Seuraa 
Viestejä14827

Törmäsin trigonometriseen yhtälöön, joka oli esitetty ei-tavanomaisessa muodossa.
acosx=2asinx(=ß)
Huolimaton ratkaisuni
x=cosß=sin(ß/2)<—>1-2*(sin(ß/2))^2=sin(ß/2)<—>sin(ß/2)=1/2 tai sin(ß/2)=-1—>x=1/2 tai x=-1.
Missä meni pieleen?

Sivut

Kommentit (30)

PPo
Seuraa 
Viestejä14827

Opettaja kirjoitti:
Olisikohan kyse siitä, että arkuksilla on eri määrittelyjoukot ja tuo -1:tä vastaava  beetta on sinille ja kosinille eri.
Määrittelyjoukot ovat samat [-1,1] mutta arvojoukot eivät. Siksi -1 ei kelpaa.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
JPI
Seuraa 
Viestejä28579

PPo kirjoitti:
Törmäsin trigonometriseen yhtälöön, joka oli esitetty ei-tavanomaisessa muodossa.
acosx=2asinx(=ß)
Huolimaton ratkaisuni
x=cosß=sin(ß/2)<—>1-2*(sin(ß/2))^2=sin(ß/2)<—>sin(ß/2)=1/2 tai sin(ß/2)=-1—>x=1/2 tai x=-1.
Missä meni pieleen?

1-2*(sin(ß/2))^2 =(sin(ß/2))^2 + (cos(ß/2))^2 - 2*(sin(ß/2))^2 = (cos(ß/2))^2 - (sin(ß/2))^2 mikä ei ole sin(ß/2)

3³+4³+5³=6³

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983

JPI kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Törmäsin trigonometriseen yhtälöön, joka oli esitetty ei-tavanomaisessa muodossa.
acosx=2asinx(=ß)
Huolimaton ratkaisuni
x=cosß=sin(ß/2)<—>1-2*(sin(ß/2))^2=sin(ß/2)<—>sin(ß/2)=1/2 tai sin(ß/2)=-1—>x=1/2 tai x=-1.
Missä meni pieleen?

1-2*(sin(ß/2))^2 =(sin(ß/2))^2 + (cos(ß/2))^2 - 2*(sin(ß/2))^2 = (cos(ß/2))^2 - (sin(ß/2))^2 mikä ei ole sin(ß/2)

'

Tässä olikin yhtälö ratkaistavana. Syynä on edelleen tuo kulmapuolen määrittelyjoukko, joka siis on sinille ja kosinille eri kun näitä käänteisfunktioita määritellään.  (Ja tosiaan ei tietenkään arkusten määritelyjoukko.)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2722

PPo kirjoitti:
Opettaja kirjoitti:
Olisikohan kyse siitä, että arkuksilla on eri määrittelyjoukot ja tuo -1:tä vastaava  beetta on sinille ja kosinille eri.
Määrittelyjoukot ovat samat [-1,1] mutta arvojoukot eivät. Siksi -1 ei kelpaa.

Juuri näin, olet oikeassa. Arvojoukot määräävät tässä, eikä määrittelyjoukot.

Riippuu toki miten haluaa määritellä trigonometristen funktioiden sin ja cos käänteisfunktiot, mutta yleensä ne määritellään siten, että:

- funktion arccos(x) määrittelyjoukko on [-1,1] ja arvojoukko [0,π].

- funktion arcsin(x) määrittelyjoukko on [-1,1] ja arvojoukko [-π/2,π/2].

Sun yhtälöiden β on ensimmäisen yhtälön mukaan β = arcos(x) on välillä [0,π], siis β > 0. Sun toisen yhtälön mukaan β = 2arcsin(x) arvojoukko on [-π,π].

Ensimmäisen yhtälön mukaan β > 0 ja β∈[0,π] , joten yhtälöllä sin(β/2) = -1 ei ole ratkaisua. Ainoastaan yhtälöllä sin(β/2) = 1/2 on ratkaisu.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

JPI
Seuraa 
Viestejä28579

Opettaja kirjoitti:
JPI kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Törmäsin trigonometriseen yhtälöön, joka oli esitetty ei-tavanomaisessa muodossa.
acosx=2asinx(=ß)
Huolimaton ratkaisuni
x=cosß=sin(ß/2)<—>1-2*(sin(ß/2))^2=sin(ß/2)<—>sin(ß/2)=1/2 tai sin(ß/2)=-1—>x=1/2 tai x=-1.
Missä meni pieleen?

1-2*(sin(ß/2))^2 =(sin(ß/2))^2 + (cos(ß/2))^2 - 2*(sin(ß/2))^2 = (cos(ß/2))^2 - (sin(ß/2))^2 mikä ei ole sin(ß/2)

'

Tässä olikin yhtälö ratkaistavana. Syynä on edelleen tuo kulmapuolen määrittelyjoukko, joka siis on sinille ja kosinille eri kun näitä käänteisfunktioita määritellään.  (Ja tosiaan ei tietenkään arkusten määritelyjoukko.)

Ainonii, sorry!

3³+4³+5³=6³

Eusa
Seuraa 
Viestejä17697

PPo kirjoitti:
Yhtälö

acosx=(π-1)*asinx 

muodoltaan samanlainen kuin edellinen.

Vastauksen muoto hieman yllätti.

Mikä  on x?

Sini ja kosini saadaan aina suorasta kulmasta joten asinx + acosx = π/2

Tietoa hyödyntäen --> asinx=½ --> x = sin(½).

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

PPo
Seuraa 
Viestejä14827

Eusa kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Yhtälö

acosx=(π-1)*asinx 

muodoltaan samanlainen kuin edellinen.

Vastauksen muoto hieman yllätti.

Mikä  on x?

Sini ja kosini saadaan aina suorasta kulmasta joten asinx + acosx = π/2

Tietoa hyödyntäen --> asinx=½ --> x = sin(½).

Näppärä ratkaisu.

Ratkaisin hieman toisin (=monimutkaisemmin)) mutta sama vastaus.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17697

PPo kirjoitti:
Kokoelmasta löytyi myös vieraan oloinen yhtälö

atan(x-1)+atanx+atan(x+1)=atan3x

Meni aikansa ennen kuin aukeni.

Ratkaise x

Huomenta.

Triviaaliratkaisu on x = 0.

Kun järjestetään: atan(x-1)+atan(x+1) = atan3x-atanx,

nähdään piirtämällä, että jos onnistuu 3x = x+1 ja x on x-1:n vastaluku, saadaan ratkaisu. Huomaamisessa auttaa, että 3x-x =x+1+x-1.

Onnistuu, x=½. Saman voi esittää x-akselin suhteen peilattuna, eli x=-½. Liekö muita ratkaisuja, analyyttisesti voi tosiaan olla työläs... Ei ainakaan välillä -½...½ ole muita kuin nuo 3 ratkaisua. Niin ja nimittäjäthän ovat 2. asteen polynomeja termeissä, niiden erotuksista voidaan saada vain 2 nollakohtaa, joten vain nuo 3 ratkaisua on olemassa.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä17697

Tuossa "x-akselin suhteen peilattuna" kuvaa piirrostani, oikein olisi sanoa "kolmioiden yhteisen kateetin suhteen peilattuna", x on muuta yhtälöissä. No, muokataan:

Triviaaliratkaisu on x = 0.

Kun järjestetään: atan(x-1)+atan(x+1) = atan3x-atanx,

nähdään piirtämällä, että jos onnistuu 3x = x+1 ja x on x-1:n vastaluku, saadaan ratkaisu. Huomaamisessa auttaa, että 3x-x =x+1+x-1.

