Seuraa 
Viestejä7

Olen tehnyt monta kyseisen aihepiirin tehtäviä, jotka ovat tyyliä:
" Laske pisteen a etäisyys annetulta suoralta. a = [1 , 2], y= 3x + 2"
Tämäntyyppiset saa helposti ratkaistua, ratkaistaan vakio (ellei ole annettu jo) ja laitetaan koko homma ratkaisukaavaan, simppeliä.
Osaan ratkaista edellämainitun tehtävän ilman mitään ongelmia, mutta eteeni tuli hieman erilainen tehtävä, en ole varma onko kyseessä kompa, mutta en vain ymmärrä sitä:

Laske pisteen (2,6) etäisyys suoralta r = r0 + tv, kun r0 = [1, -1] ja v = [2, 10]

Kiitoksia :)

Kommentit (7)

Eusa
Seuraa 
Viestejä17226

Käyttäjä7109 kirjoitti:
Olen tehnyt monta kyseisen aihepiirin tehtäviä, jotka ovat tyyliä:
" Laske pisteen a etäisyys annetulta suoralta. a = [1 , 2], y= 3x + 2"
Tämäntyyppiset saa helposti ratkaistua, ratkaistaan vakio (ellei ole annettu jo) ja laitetaan koko homma ratkaisukaavaan, simppeliä.
Osaan ratkaista edellämainitun tehtävän ilman mitään ongelmia, mutta eteeni tuli hieman erilainen tehtävä, en ole varma onko kyseessä kompa, mutta en vain ymmärrä sitä:

Laske pisteen (2,6) etäisyys suoralta r = r0 + tv, kun r0 = [1, -1] ja v = [2, 10]

Kiitoksia :)


Piirrä lähtöpiste ja suuntavektori koordinaatistoon ja löydä siitä suoran yhtälö, esim. 5x-6 ja sen jälkeen osannetkin ratkaista. Tuo t on vain venytyskerroin miinus äärettömästä äärettömään.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

wisti
Seuraa 
Viestejä14793

Eusa kirjoitti:
Käyttäjä7109 kirjoitti:
Olen tehnyt monta kyseisen aihepiirin tehtäviä, jotka ovat tyyliä:
" Laske pisteen a etäisyys annetulta suoralta. a = [1 , 2], y= 3x + 2"
Tämäntyyppiset saa helposti ratkaistua, ratkaistaan vakio (ellei ole annettu jo) ja laitetaan koko homma ratkaisukaavaan, simppeliä.
Osaan ratkaista edellämainitun tehtävän ilman mitään ongelmia, mutta eteeni tuli hieman erilainen tehtävä, en ole varma onko kyseessä kompa, mutta en vain ymmärrä sitä:

Laske pisteen (2,6) etäisyys suoralta r = r0 + tv, kun r0 = [1, -1] ja v = [2, 10]

Kiitoksia :)


Piirrä lähtöpiste ja suuntavektori koordinaatistoon ja löydä siitä suoran yhtälö, esim. 5x-6 ja sen jälkeen osannetkin ratkaista. Tuo t on vain venytyskerroin miinus äärettömästä äärettömään.

Tämä r = xi + yi Ja ro = i - j , v = 2i + 10j.
r = ro + tv. antaa x = 1 + 2t. Mitä saat y:lle?
Eliminoi t, jolloin saat tutun muotoisen yhtälön x:n ja y:n välille.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
käyttäjä-7929
Seuraa 
Viestejä521

R(t) = (1, - 1) + t (2,10) = (1 + 2 t, - 1 + 10 t).  P = (2,6).

R(t) - P = ( - 1 + 2 t , - 7 + 10 t)

l R(t) - P l ^2 = 1 + 4 t^2 - 4 t + 49 + 100 t^2 - 140 t = 104 t^2 - 144 t + 50. Tämän minimi on kun

208 t - 144 = 0 eli kun t = 9/13. R(9/13) on suoran piste joka on lähinnä pistettä P.

lR(9/13) - P l = l 1 + 18/13 - 2, - 1 + 90/13 - 6 l = l 5/13, - 1 /13 l = sqrt(26/13^2 ) = sqrt(2/13).

Laskun voi laskea monella muullakin tavalla. Esim. ehdosta, että täytyy olla vaikkapa vektorien R(t) - R(0) ja

P - R(t) kohtisuorassa. Tai sitten tuolla "vanhastavalla" tavalla että laitetaan ensin suoran yhtälö muotoon y = kx + b

ja etsitään suora y = - 1/k x + c joka kulkee P:n kautta ja sitten lasketaan suorien leikkauspiste jas sen etäisyuys pisteestä P.

käyttäjä-7929
Seuraa 
Viestejä521

Käyttäjä7109 kirjoitti:
r=(1,−1)+t(2,10) p = (2, 6)

Voidaan kirjoittaa

y+1=5(x−1)

y=5x−6

Ja tästä on helppo jatkaa

Kiitos vastauksille

Tässä vähän lisää.

Etsitään pisteen (1)  (e,f) etäisyyttä suorasta (2)  ax+by = c.

Suoran (2)normaali on vektori (a,b) sillä jos (x1,y1) ja (x2,y2) ovat suoran (2) pisteitä niin

a(x1 - x2) + b (y1 - y2) = c - c = 0 eli (a,b)  on kohtisuorassa suoran (2) suuntaista  vektoria (x1 - x2, y1 - y2 ) vastaan.

Ykkösnormaali on siis N =  (a /sqrt(a^2 + b^2) , b / sqrt(a^2 + b^2)).

Pisteen (e,f) kautta kulkeva suoran (2) suuntainen suora on (3)  ax + by = d missä d = ae + bf.

Pisteen (1) etäisyys suorasta (2)  on sama kuin suorien (2) ja (3) etäisyys, mikä on

l (d - c)/ sqrt(a^2 + b^2) l

Suoran (2)  minkä tahansa pisteen R =  (x,y ) projektio yksikkönormaalille N on (R,N) N = 

(c/ sqrt(a^2 + b^2)) N, samoin suoran (3) osalta vastaava on (d/ sqrt(a^2 + b^2)) N.

Nyt meillä on suora R(t) = (1, - 1) + t (2,10) = (1+2t, - 1 + 10 t). Nähdään että  5(1+ 2t)  - ( - 1 + 10 t) = 6 eli 5x - y = 6.

Pisteen (2,6) kautta kulkeva yhdensuuntainen suora on 5x - y = 5*2 - 1*6 = 4

Pisteen (2,6) etäisyys  annetusta suorasta on siis l ( 4 - 6)/sqrt(25 + 1) l = 2/sqrt(26) = sqrt(2/13).

käyttäjä-7929
Seuraa 
Viestejä521

Todettakoon, että pisteen etäisyys tasosta saadaan aivan analogisella tavalla. Olkoon (A,B) vektorien A ja B sisätulo.Olkoon piste (1 )    P  = (e,f,g).

Jos A = (a,b,c) ja R = (x,y,z) tason (2)  ax +by +cz = d yhtälö voidaan kirjoittaa  (A,R) = d.

Jos  R1 ja R2  ovat tason (2) pisteitä niin (A, R1 - R2) = (A,R1) - (A,R2) = d - d = 0 joten A on kohtisuorassa tasoa (2) vastaan..

Pisteen P kautta kulkeva tason (2) suuntainen taso on (3)   (A,R) = (A,P) = ae + bf + c g = h. Pisteen P etäisyys tasosta (2) on sama kuin tasojen (2) ja (3) etäisyys , joka on 

l h - d l / sqrt(a^2 + b^2 + c^2).

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat