Sivut

Kommentit (199)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2552

QS kirjoitti:
Ryhmäteoria on edelleen kiehtova. Oon vaan sotkeutunut erääseen suhtis-jankutukseen kuluttamaan kaiken ajan mitä ehdin foorumilla käyttää. Tosin tavallaan tätäkin sivuten, koska ryhmän SO+(1, 3) soveltamista :)

Mutta kaivelin jo ryhmäteorian prjujuja odottamaan, jotta saan kerrattua asioita. Jatketaan jossain välissä.

Tuo on hyvä toi suhtisketju, siinä se nimimerkki matalaprofiili on siis ilmeisesti kumonnut suhteellisuusteorian  (kts.★ alla). Olen seuraillut sitä ihan satunnaisesti, mutta en ole niihin laskelmiin syventynyt. Sieltä bongasin  sen puskujen epäkommutatiivisuuden johon pitäisi varmaan syventyä lähemmin, siitä saa ilmeisesti paljonkin irti mm. kiihtyvässä liikkeessä olevan koordinaatiston Thomas-prekession, ilmiö jolla ei ole vastinetta klassisen mekaniikan puolella ym.

★)Suhteellisuusteorian kumoajalle sopii toki se vaatimaton nimimerkki, olishan se aika törkeetä joku muu nimimerkki heh heh...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2552

Kokeilen nyt (taas) online LaTex-editorilla tehdyn kuvan liittämistä eli ylläolevassa kuvassa Poincaren ryhmän G kaksi alkiota P₁  ja P₂ esitettynä 5x5-matriiseina, joissa Λ ₁  ja Λ₂ ovat Lorentz-muunnoksia ja x₁ ja x₂ ovat aika-avaruuden vektoreita. Kaavojen numerointi on jostain syystä sellainen, että kaavan numero on varsinaisen alla. Poincaren ryhmän alkiot voidaan siis esittää kaavan 3 mukaisina  pareina  (Λ, x ), yksikäsitteisesti. Poincareryhmän dimensio on 10, joista tuo Lorentz-muunnokset Λ eli SO(1,3) vie 6 parametria ja tuo aika-avaruuden translaatiota kuvaava x vaatii 4 parametria, reality check 4 + 6 = 10, OK.

Tuosta matriisimuodosta voikin sitten päätellä minkälainen on Poincaren ryhmän Lie-algebra. Tuo kaava numero 5 esittää sen asian , että G on ryhmien puolisuora tulo (=tässä ★) ryhmästä SO(1,3) ja Minkowski-avaruudesta ℝ¹'³  ( = translaatioiden ryhmä ). 

Tätä kirjoitaessani pääsi kaljatölkit lähes jäätymään pakastimessa, no kyllä ne siitä sulaa...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Eusa
Seuraa 
Viestejä17025

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:
Ryhmäteoria on edelleen kiehtova. Oon vaan sotkeutunut erääseen suhtis-jankutukseen kuluttamaan kaiken ajan mitä ehdin foorumilla käyttää. Tosin tavallaan tätäkin sivuten, koska ryhmän SO+(1, 3) soveltamista :)

Mutta kaivelin jo ryhmäteorian prjujuja odottamaan, jotta saan kerrattua asioita. Jatketaan jossain välissä.

...Sieltä bongasin  sen puskujen epäkommutatiivisuuden johon pitäisi varmaan syventyä lähemmin, siitä saa ilmeisesti paljonkin irti mm. kiihtyvässä liikkeessä olevan koordinaatiston Thomas-prekession, ilmiö jolla ei ole vastinetta klassisen mekaniikan puolella ym.


https://arxiv.org/pdf/1302.5678

Tuolla tulee vastaan mm. gyroryhmät ja Thomas-prekessiomatriisit.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä5301

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:
Ryhmäteoria on edelleen kiehtova. Oon vaan sotkeutunut erääseen suhtis-jankutukseen kuluttamaan kaiken ajan mitä ehdin foorumilla käyttää. Tosin tavallaan tätäkin sivuten, koska ryhmän SO+(1, 3) soveltamista :)

Mutta kaivelin jo ryhmäteorian prjujuja odottamaan, jotta saan kerrattua asioita. Jatketaan jossain välissä.