Onnistuu, x=½. Saman voi esittää kolmioiden yhteisen kateetin suhteen peilattuna, eli x=-½. Liekö muita ratkaisuja, analyyttisesti voi tosiaan olla työläs... Ei ainakaan välillä -½...½ ole muita kuin nuo 3 ratkaisua. Niin ja nimittäjäthän ovat 2. asteen polynomeja termeissä, niiden erotuksista voidaan saada vain 2 nollakohtaa, joten vain nuo 3 ratkaisua on olemassa.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

PPo
Seuraa 
Viestejä14827

Eusa kirjoitti:
Tuossa "x-akselin suhteen peilattuna" kuvaa piirrostani, oikein olisi sanoa "kolmioiden yhteisen kateetin suhteen peilattuna", x on muuta yhtälöissä. No, muokataan:

Triviaaliratkaisu on x = 0.

Kun järjestetään: atan(x-1)+atan(x+1) = atan3x-atanx,

nähdään piirtämällä, että jos onnistuu 3x = x+1 ja x on x-1:n vastaluku, saadaan ratkaisu. Huomaamisessa auttaa, että 3x-x =x+1+x-1.

Onnistuu, x=½. Saman voi esittää kolmioiden yhteisen kateetin suhteen peilattuna, eli x=-½. Liekö muita ratkaisuja, analyyttisesti voi tosiaan olla työläs... Ei ainakaan välillä -½...½ ole muita kuin nuo 3 ratkaisua. Niin ja nimittäjäthän ovat 2. asteen polynomeja termeissä, niiden erotuksista voidaan saada vain 2 nollakohtaa, joten vain nuo 3 ratkaisua on olemassa.

Hyvin päätelty.

Itse ratkaisin ottamalla boldatusta yhtälöstä puolittain tangentit—>

((x-1)+(x+1))/(1-(x-1)(x+1))=(3x-x)(1+3x*x)—>x=0 taix=±1/2

Eusa
Seuraa 
Viestejä17697

PPo kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
Tuossa "x-akselin suhteen peilattuna" kuvaa piirrostani, oikein olisi sanoa "kolmioiden yhteisen kateetin suhteen peilattuna", x on muuta yhtälöissä. No, muokataan:

Triviaaliratkaisu on x = 0.

Kun järjestetään: atan(x-1)+atan(x+1) = atan3x-atanx,

nähdään piirtämällä, että jos onnistuu 3x = x+1 ja x on x-1:n vastaluku, saadaan ratkaisu. Huomaamisessa auttaa, että 3x-x =x+1+x-1.

Onnistuu, x=½. Saman voi esittää kolmioiden yhteisen kateetin suhteen peilattuna, eli x=-½. Liekö muita ratkaisuja, analyyttisesti voi tosiaan olla työläs... Ei ainakaan välillä -½...½ ole muita kuin nuo 3 ratkaisua. Niin ja nimittäjäthän ovat 2. asteen polynomeja termeissä, niiden erotuksista voidaan saada vain 2 nollakohtaa, joten vain nuo 3 ratkaisua on olemassa.

Hyvin päätelty.

Itse ratkaisin ottamalla boldatusta yhtälöstä puolittain tangentit—>

((x-1)+(x+1))/(1-(x-1)(x+1))=(3x-x)(1+3x*x)—>x=0 taix=±1/2

Ok, ei silti pahan työläs. Mulla jäänyt näemmä pois, että viittaan tietysti derivaatan nimittäjiin yllä.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

PPo
Seuraa 
Viestejä14827

Löytyi ikävän näköinen yhtälö

asinx/acosx=3π/4-atan[(tan1-1)/(tan1+1)]

Ratkaisu löytyi viimein kun ymmärsin soveltaa oikealla puolella olevaan atan-termiin edellisessä tehtävässä käyttämääni menetelmää käänteisesti.

Mikä on x?

