Jouluaaton algebraa ammattilaisille. ;-)
Jouluaaton algebraa ammattilaisille. ;-)
Viestejä45973
klo 8:24 | 24.12.2006
Todista, että kaikille a, b, c > 0, pätee epäyhtälö
sqrt(a^2 - ab + b^2) + sqrt(b^2 -bc + c^2) >sqrt(a^2 + ab + c^2)
Edit: poistettu = -merkki kun piti olla vain > -merkki.
Tuohan pätee myös kun a=b=c=0.
SORRY! Ei pitänytkään olla tuota yhtäsuuruus merkkiä.
Editoin ekaa viestiä hieman.
ps. Ja tämä vaikuttaa oikeasti aika hankalalta?
Ei päde kun a=5, b=1, c=1/3.
Totta. Ei pädekään!
Ilmankos olikin niin vaikea. Mitä ihmettä ne tuollaisia tuolla pistävät?
http://www.qc.edu.hk/math/index1.htm
Veikkaisin, että tehtävässä on virhe. Epäyhtälö sqrt(a^2 - ab + b^2) + sqrt(b^2 - bc + c^2) >=sqrt(a^2 + ac + c^2) on nimittäin voimassa kaikilla a,b,c>0. (eräs) Todistus perustuu geometriaan. Olkoon koordinaatistossa pisteet A, B, C ja origo O siten, että |OA|=a, |OB|=b, |OC|=c ja kulma AOB=kulma BOC=60 astetta. Sovelletaan kosinilausetta ja epäyhtälö seuraa helposti.
Ett saa!
Merkitään
F(a,b,c) = sqrt(a^2-a*b+b^2) + sqrt(b^2-b*c+c^2) - sqrt(a^2+a*b+c^2)
Sijoittamalla tähän
F(5,1,1/3)=21^(1/2)+1/3*7^(1/2)-1/3*271^(1/2)=
=likimain=-0.022866410 <0
Q.E.D.
Sitäpaitsi tehtävässä ilmeisesti virhe, kuten puuhikki epäili.
Pitäisi nähtävästi olla:
-------------------------------------------------------------------------
Todista, että kaikille a, b, c > 0, pätee epäyhtälö
sqrt(a^2 - ab + b^2) + sqrt(b^2 -bc + c^2) >=sqrt(a^2[size=200:h9o91nwz] - [/size:h9o91nwz]ab + c^2)
sqrt(a^2+b^2-ab)+sqrt(b^2+c^2-bc)=sqrt(1/2)(sqrt(a^2+b^2+(a-b)^2)+sqrt(c^2+(c-b)^2+b^2)>sqrt(1/2)sqrt((a+c)^2+a^2+c^2)=sqrt(a^2+c^2+ac)
Tuossa on tullut pientä pyöristysvirhettä. Minusta 21^(1/2)+1/3*7^(1/2)-1/3*271^(1/2) on noin -0.022866412.