Tuo on hyvä toi suhtisketju, siinä se nimimerkki matalaprofiili on siis ilmeisesti kumonnut suhteellisuusteorian  (kts.★ alla).

Olen seuraillut sitä ihan satunnaisesti, mutta en ole niihin laskelmiin syventynyt. Sieltä bongasin  sen puskujen epäkommutatiivisuuden johon pitäisi varmaan syventyä lähemmin, siitä saa ilmeisesti paljonkin irti mm. kiihtyvässä liikkeessä olevan koordinaatiston Thomas-prekession, ilmiö jolla ei ole vastinetta klassisen mekaniikan puolella ym.

★)Suhteellisuusteorian kumoajalle sopii toki se vaatimaton nimimerkki, olishan se aika törkeetä joku muu nimimerkki heh heh...

Juu siellä oli mielenkiintoisia laskuja, mutta sen ketjun vaatimaton avaaja mp voisi kumota itsensä nettipiuhojensa päälle ja katkaista ne  :)

Mutta kuvassa Wignerin rotaation laskukaava !

Puskut B kommutoivat, kun ne parametrisoidaan yhdensuuntaisilla nopeusvektoreilla. Esim puskut B(-v)B(v) = Id ja myös puskut B(-v)B(-u)B(u)B(v) = B(-v) * Id * B(v) = B(-v)B(v) = Id, missä u ja v voivat olla erisuuntaisia. Mutta erisuuntaisille u ja v käykin niin, että B(v)B(u) ≠ B(-u)B(-v). Tällä on välitön seuraus tilanteeseen, jossa pusku inertiaalista K ensin nopeudella u inertiaaliin K', jonka jälkeen nopeudella v inertiaaliin K''. Käänteinen pusku ensin -v ja sitten -u ei johda takaisin inertiaaliin K.

Käytännön melko yksinkertainen tilanne muokattuna sieltä toisesta keskustelusta: K' liikkuu K:n suhteen nopeudella u = (v_x, v_y) = (0, 0.6) ja K'' liikkuu K':n suhteen nopeudella v = (0.6, 0). Vektorien u ja v välinen kulma θ=90°. Visuaalisesti ajateltuna K' liikkuu K:n inertiaalissa y-akselia ylös, ja K'' liikkuu K':n inertiaalissa x'-akselia oikealle. Inertiaalien akselit samansuuntaisia ja synkronoitu (t,x,y)=(t',x',y')=...=(0,0,0).

Relativistisella nopeuksien yhteenlaskulla saadaan inertiaalien K ja K'' väliset suhteelliset nopeudet (jätän kaavat pois, vain tulokset):
K'':n nopeus K:n suhteen U =  u ⊕ v = (0.48, 0.6)
K:n nopeus K'':n suhteen V = -v ⊕ -u = (-0.6, -0.48)

Selvästi suhteelliset nopeudet eivät ole symmetrisiä, koska U ≠ -V, vaikkakin |U| = |V|.

K mittaa K'':n nopeuden ja x-akselin väliseksi kulmaksi tan α = 0.6/0.48 --> α = 51.34°
K'' mittaa K:n nopeuden ja x''-akselin väliseksi kulmaksi tan α'' = -0.48/-0.6 --> α'' = 38.66°

Jopa paradoksaalista tilanteessa, jossa ei ole inertiaalia K', mutta K mittaa K'':n nopeudeksi U = (0.48, 0.6). Symmetrisen suhteellisen nopeuden mukaisesti K'':n tulisi mitata V = -U = (-0.48,-0.6). Edellisen laskun mukaan näin ei ole. Voi ihan oikeutusti kysyä, että miten suhteellinen nopeus pitäisi oikein määritellä, kun symmetrisyyteen ei voi nojautua.

Wignerin rotaatio on ilmiö, jossa peräkkäisissä ei-kommutoivissa puskuissa K->K'->K'' käy niin, että K:sta tarkasteltuna inertiaalin K'' akselit kiertyvät tietyn kulman K:n akselien suhteen. Ilmiö on fysikaalinen, koska K todella havaitsee K'':n pyörähtäneen tässä esimerkissä z''-akselin ympäri. Tosin K'' ei tietystikään mittaa kiertomomenttia tai muutakaan vuorovaikutusta. Vastaavasti K'' havaitsee inertiaalin K rotaation.

Kulma voidaan laskea kuvan kaavalla. Tässä esimerkissä θ = 90°, ja γᵤ = γᵥ = 1/√(1-0.6²) = 1.25, jolloin

k² = 81 --> k = 9 ja
cos β = 40/41 --> β = 12.68°

Esimerkissä nopeuksien ja x-akselin välisten kulmien ero α - α'' = 12.68° = β. Sama kuin Wignerin rotaatio.

Puskujen epäkommutatiivisuudesta seuraa, että havaitsijan A mittaama A:n ja B:n suhteellinen nopeus ei ole sellaisenaan riittävä fysikaalisen tilanteen kuvaamiseen, vaan on tunnettava myös B:n mittaama nopeus A:lle, tai vaihtoehtoisesti selvitettävä inertiaalien orientaatio toistensa suhteen.

Tämä ei ollut ihan otsikon mukaista ryhmäteoriaa, mutta mielenkiintoinen seuraus Lorentzin ryhmän ominaisuuksista. Ja tästä voi johtaa myös mainitsemasi Thomas-prekession.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17025

QS kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:
Ryhmäteoria on edelleen kiehtova. Oon vaan sotkeutunut erääseen suhtis-jankutukseen kuluttamaan kaiken ajan mitä ehdin foorumilla käyttää. Tosin tavallaan tätäkin sivuten, koska ryhmän SO+(1, 3) soveltamista :)

Mutta kaivelin jo ryhmäteorian prjujuja odottamaan, jotta saan kerrattua asioita. Jatketaan jossain välissä.

Tuo on hyvä toi suhtisketju, siinä se nimimerkki matalaprofiili on siis ilmeisesti kumonnut suhteellisuusteorian  (kts.★ alla).

Olen seuraillut sitä ihan satunnaisesti, mutta en ole niihin laskelmiin syventynyt. Sieltä bongasin  sen puskujen epäkommutatiivisuuden johon pitäisi varmaan syventyä lähemmin, siitä saa ilmeisesti paljonkin irti mm. kiihtyvässä liikkeessä olevan koordinaatiston Thomas-prekession, ilmiö jolla ei ole vastinetta klassisen mekaniikan puolella ym.

★)Suhteellisuusteorian kumoajalle sopii toki se vaatimaton nimimerkki, olishan se aika törkeetä joku muu nimimerkki heh heh...

Juu siellä oli mielenkiintoisia laskuja, mutta sen ketjun vaatimaton avaaja mp voisi kumota itsensä nettipiuhojensa päälle ja katkaista ne  :)

Mutta kuvassa Wignerin rotaation laskukaava !

Puskut B kommutoivat, kun ne parametrisoidaan yhdensuuntaisilla nopeusvektoreilla. Esim puskut B(-v)B(v) = Id ja myös puskut B(-v)B(-u)B(u)B(v) = B(-v) * Id * B(v) = B(-v)B(v) = Id, missä u ja v voivat olla erisuuntaisia. Mutta erisuuntaisille u ja v käykin niin, että B(v)B(u) ≠ B(-u)B(-v). Tällä on välitön seuraus tilanteeseen, jossa pusku inertiaalista K ensin nopeudella u inertiaaliin K', jonka jälkeen nopeudella v inertiaaliin K''. Käänteinen pusku ensin -v ja sitten -u ei johda takaisin inertiaaliin K.