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2722

Aloitusviestiä lukuunottamatta on nyt kyllä matemaattinen esitystapa hyvin niukkaa, esittäkääs lisää selventäviä välivaiheita ratkaisuihinne. Tuloksenhan näkee jo WA:lla, esimerkiksi. Noita nyt en hyväksyisi ratkaisuiksi, koska niistä puuttuvat välivaiheet. Mitä kaavaa on sovellettu mihinkin jne.

Lisäksi yhtälö arccos(x) = (π-1) arcsin(x), PPo:n toinen yhtälö on vielä ratkaisematta, sen vastauksen näkee WA:lla ja se on:

x= sin(π/(2n)).

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

PPo
Seuraa 
Viestejä14827

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Aloitusviestiä lukuunottamatta on nyt kyllä matemaattinen esitystapa hyvin niukkaa, esittäkääs lisää selventäviä välivaiheita ratkaisuihinne. Tuloksenhan näkee jo WA:lla, esimerkiksi. Noita nyt en hyväksyisi ratkaisuiksi, koska niistä puuttuvat välivaiheet. Mitä kaavaa on sovellettu mihinkin jne.

Lisäksi yhtälö arccos(x) = (π-1) arcsin(x), PPo:n toinen yhtälö on vielä ratkaisematta, sen vastauksen näkee WA:lla ja se on:

x= sin(π/(2n)).

Eusa esitti ihan pätevän päättelyn.

Minä ratkaisin tehtävän seuraavasti

arccosx=(π-1)*asin x=ß—>x=cosß=sin(ß/(π-1]=cos(π/2-ß/(π-1))—>

ß=π/2-ß/(π-1)<—>ß=π/2-1/2—>x=cos(π/2-1/2)=sin(1/2)

Muut boldatun yhtälön ratkaisut eivät kuulu funktioiden arvojoukkoon.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2722

PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Aloitusviestiä lukuunottamatta on nyt kyllä matemaattinen esitystapa hyvin niukkaa, esittäkääs lisää selventäviä välivaiheita ratkaisuihinne. Tuloksenhan näkee jo WA:lla, esimerkiksi. Noita nyt en hyväksyisi ratkaisuiksi, koska niistä puuttuvat välivaiheet. Mitä kaavaa on sovellettu mihinkin jne.

Lisäksi yhtälö arccos(x) = (π-1) arcsin(x), PPo:n toinen yhtälö on vielä ratkaisematta, sen vastauksen näkee WA:lla ja se on:

x= sin(π/(2n)).

Eusa esitti ihan pätevän päättelyn.

Minä ratkaisin tehtävän seuraavasti

arccosx=(π-1)*asin x=ß—>x=cosß=sin(ß/(π-1]=cos(π/2-ß/(π-1))—>

ß=π/2-ß/(π-1)<—>ß=π/2-1/2—>x=cos(π/2-1/2)=sin(1/2)

Muut boldatun yhtälön ratkaisut eivät kuulu funktioiden arvojoukkoon.

Nyt me ollaan ratkaistu eri tehtävää, nimittäin luin tuon sun toisen tehtävän arccos(x) = (N-1)arcsin(x), missä N on parametri, mahdollisesti kokonaisluku. Täytyypä testata tässä erikoismerkin Pi ja kirjainen n eroa:

merkki pii= π

kirjain n = n.

Ei niissä paljon eroa ole, jos mitään, ainakaan tällä näkökyvyllä

Eusan ratkaisusta en ymmärtänyt yhtään mitään, voi siinä joku logiikka ollakkin, mutta siinä viitataan johonkin piirtelyyn.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

PPo
Seuraa 
Viestejä14827

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Jaa, se Eusan eka onkin oikein hyvin tehty, kommenttini edellisessä koskee sitä tan-tehtävää.
Luulen, että Eusan ratkaisu perustui siihen, että atan(-x)=-atanx .Sitten hän kokeilemalla löysi kolme ratkaisua.

Oma ratkaisuni perustui tangentin yhteenlaskukaavaan  tan(⍺+ß)=(tan⍺+tanß)/(1-tan⍺/tanß) ja siihen, että atan on kasvava funktio.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat