvun toinen potenssi on pinta-ala neliön muotoisessa alueessa, jonka sivut ovat kyseisen luvun pituisia. 

Negatiivinen luku kumoaa positiivisen luvun, -5 + 5 = 0, mutta mallin sopivuuden kannalta negatiivinen poikkeama ei kumoa positiivista poikkeamaa vaan molemmat lisäävät mallin epäsopivuutta yhtä lailla. Poikkeamien neliöinti korjaa tämän ongelman, koska negatiivinen luku kerrottuna itsellään on aina positiivinen (-5)×(-5) = 25. Niinpä näiden kahden ennusteen epäsopivuus on yhteensä (73 - 68)² + (63 - 68)² = 25 + 25 = 50 eikä nolla, kuten laskettaessa erisuuntaiset poikkeamat suoraan yhteen ilman neliöintiä (73 - 68) + (63 - 68) = 5 - 5 = 0.

Neliöinti hoitaa negatiivisten poikkeamien lisäksi myös oikean skaalauksen. Nimittäin poikkeamat noudattavat monessa tilanteessa normaalijakaumaa, missä riippuvuus poikkeamasta on neliöllinen eli esim. poikkeaman kymmenkertaistuminen satakertaistaa ennusteen epäsopivuuden 10² = 10×10 = 100. Jos poikkeamien jakauma ei ole likimainkaan normaali, käytetään neliöpoikkeaman sijasta toiselle jakaumalle ominaista skaalausta. Muutoin mallin sopivuus lasketaan jakaumasta riippumatta samalla periaatteella.

Sopivuuden määritelmän viimeinen osa eli suhteellisuus tarkoittaa poikkeamien havaintokohtaista painotusta. Painotusta tarvitaan, koska odotetun satunnaisvirheen eli hajonnan suuruus riippuu havainnosta. Mitä pienempi hajonta havaintoon liittyy, sitä suurempi painoarvo poikkeamalle pitää antaa. Painokerroin on hajonnan käänteisluku: esim. poikkeama, johon liittyy hajonta 2, on viisi kertaa epäsopivampi kuin samansuuruinen poikkeama, johon liittyy hajonta 10. Kun useasta havainnosta koostuvan aineiston poikkeamat lasketaan yhteen, kukin poikkeama saa näin suhteellista merkitystään vastaavan painon. Sopivuuden mittana toimiva suhteellinen neliöpoikkeama on siis painotettu neliösumma.

Kilpailevista malleista sopii havaintoihin parhaiten se, jonka ennusteista laskettujen poikkeamien painotettu neliösumma on pienin.

Mallista laskettu neliösumma voidaan kääntää myös todennäköisyydeksi. Tämä ei kuitenkaan kerro suoraan mallin todennäköisyyttä, vaan uuden havaintoaineiston uskottavuutta on puntaroitava yhdessä aiemman tutkimusnäytön kanssa. Mallin todennäköisyys on uuden näytön uskottavuuden ja ennakkotiedon tulo.

Siisti tarina, eikös? Moni tutkija omaksuu tyytyväisenä tämän reseptin, koska sen avulla mallien vertailu on suoraviivaista. Autuaan tietämättömänä, että jutun juonessa vaanii vielä käänne.

Nimittäin edes täydellisesti todellisuutta kuvaavan mallin neliöpoikkeamien ei pitäisi olla keskimäärin nollia vaan satunnaisvirheen suuruisia.

Heitetään noppaa 6000 kertaa. Tuloksena saadaan tasan tuhat ykköstä, tuhat kakkosta, tuhat kolmosta, tuhat nelosta, tuhat viitosta ja tuhat kuutosta. Onko noppa rehellinen? Silmälukujen määrien neliöpoikkeamathan ovat rehellisen nopan ennusteista 6000×1/6 = 1000 täsmälleen nollia. Mutta todennäköisyys saada näin tasainen jakauma ilman filunkipeliä on vähemmän kuin yksi miljardista! Rehellisen nopan 6000 heitossa silmälukujen määrät poikkeavat tasajakaumasta keskimäärin muutamasta heitosta muutamaan kymmeneen heittoon.

Johdonmukaisesti satunnaisvirhettä pienemmät poikkeamat tarkoittavat, että malli sopii havaintoihin paremmin kuin mihin edes todellinen luonto pystyy!

Asian voi toki ilmaista myös niin, että jos ennustetut arvot vastaavat havaintoarvoja liian hyvin, ennustettu hajonta ei vastaakaan havaittua hajontaa. Eli pinnallisesti täysin sopiva malli sopiikin tarkemmin katsottuna todellisuuteen erityisen huonosti.

Liian sopivalta näyttävä malli ei kuitenkaan aina ole laskelmoitua petosta, vaan saattaa syntyä myös tietämättömän tutkijan tai apulaisen hyväntahtoisista pyrkimyksistä. Gregor Mendelin herneet lienevät tästä klassinen esimerkki. Liian hyvin perinnöllisyyslain ennusteita vastaava Mendelin alkuperäinen aineisto ei toki kyseenalaista myöhemmin moneen kertaan vahvistettuja tuloksia, mutta herättää kysymyksen oliko hänen aineistonsa täysin rehellisesti kerättyä ja mistä liian sopiva tulos aiheutui.

Erityisesti ihmisen, talouden ja yhteiskunnan tutkimuksessa yleinen ongelma on, että havaintoaineistoon sovitetaan liian monimutkaista mallia. Tällaisessa ylisovitetussa mallissa voi olla niin paljon liikkuvia osia, että mallin saa myötäilemään minkälaisen sattuman oikkuja hyvänsä. Menneisyyteen täydellisesti sopivan mallin surkeus paljastuu, kun sillä yrittää ennustaa tulevaisuutta. Edellisviikon lottonumerot eivät ennusta tulevan viikon arvonnasta mitään (paitsi sen, että edellisiä numeroita ei kannata pelata koska jotkut hupsut pelaavat niitä kuitenkin jolloin vanhoille numeroille sattuva päävoitto pirstoutuisi lohduttoman pieniin osiin).

Kosmologit ja muut teoreetikot puhuvat toisinaan havaintojen sovittamisesta malliin. Lipsahdus kuulostaa ehkä viattomalta, mutta paljastaa paljon. Tieteessä mallia tulee tietenkin sovittaa havaintoihin eikä päinvastoin, mutta etenkin kosmologiassa tähän nurinkurisuuteen törmää. Yleensä mittalaitteet keräävät ns. raakadataa, josta täytyy siivota jos jonkinlaista häiriötekijää kotigalaksista lähtien ennen kuin helpommin analysoitava havaintoaineisto julkaistaan koko tutkijayhteisön saataville. Tämä on ymmärrettävää, mutta ongelma on että tässä suurta tiimityötä vaativassa (ja siten vaikeasti toistettavassa) prosessissa usein jo oletetaan pimeä energia ja tasaisen laajenevan avaruuden malli. Niinpä ei ole yllättävää, että yhtäältä kilpailevia malleja on vaikea sovittaa julkaistuun aineistoon ja toisaalta pimeän energian mallit ovat toisinaan sopineet aineistoon liiankin hyvin. Lisäksi oletuksista riippumatonta raakadataa ei suinkaan aina julkaista. Tutki siinä sitten avaruuden epätasaista laajenemista.

Liian sopivan mallin ongelman ratkaisu on periaatteessa yksinkertainen. Pitää vain testata mallin keskiarvoisen sopivuuden lisäksi hajonnan sopivuus. Tosin ennustettu hajontakin voi sopia havaintoihin liian hyvin samoin kuin hajonnan hajonta ja niin edelleen, mutta se on taas jo kokonaan toinen tarina.

Kommentit (0)

Kommentit julkaistaan hyväksynnän jälkeen.

Kuva: J. B. Perrin / Wikimedia Commons

Toriaukion keskeltä lähtee liikkeelle päihtyneitä. Tarkkaillaan joukkion jakaumaa suoraan ylhäältä, dronekameran kuvasta.

Päihtyneet ovat toisilleen täysin näkymättömiä eivätkä törmäile keskenään. Oletamme näin, yksinkertaisuuden nimissä.

Päihtyneen ensiaskel voi suuntautua torin keskipisteestä mihin hyvänsä ilmansuuntaan. Seuraava askel on aina riippumaton edellisestä, sillä päihtyneellä ei ole muistia. Siispä jokaisella askeleella kaikki suunnat ovat yhtä todennäköisiä. Askel eteen. Askel taakse. Askel sivulle missä hyvänsä kulmassa. Kaikki yhtä mahdollisia. 

Ainoastaan lentäminen ei ole mahdollista. Emme siis välitä päihtyneen sisäisestä kokemusmaailmasta, vaan keskitymme ulkoisesti havaittavaan kaksiulotteiseen liikkeeseen.

Päihtyneen askellus piirtää ainutkertaisen siksakin, joka ei etene minnekään vaan harhailee loputtomasti vailla päämäärää.

Äkkiseltään luulisi, että päihtyneiden päämäärättömästä hortoilusta ei voi syntyä kuin silkkaa kaaosta. Totuus on kuitenkin toinen. Lopputulos on kaunista taidetta ja arvokasta tiedettä.

Kauneus ja arvo piilevät päihtyneiden jakaumassa. Eli selkiää tutkimalla, minne päihtyneet päätyvät.

Eksyminen kauas lähtöpisteestä on epätodennäköistä. Nimittäin kauas pääsee vain askelin, jotka vievät johdonmukaisesti samaan suuntaan. Ja päihtyneelle johdonmukaisuus on harvinainen sattuma, kuin pitkä sarja samoja silmälukuja nopanheitossa.

Suurin osa päihtyneistä kiemurtelee keskuksen eli lähtöpisteen tuntumassa. Päihtyneet eivät pyri keskukseen – eiväthän he edes muista lähtöpistettään – vaan syy kiemurteluun on yksinkertaisesti siinä, että keskukseen palaavia reittejä on eniten. Ja koska jokainen yksittäinen reitti on yhtä todennäköinen, suurin osa päihtyneistä hyörii keskuksen lähistöllä. Keskimääräinen reitti on todennäköinen kuin keskimääräinen silmälukujen summa pitkässä nopanheittosarjassa. Ja pitkään sarjaan sattuu suurella varmuudella jokseenkin yhtä monta kaikkia silmälukuja, eli askelia eri suuntiin, jotka palauttavat tuloksen kohti keskiarvoa. Askelten vektorisumman odotusarvo on nolla, sanoisi matemaatikko.

Tarkka lasku paljastaa, että kunakin hetkenä noin kaksi kolmasosaa päihtyneistä pysyttelee vain yhden keskihajonnan päässä keskuksesta. Loput, eli kolmasosa, onnistuu kuljeksimaan ympyrän ulkopuolelle. Ympyrän, jonka keskuksessa on päihtyneiden lähtöpiste ja jonka säde on yhden keskihajonnan mittainen. Ajan saatossa hajonta ja ympyrä kasvavat, mutta päihtyneiden osuudet säilyttävät saman suhteen 2:1. Kaksi kertaa leveämmän ympyrän ulkopuolelle eksyy vain yksi kahdestakymmenestä, ja kolme kertaa kauempaa löytyy enää muutama tuhannesta. Parvi leviää, mutta ei siirry eikä etene.

Päihtyneiden harveneminen keskustasta torin laidoille noudattaa erityistä tilastollista jakaumaa. Jakauma on matemaattisen tarkka, sillä oletamme että päihtyneet ovat pistemäisiä ja heitä on äärettömän monta.

Jakauma on nimeltään normaalijakauma. Moni tuntee sen myös nimellä Gaussin jakauma tai gaussinen.

Normaalijakaumalla on kellokäyrän muoto. Kellon korkeus kuvastaa päihtyneiden lukumäärää, jonka totesimme kasautuvan eniten keskukseen ja harvenevan reunoille. Päihtyneiden kaksiulotteinen jakauma on oikean soittokellon muotoinen kolmiulotteinen pyörähdyskappale, joka syntyy kiepsauttamalla Gaussin käyrä symmetria-akselinsa ympäri. Kaunista! Taidetta! Taidetta joka syntyy itsestään, päämäärättömän hyörinän tuloksena.

Eikä tulos ole pelkästään kaunis, vaan myös mittaamattoman arvokas. Päihtyneiden synnyttämä jakauma on nimittäin eräs tieteellisen maailmankuvan kivijalka. Vaikka tarkka kellokäyrä on täydellisen ympyrän ja pallon tavoin idealisaatio, jota ei tietenkään esiinny luonnossa puhtaana, on se ideana sitäkin arvokkaampi. Poikkeamat ja epäpuhtaudet ovat kokonaan oman tarinan arvoisia.

1800-luku ihmeteltiin siitepölyn ynnä muiden mikroskooppisten suurien pölyhitujen selittämätöntä satunnaiskulkua vedessä, ns. Brownin liikettä. Mikä pölyä liikuttaa? Onko siitepöly elossa? Jos on, miksi myös eloton pöly liikehtii samalla tavalla? Vastausta saatiin odottaa vuoteen 1905, jolloin Albert Einstein ennusti Brownin liikkeen molekyylien lämpöliikkeen jakaumasta. Ja esitti samalla vastaansanomattoman todisteen atomien olemassaolosta.

Pölyhiukkasia pommittaa jatkuvasti pikkuruisten molekyylien lämpöliike. Paljon molekyylejä raskaampi pöly liikahtelee näkyvimmin silloin, kun erityisen nopeat molekyylit sattuvat tönäisemään pölyä. Tätä on Brownin liike. Päihtyneet ovat pölyä, jonka satunnaiskulusta on vastuussa lämpöliikkeen kaltainen, liikehermoissa risteilevä sähköimpulssien kuhina.

Koko havaitsemamme maailmankaikkeus kehittyi vauvakosmoksen pikkuriikkisistä tiheysvaihteluista, jotka näyttävät noudattavan päihtyneiden hortoilun tavoin kellokäyrää. Aikojen saatossa painovoima tiivisti normaalijakautuneet satunnaistihentymät galakseiksi, tähdiksi, planeetoiksi, bloggaajiksi ja Tieteen lukijoiksi.

Painovoima veti aineen henkiin, päihtyneiden hyörinän kylvämistä siemenistä.

Kas siinä kauneutta ja arvoa kyllikseen.

Kommentit (2)

Eusa
Liittynyt16.2.2011
Viestejä21936
1/2 | 

Päinvastoin: ainerakenteiden pusku näennäistää painovoiman henkiin.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

syytinki
Liittynyt18.8.2008
Viestejä10893
2/2 | 

Sinällään tuo hortoilu voi pitää paikkansa, mutta ainakin yksi lähtöoletus on hutera. Hortoilusta huolimatta päihtyneillä on aina joku päämäärä, johon he myös lopulta saapuvat. Aika usein ovat asiallisin perustein etsimässä lisää viinaa.

Kommentit julkaistaan hyväksynnän jälkeen.

Seuraa 

Rajankäyntiä

Teppo Mattsson on kosmologiaan ja suhteellisuusteoriaan erikoistunut teoreettisen fysiikan tutkija, joka harrastaa matkailua tieteenalojen välisillä rajaseuduilla. Blogi on matkakertomus näiltä retkiltä.

Teemat

Blogiarkisto

Kategoriat