Käytännön melko yksinkertainen tilanne muokattuna sieltä toisesta keskustelusta: K' liikkuu K:n suhteen nopeudella u = (v_x, v_y) = (0, 0.6) ja K'' liikkuu K':n suhteen nopeudella v = (0.6, 0). Vektorien u ja v välinen kulma θ=90°. Visuaalisesti ajateltuna K' liikkuu K:n inertiaalissa y-akselia ylös, ja K'' liikkuu K':n inertiaalissa x'-akselia oikealle. Inertiaalien akselit samansuuntaisia ja synkronoitu (t,x,y)=(t',x',y')=...=(0,0,0).

Relativistisella nopeuksien yhteenlaskulla saadaan inertiaalien K ja K'' väliset suhteelliset nopeudet (jätän kaavat pois, vain tulokset):
K'':n nopeus K:n suhteen U =  u ⊕ v = (0.48, 0.6)
K:n nopeus K'':n suhteen V = -v ⊕ -u = (-0.6, -0.48)

Selvästi suhteelliset nopeudet eivät ole symmetrisiä, koska U ≠ -V, vaikkakin |U| = |V|.

K mittaa K'':n nopeuden ja x-akselin väliseksi kulmaksi tan α = 0.6/0.48 --> α = 51.34°
K'' mittaa K:n nopeuden ja x''-akselin väliseksi kulmaksi tan α'' = -0.48/-0.6 --> α'' = 38.66°

Jopa paradoksaalista tilanteessa, jossa ei ole inertiaalia K', mutta K mittaa K'':n nopeudeksi U = (0.48, 0.6). Symmetrisen suhteellisen nopeuden mukaisesti K'':n tulisi mitata V = -U = (-0.48,-0.6). Edellisen laskun mukaan näin ei ole. Voi ihan oikeutusti kysyä, että miten suhteellinen nopeus pitäisi oikein määritellä, kun symmetrisyyteen ei voi nojautua.

Wignerin rotaatio on ilmiö, jossa peräkkäisissä ei-kommutoivissa puskuissa K->K'->K'' käy niin, että K:sta tarkasteltuna inertiaalin K'' akselit kiertyvät tietyn kulman K:n akselien suhteen. Ilmiö on fysikaalinen, koska K todella havaitsee K'':n pyörähtäneen tässä esimerkissä z''-akselin ympäri. Tosin K'' ei tietystikään mittaa kiertomomenttia tai muutakaan vuorovaikutusta. Vastaavasti K'' havaitsee inertiaalin K rotaation.

Kulma voidaan laskea kuvan kaavalla. Tässä esimerkissä θ = 90°, ja γᵤ = γᵥ = 1/√(1-0.6²) = 1.25, jolloin

k² = 81 --> k = 9 ja
cos β = 40/41 --> β = 12.68°

Esimerkissä nopeuksien ja x-akselin välisten kulmien ero α - α'' = 12.68° = β. Sama kuin Wignerin rotaatio.

Puskujen epäkommutatiivisuudesta seuraa, että havaitsijan A mittaama A:n ja B:n suhteellinen nopeus ei ole sellaisenaan riittävä fysikaalisen tilanteen kuvaamiseen, vaan on tunnettava myös B:n mittaama nopeus A:lle, tai vaihtoehtoisesti selvitettävä inertiaalien orientaatio toistensa suhteen.

Tämä ei ollut ihan otsikon mukaista ryhmäteoriaa, mutta mielenkiintoinen seuraus Lorentzin ryhmän ominaisuuksista. Ja tästä voi johtaa myös mainitsemasi Thomas-prekession.


Siellä antamani Hyperbolic Theory -linkin tekstin lopussa samaistettiin eri järjestyksissä suoritetut puskut ja löydettiin hyperbolinen monisto, jossa puskujen vapausasteet siis kommutoisivat. Näin käsitin, tosin pitäisi ehtiä laskemalla tarkistaa oliko yleistys onnistunut...

Thomas-prekessiossa on siis kyse Wignerin rotaation fysikalisoitumisesta tilanteessa, jossa kiihdytetään samoin kuin Bellin paradoksissa etäisyysvälit realisoituvat tai kaksosparadoksissa ikääntymisero kiinnittyy, eikös vain?

