Seuraa 
Viestejä14658

Tarkastellaan vesisumussa putoavaa pallonmuotoista vesipisaraa, johon putoamisen aikana kertyy lisää massaa. Oletetaan, että pisaran säde r on alussa pieni ja kuvataan massan kertymistä lausekkeella m'=dm/dt=C*πr^2*v. Näillä oletuksilla pisaran liikeyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon
A*y''*y+B*(y')^2+C*g*y=0
Määritä vakiot A,B jaC.
Vähän helpompi jatkotehtävä
Tämä on ilkeä epälineaarinen differentiaaliyhtälö, mutta sille löytyy erikoisratkaisu olettamalla, että pisaran kiihtyvyys on vakio.
Määritä tämä vakiokiihtyvyys.

Sivut

Kommentit (57)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
PPo
Seuraa 
Viestejä14658

CE-hyväksytty kirjoitti:
Juu.

Tuleeko tuosta niin että

a = y'' = -Cg / (A+B) ?

Eli jos kertoimet tiedettäisiin, niin silloin tiedettäisiin myös kiihtyvyys?

Ei ihan mutta aika lähellä kuitenkin.

PPo
Seuraa 
Viestejä14658

CE-hyväksytty kirjoitti:
Ai niin. Eipä olekaan niin, että jos tämän alkuperäisen

A*y''*y+B*(y')^2+C*g*y=0

jakaa y:llä, tulee

A*y''+B*y''+C*g=0,

koska matka ei ole y, vaan dy.

Ei tule, vaan

A*y''+B*(y')^2/y+C*g=0

CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006

PPo kirjoitti:
CE-hyväksytty kirjoitti:
Ai niin. Eipä olekaan niin, että jos tämän alkuperäisen

A*y''*y+B*(y')^2+C*g*y=0

jakaa y:llä, tulee

A*y''+B*y''+C*g=0,

koska matka ei ole y, vaan dy.

Ei tule, vaan

A*y''+B*(y')^2/y+C*g=0

Niinhän mä sanoin, että eipä olekaan niin että tulee.

CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006

y'' * y ei ole sama kuin (y')^2 
y'' * y = (d^2 y) / (d t^2) * y  = (d^2 y^2) / (d t^2) 
ja
(y')^2 = (dy / dt) * (dy / dt) = (d^2 y^2) / (d^2 t^2) 

Mutta kuitenkin yritteillä
y = e^(kt)
y' = k * e^(kt)
y'' = k^2 * e^(kt)
yrittäessä
k^2*e^(kt) * e^(kt)
on sama kuin
(ke^(kt))^2, eli
k^2*e^(2kt)
.

PPo
Seuraa 
Viestejä14658

CE-hyväksytty kirjoitti:
y'' * y ei ole sama kuin (y')^2 
y'' * y = (d^2 y) / (d t^2) * y  = (d^2 y^2) / (d t^2) 
ja
(y')^2 = (dy / dt) * (dy / dt) = (d^2 y^2) / (d^2 t^2) 

Mutta kuitenkin yritteillä
y = e^(kt)
y' = k * e^(kt)
y'' = k^2 * e^(kt)
yrittäessä
k^2*e^(kt) * e^(kt)
on sama kuin
(ke^(kt))^2, eli
k^2*e^(2kt)
.

Eikö olisi järkevämpää lähteä liikkeell yhtälöstä F=dp/dt?

CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006

PPo kirjoitti:
CE-hyväksytty kirjoitti:
y'' * y ei ole sama kuin (y')^2 
y'' * y = (d^2 y) / (d t^2) * y  = (d^2 y^2) / (d t^2) 
ja
(y')^2 = (dy / dt) * (dy / dt) = (d^2 y^2) / (d^2 t^2) 

Mutta kuitenkin yritteillä
y = e^(kt)
y' = k * e^(kt)
y'' = k^2 * e^(kt)
yrittäessä
k^2*e^(kt) * e^(kt)
on sama kuin
(ke^(kt))^2, eli
k^2*e^(2kt)
.

Eikö olisi järkevämpää lähteä liikkeell yhtälöstä F=dp/dt?

Ei hajuakaan.

PPo
Seuraa 
Viestejä14658

PPo kirjoitti:
Tarkastellaan vesisumussa putoavaa pallonmuotoista vesipisaraa, johon putoamisen aikana kertyy lisää massaa. Oletetaan, että pisaran säde r on alussa pieni ja kuvataan massan kertymistä lausekkeella m'=dm/dt=C*πr^2*v. Näillä oletuksilla pisaran liikeyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon
A*y''*y+B*(y')^2+C*g*y=0
Määritä vakiot A,B jaC.
Vähän helpompi jatkotehtävä
Tämä on ilkeä epälineaarinen differentiaaliyhtälö, mutta sille löytyy erikoisratkaisu olettamalla, että pisaran kiihtyvyys on vakio.
Määritä tämä vakiokiihtyvyys.
Klassisen mekaniikan liikeyhtälöiden mitätöiminen on nähtävästi paljon helpompaa kuin niiden kirjoittaminen.

Kyseessä on kuitenkin melko suoraviivainen tehtävä. Toki vähän joutuu yhtälöitä pyörittelemään, mutta sehän ei älyä vaadi korantin todistuksen mukaan toisin kuin prekessiomomentin  tai todellisen hitausvoiman ymmärtäminen.

PPo
Seuraa 
Viestejä14658

kortan kirjoitti:
Viimeisistä lauseistasi on pääteltävissä syvä loukkaantumisesi. Ei ole minun vikani ettei ymmärryksesi riitä.
Ei sillä ole väliä, koska klassisessa mekaniikassa niitä ei tarvita:-)

Siellä selviää vähemmällä ymmärryksellä, mutta pikkuisen pittää osata laskea.

CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006

PPo kirjoitti:
CE-hyväksytty kirjoitti:
y'' * y ei ole sama kuin (y')^2 
y'' * y = (d^2 y) / (d t^2) * y  = (d^2 y^2) / (d t^2) 
ja
(y')^2 = (dy / dt) * (dy / dt) = (d^2 y^2) / (d^2 t^2) 

Mutta kuitenkin yritteillä
y = e^(kt)
y' = k * e^(kt)
y'' = k^2 * e^(kt)
yrittäessä
k^2*e^(kt) * e^(kt)
on sama kuin
(ke^(kt))^2, eli
k^2*e^(2kt)
.

Eikö olisi järkevämpää lähteä liikkeell yhtälöstä F=dp/dt?

Ei onnistu. En hoksaa, enkä välttämättä ole edes tietoinen tempuista joita mahdollisesti vaaditaan.
Differentiaaliyhtälöiden ratkaisutaito on minulla alhainen.

Mistä voi luntata oikean vastauksen?

PPo
Seuraa 
Viestejä14658

CE-hyväksytty kirjoitti:
PPo kirjoitti:
CE-hyväksytty kirjoitti:
y'' * y ei ole sama kuin (y')^2 
y'' * y = (d^2 y) / (d t^2) * y  = (d^2 y^2) / (d t^2) 
ja
(y')^2 = (dy / dt) * (dy / dt) = (d^2 y^2) / (d^2 t^2) 

Mutta kuitenkin yritteillä
y = e^(kt)
y' = k * e^(kt)
y'' = k^2 * e^(kt)
yrittäessä
k^2*e^(kt) * e^(kt)
on sama kuin
(ke^(kt))^2, eli
k^2*e^(2kt)
.

Eikö olisi järkevämpää lähteä liikkeell yhtälöstä F=dp/dt?

Ei onnistu. En hoksaa, enkä välttämättä ole edes tietoinen tempuista joita mahdollisesti vaaditaan.
Differentiaaliyhtälöiden ratkaisutaito on minulla alhainen.

Mistä voi luntata oikean vastauksen?

Tehtävä on erään klassisen mekaniikan oppikirjan harjoitustehtävä.

Suoritusohjeet puuttuvat, joten pelkkä vastaus ei tee hullua hurskaammaksi.

CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006

PPo kirjoitti:
CE-hyväksytty kirjoitti:
PPo kirjoitti:
CE-hyväksytty kirjoitti:
y'' * y ei ole sama kuin (y')^2 
y'' * y = (d^2 y) / (d t^2) * y  = (d^2 y^2) / (d t^2) 
ja
(y')^2 = (dy / dt) * (dy / dt) = (d^2 y^2) / (d^2 t^2) 

Mutta kuitenkin yritteillä
y = e^(kt)
y' = k * e^(kt)
y'' = k^2 * e^(kt)
yrittäessä
k^2*e^(kt) * e^(kt)
on sama kuin
(ke^(kt))^2, eli
k^2*e^(2kt)
.

Eikö olisi järkevämpää lähteä liikkeell yhtälöstä F=dp/dt?

Ei onnistu. En hoksaa, enkä välttämättä ole edes tietoinen tempuista joita mahdollisesti vaaditaan.
Differentiaaliyhtälöiden ratkaisutaito on minulla alhainen.

Mistä voi luntata oikean vastauksen?

Tehtävä on erään klassisen mekaniikan oppikirjan harjoitustehtävä.

Suoritusohjeet puuttuvat, joten pelkkä vastaus ei tee hullua hurskaammaksi.

Luulin että sinä itse osaisit.
Mutta ei sitte.

PPo
Seuraa 
Viestejä14658

CE-hyväksytty kirjoitti:
PPo kirjoitti:
CE-hyväksytty kirjoitti:
PPo kirjoitti:
CE-hyväksytty kirjoitti:
y'' * y ei ole sama kuin (y')^2 
y'' * y = (d^2 y) / (d t^2) * y  = (d^2 y^2) / (d t^2) 
ja
(y')^2 = (dy / dt) * (dy / dt) = (d^2 y^2) / (d^2 t^2) 

Mutta kuitenkin yritteillä
y = e^(kt)
y' = k * e^(kt)
y'' = k^2 * e^(kt)
yrittäessä
k^2*e^(kt) * e^(kt)
on sama kuin
(ke^(kt))^2, eli
k^2*e^(2kt)
.

Eikö olisi järkevämpää lähteä liikkeell yhtälöstä F=dp/dt?

Ei onnistu. En hoksaa, enkä välttämättä ole edes tietoinen tempuista joita mahdollisesti vaaditaan.
Differentiaaliyhtälöiden ratkaisutaito on minulla alhainen.

Mistä voi luntata oikean vastauksen?

Tehtävä on erään klassisen mekaniikan oppikirjan harjoitustehtävä.

Suoritusohjeet puuttuvat, joten pelkkä vastaus ei tee hullua hurskaammaksi.

Luulin että sinä itse osaisit.
Mutta ei sitte.

Tämä tehtävä sen verran yksinkertainen, että jopa minä uskon osaavani ratkaista sen. Toki ratkaisun keksimiseen meni jonkin verran aikaa.

Nyt vain odottelen jahka joku muukin ratkaisee tehtävän ja samalla varmistuu, että ratkaisuni on oikein.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat