Viestejä45973
klo 11:38 | 5.11.2009
Lause: int 1/(1+2y) dy
jotta sulut ei hämää niin sama kuin: int (1+2y)^-1
Saan tuosta: ln(1+2y) mutta tiedän oikean vastauksen olevan: ln(1+2y) / 2. En saa millään 2 jakajaksi.
Mistä tuo 2 tupsahtaa jakajaksi?
Kokeile muuttujan vaihdosta z = 1+2y (huomaa, että myös dy täytyy tällöin lausua dz:n avulla).
In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring
jos muuttujan vaihdos ei ole tuttua, niin myös kaavan int(f'(x)/f(x))dx = ln|f(x)| soveltaminen auttaa. Sieltä se kakkonen tulee, kun katsot mitä f'(x) on.
Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...
Derivoi saamasi tulos, niin huomaat, ettei se ole oikein, ja mistä se kerroin tulee.
muuttujan vaihto...ok toimii kuten valmiit kaavat ja vaikka laplace...
int 1/(1+2y)
u=(1+2y)
du = 2 dy josta dy = du/2 AHAA ELÄMYS!
int 1/u du/2 = ln(|u|)/2
= ln(1+2y)/2
Hienoa!
Mutta mitä jos mentäis sieltä mistä on hankalinta. Ei muuttujan vaihtoja, ei valmiita kaavoja...onnistuisiko yhtälön integrointi?
Kysymys liittyi differentiaaliyhtälöön:
y'-2xy=x
y' = x+2xy
y' = x(1+2y) | : (1+2y)
1/(1+2y) dy = x dx
ja muuttujan vaihdolla integroidaan vasen puoli yhtälöstä...
int 1/(1+2y) = int x dx
u=(1+2y)
du = 2 dy josta dy = du/2
int 1/u du/2 = ln(|u|)/2
= ln(1+2y)/2
ja differentiaaliyhtälö saa muodon:
ln(1+2y)/2 = (x^2/2) + C | *2
ln(1+2y) = x^2 + 2C
y = (e^(x^2 + 2C) -1) / 2
y = (Ce^(x^2) -1) / 2
Tähän liittykin toinen ongelma, puhtaasti algebrallinen kenties. Saan vastaukseksi y = (Ce^(x^2) -1) / 2 mutta mm. wolframalpha antaa hiukan muuta: y = Ce^(x^2)-1/2 http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27-2xy%3Dx
Mitä siis olen tuossa differentiaaliyhtälössä laskenut taas väärin vai unohtaako wolfram alpha sulkeet?
(Ce^(x^2)-1)/2 = C/2e^(x^2)-1/2 = De^(x^2)-1/2
tai käytä haluamaasi kirjainta, jos se tuntuu kivemmalta
Ahaa, eli vakiota C voi ajatella vaikka C/2 jolloin lähtee se jakaja pois. Onpa ovelaa.
Minä ratkaisisin näin:
dy/(1+2y)=xdx ja integroidaan puolittain:
½*ln((1+2y):n itseisarvo)=(1/2 *x^2)+C1=>
ln((1+2y):n itseisarvo)=(x^2)+2C1
1+2y=+-(e^((x^2)+(2C1)))=+-(e^(2C1))*(e^(x^2))
2y=+-(e^(2C1)*e^(x^2))-1
y=+-(e^(2C1)/2)*e^(x^2)-(1/2),
ja nyt merkitään vakio-osaa C:llä, eli +-(e^(2C1)/2)=C
ja vihdoin y=Ce^(x^2)-(1/2)
näiden itseisarvojen mukana pyörittäminen tuntuu turhalta, mutta ei mene muuten oikein..
y = (e^(x^2 + 2C) -1) / 2
y = (Ce^(x^2) -1) / 2
Selvennän sen verran, että se vika on tuossa alimmassa rivissä:
Senhän pitäisi olla näin: y=(e^(2C)*e^(x^2)-1)/2
Nyt ei voi korvata , että e^(2C) olisi C, niin kuin olet tehnyt,
koska e^(2C), ei saa ikinä negatiivisia arvoja, mutta C:n on tietysti saatava.
Jos ratkaisee tehtävää roikottamalla koko ajan itseisarvoja
mukana niin tuo +- jutska tuo myös negatiiviset e^(2C) arvot
mukaan ja voidaan kirjoittaa C.
(Tämä tietysti vaikuttaa saivartelulta, mutta varmasti ropisee poispisteitä kokeessa, jos ei näin tee.)