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2552

QS kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:
Ryhmäteoria on edelleen kiehtova. Oon vaan sotkeutunut erääseen suhtis-jankutukseen kuluttamaan kaiken ajan mitä ehdin foorumilla käyttää. Tosin tavallaan tätäkin sivuten, koska ryhmän SO+(1, 3) soveltamista :)

Mutta kaivelin jo ryhmäteorian prjujuja odottamaan, jotta saan kerrattua asioita. Jatketaan jossain välissä.

Tuo on hyvä toi suhtisketju, siinä se nimimerkki matalaprofiili on siis ilmeisesti kumonnut suhteellisuusteorian  (kts.★ alla).

Olen seuraillut sitä ihan satunnaisesti, mutta en ole niihin laskelmiin syventynyt. Sieltä bongasin  sen puskujen epäkommutatiivisuuden johon pitäisi varmaan syventyä lähemmin, siitä saa ilmeisesti paljonkin irti mm. kiihtyvässä liikkeessä olevan koordinaatiston Thomas-prekession, ilmiö jolla ei ole vastinetta klassisen mekaniikan puolella ym.

★)Suhteellisuusteorian kumoajalle sopii toki se vaatimaton nimimerkki, olishan se aika törkeetä joku muu nimimerkki heh heh...

Juu siellä oli mielenkiintoisia laskuja, mutta sen ketjun vaatimaton avaaja mp voisi kumota itsensä nettipiuhojensa päälle ja katkaista ne  :)

Mutta kuvassa Wignerin rotaation laskukaava !

Puskut B kommutoivat, kun ne parametrisoidaan yhdensuuntaisilla nopeusvektoreilla. Esim puskut B(-v)B(v) = Id ja myös puskut B(-v)B(-u)B(u)B(v) = B(-v) * Id * B(v) = B(-v)B(v) = Id, missä u ja v voivat olla erisuuntaisia. Mutta erisuuntaisille u ja v käykin niin, että B(v)B(u) ≠ B(-u)B(-v). Tällä on välitön seuraus tilanteeseen, jossa pusku inertiaalista K ensin nopeudella u inertiaaliin K', jonka jälkeen nopeudella v inertiaaliin K''. Käänteinen pusku ensin -v ja sitten -u ei johda takaisin inertiaaliin K.

Käytännön melko yksinkertainen tilanne muokattuna sieltä toisesta keskustelusta: K' liikkuu K:n suhteen nopeudella u = (v_x, v_y) = (0, 0.6) ja K'' liikkuu K':n suhteen nopeudella v = (0.6, 0). Vektorien u ja v välinen kulma θ=90°. Visuaalisesti ajateltuna K' liikkuu K:n inertiaalissa y-akselia ylös, ja K'' liikkuu K':n inertiaalissa x'-akselia oikealle. Inertiaalien akselit samansuuntaisia ja synkronoitu (t,x,y)=(t',x',y')=...=(0,0,0).

Relativistisella nopeuksien yhteenlaskulla saadaan inertiaalien K ja K'' väliset suhteelliset nopeudet (jätän kaavat pois, vain tulokset):
K'':n nopeus K:n suhteen U =  u ⊕ v = (0.48, 0.6)
K:n nopeus K'':n suhteen V = -v ⊕ -u = (-0.6, -0.48)

Selvästi suhteelliset nopeudet eivät ole symmetrisiä, koska U ≠ -V, vaikkakin |U| = |V|.

K mittaa K'':n nopeuden ja x-akselin väliseksi kulmaksi tan α = 0.6/0.48 --> α = 51.34°
K'' mittaa K:n nopeuden ja x''-akselin väliseksi kulmaksi tan α'' = -0.48/-0.6 --> α'' = 38.66°

Jopa paradoksaalista tilanteessa, jossa ei ole inertiaalia K', mutta K mittaa K'':n nopeudeksi U = (0.48, 0.6). Symmetrisen suhteellisen nopeuden mukaisesti K'':n tulisi mitata V = -U = (-0.48,-0.6). Edellisen laskun mukaan näin ei ole. Voi ihan oikeutusti kysyä, että miten suhteellinen nopeus pitäisi oikein määritellä, kun symmetrisyyteen ei voi nojautua.

Wignerin rotaatio on ilmiö, jossa peräkkäisissä ei-kommutoivissa puskuissa K->K'->K'' käy niin, että K:sta tarkasteltuna inertiaalin K'' akselit kiertyvät tietyn kulman K:n akselien suhteen. Ilmiö on fysikaalinen, koska K todella havaitsee K'':n pyörähtäneen tässä esimerkissä z''-akselin ympäri. Tosin K'' ei tietystikään mittaa kiertomomenttia tai muutakaan vuorovaikutusta. Vastaavasti K'' havaitsee inertiaalin K rotaation.

Kulma voidaan laskea kuvan kaavalla. Tässä esimerkissä θ = 90°, ja γᵤ = γᵥ = 1/√(1-0.6²) = 1.25, jolloin

k² = 81 --> k = 9 ja
cos β = 40/41 --> β = 12.68°

Esimerkissä nopeuksien ja x-akselin välisten kulmien ero α - α'' = 12.68° = β. Sama kuin Wignerin rotaatio.

Puskujen epäkommutatiivisuudesta seuraa, että havaitsijan A mittaama A:n ja B:n suhteellinen nopeus ei ole sellaisenaan riittävä fysikaalisen tilanteen kuvaamiseen, vaan on tunnettava myös B:n mittaama nopeus A:lle, tai vaihtoehtoisesti selvitettävä inertiaalien orientaatio toistensa suhteen.

Tämä ei ollut ihan otsikon mukaista ryhmäteoriaa, mutta mielenkiintoinen seuraus Lorentzin ryhmän ominaisuuksista. Ja tästä voi johtaa myös mainitsemasi Thomas-prekession.

Tuossa suhtiskumoamisketjussa mun piti perehtyä noihin laskelmiin, mutta se jäi tekemättä.  Nyt ne ovat tuossa yhdessä tiiviissä nipussa, kiitoksia tuosta, täytyy tutustua noihin ajan kanssa tässä myöhemmin, luultavasti vasta (ensi + 0,1,2,.. ) viikonloppuna. Tuo nopeuden yhteenlasku, Thomas, Wigner etc, ovat kyllä perehtymisen arvoisia.

Minä tuota Thomas-prekessiota jo  taannoin selvittelin itselleni, kun oli tarkoituksenani vastata johonkin ketjuun, mutta se jäi viimeistelemättä silloin. Lähteenä mulla oli se Jacksonin ED-kirja , mutta vilkaisin nyt tuota Wikin artikkelia ja siinä periaatteessa aihetta käsitellään samalla tavalla kuin Jacksonissa, mutta ehkä hieman selkeämmin, mutta palataan aiheisiin kun keretään!

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2552

Toi uudenkarhea muokkausnappi oli kyllä pettymys, sitä painaessa päätyy vaan sivulle tiede.fi. Olisin odottanut sentään vähän parempaa, no kaikkea ei voi saada. Tosin kyllä tällä palstallakin on olut aikoinaan ihan toimiva viestin muokkaustoiminto, mutta se olikin jotain ikivanhaa teknologiaa.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5301

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Kokeilen nyt (taas) online LaTex-editorilla tehdyn kuvan liittämistä eli ylläolevassa kuvassa Poincaren ryhmän G kaksi alkiota P₁  ja P₂ esitettynä 5x5-matriiseina, joissa Λ ₁  ja Λ₂ ovat Lorentz-muunnoksia ja x₁ ja x₂ ovat aika-avaruuden vektoreita. Kaavojen numerointi on jostain syystä sellainen, että kaavan numero on varsinaisen alla. Poincaren ryhmän alkiot voidaan siis esittää kaavan 3 mukaisina  pareina  (Λ, x ), yksikäsitteisesti. Poincareryhmän dimensio on 10, joista tuo Lorentz-muunnokset Λ eli SO(1,3) vie 6 parametria ja tuo aika-avaruuden translaatiota kuvaava x vaatii 4 parametria, reality check 4 + 6 = 10, OK.

Tuosta matriisimuodosta voikin sitten päätellä minkälainen on Poincaren ryhmän Lie-algebra. Tuo kaava numero 5 esittää sen asian , että G on ryhmien puolisuora tulo (=tässä ★) ryhmästä SO(1,3) ja Minkowski-avaruudesta ℝ¹'³  ( = translaatioiden ryhmä ). 

Tätä kirjoitaessani pääsi kaljatölkit lähes jäätymään pakastimessa, no kyllä ne siitä sulaa...

Joo, nelivektorin (tai no, viisivektorin...) muunnos tuosta yksinkertaisesti esim. (x', 1 )ᵀ = P₁ (x, 1 )ᵀ = ( Λx + x₁, 1 )ᵀ.

Poincaren ryhmään pitää uppoutua syvemmällekin, kun ehditään. Ryhmään liittyy läheisesti Wigner's classification, jolla luokitellaan hiukkasten fysikaalisia ominaisuuksia.

Puolisuora tulo on mulle käsitteenä hiukan mystinen 'laskutoimitus', mutta ainakin tässä tapauksessa yksinkertainen. Poincare-muunnos saadaan aika-avaruuden translaation ja homogeenisen Lorentzmuunnoksen tulona (tulo ei kommutoi, vaan oltava tässä järjestyksessä):

(Λ, x ) = (I, x ) (Λ, 0 ), ja myös
(Λ, x ) = (Λ, 0 ) (I, Λ⁻¹ x )

Infinitesimaali pelkkä translaatio voidaan kirjoittaa (I, δa) = I − i δaᵤ Pᵘ, missä neljä (μ=0,1,2,3) matriisia Pᵘ ovat 5x5 matriiseja, jotka muutoin nollia, paitsi viimeisessä sarakkeessa kussakin matriisissa i rivillä μ.

Lorentzmuunnokset saadaan Lorentzin ryhmän pusku- ja rotaatio-generaattoreilla Kᵘ ja Jᵘ, joihin myös lisätty tuo viides rivi ja sarake.

Noista saadaan ulos kommutaattorit, joista kommutoivat

Kaikki translaatiot [Pᵤ, Pᵥ] = 0
Avaruuden rotaatiot ja ajan translaatio [Jᵢ , P₀] = 0
Saman akselin avaruuden rotaatiot ja avaruuden translaatiot [Jᵢ , Pᵢ] = 0
Eri akselien avaruuden puskut ja avaruuden transalaatiot [Kᵢ, Pⱼ] = 0.

Loput kolme eivät sitten kommutoikaan.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2552

Olen tässä juuri aloittelemassa ns. aikaistettua viikonloppua (= AikVkl "armeija"lyhentein..) joka sisältää sitä kaikkkea mitä perjantaikin sisältää...

QS kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Kokeilen nyt (taas) online LaTex-editorilla tehdyn kuvan liittämistä eli ylläolevassa kuvassa Poincaren ryhmän G kaksi alkiota P₁  ja P₂ esitettynä 5x5-matriiseina, joissa Λ ₁  ja Λ₂ ovat Lorentz-muunnoksia ja x₁ ja x₂ ovat aika-avaruuden vektoreita. Kaavojen numerointi on jostain syystä sellainen, että kaavan numero on varsinaisen alla. Poincaren ryhmän alkiot voidaan siis esittää kaavan 3 mukaisina  pareina  (Λ, x ), yksikäsitteisesti. Poincareryhmän dimensio on 10, joista tuo Lorentz-muunnokset Λ eli SO(1,3) vie 6 parametria ja tuo aika-avaruuden translaatiota kuvaava x vaatii 4 parametria, reality check 4 + 6 = 10, OK.

Tuosta matriisimuodosta voikin sitten päätellä minkälainen on Poincaren ryhmän Lie-algebra. Tuo kaava numero 5 esittää sen asian , että G on ryhmien puolisuora tulo (=tässä ★) ryhmästä SO(1,3) ja Minkowski-avaruudesta ℝ¹'³  ( = translaatioiden ryhmä ). 

Tätä kirjoitaessani pääsi kaljatölkit lähes jäätymään pakastimessa, no kyllä ne siitä sulaa...

Joo, nelivektorin (tai no, viisivektorin...) muunnos tuosta yksinkertaisesti esim. (x', 1 )ᵀ = P₁ (x, 1 )ᵀ = ( Λx + x₁, 1 )ᵀ.

Poincaren ryhmään pitää uppoutua syvemmällekin, kun ehditään. Ryhmään liittyy läheisesti Wigner's classification, jolla luokitellaan hiukkasten fysikaalisia ominaisuuksia.

Näin on ja tuo Wigner-luokittelu on kyllä haastava aihe, jos siitä meinaa saada jotain irti, en ole millään onnistunut saamaan kiinni siitä perusteoreemasta, joho jatko perustuu.

QS kirjoitti:

Puolisuora tulo on mulle käsitteenä hiukan mystinen 'laskutoimitus', mutta ainakin tässä tapauksessa yksinkertainen. Poincare-muunnos saadaan aika-avaruuden translaation ja homogeenisen Lorentzmuunnoksen tulona (tulo ei kommutoi, vaan oltava tässä järjestyksessä):

(Λ, x ) = (I, x ) (Λ, 0 ), ja myös
(Λ, x ) = (Λ, 0 ) (I, Λ⁻¹ x )

Joo, onnhan se puolisuoran tulon määritelmä kaikessa yleisyydessään abstrakti, mutta oikeastaan siinä kuitenkin vain tehdään samoja asioita, mitä tuossa Poincaren tapauksessa eli jos ymmärtää Poincaren ymmärtää kyllä ihan oleelliset asiat siitä yleisestäkin puolisuorasta tulosta.

Tossa on hyvä huomata tuo tuon hajotelman yksikäsitteisyys (Λ, x ) = (I, x ) (Λ, 0 ) eli mikä tahansa Poincare-muunnos on tulo Lorentz-ja translaatiomuunnoksesta. Tämä on yleinen puolisuorien tulojen ominaisuus (joskaan ei karakterisoiva) ja se toistuu aina kaikissa niissä ryhmissä jossa esiintyy puolisuoria tuloja.

Tätä sivuava esimerkki on se toisessa ketjussa mainittu Lorentz-muunnoksen Λ∈SO₀(1,3)  hajotelma tulona puskuista B ja rotaatioista:

Λ = B(v) R(n, φ ),

missä B (v) on boosti vektorin v määräämään suuntaan ja R(n, φ) merkitsee rotaatiota yksikkövektorin n määräämän akselin ympäri kulman  φ verran tehtyä rotaatiota. Tuo tulo voidaan esittää myös toistepäin eli Λ = RB, mutta silloin tuo n, v ja φ yleensä eri.

Ja mikä parasta, tuo hajotelma on yksikäsitteinen!

Nyt kuitenkaan Lorentz-ryhmä SO₀(1,3) ei ole puolisuora tulo puskuista eikä rotaatioista, koska puskut eivät muodosta edes alirymää.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5301

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Olen tässä juuri aloittelemassa ns. aikaistettua viikonloppua (= AikVkl "armeija"lyhentein..) joka sisältää sitä kaikkkea mitä perjantaikin sisältää...

QS kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Kokeilen nyt (taas) online LaTex-editorilla tehdyn kuvan liittämistä eli ylläolevassa kuvassa Poincaren ryhmän G kaksi alkiota P₁  ja P₂ esitettynä 5x5-matriiseina, joissa Λ ₁  ja Λ₂ ovat Lorentz-muunnoksia ja x₁ ja x₂ ovat aika-avaruuden vektoreita. Kaavojen numerointi on jostain syystä sellainen, että kaavan numero on varsinaisen alla. Poincaren ryhmän alkiot voidaan siis esittää kaavan 3 mukaisina  pareina  (Λ, x ), yksikäsitteisesti. Poincareryhmän dimensio on 10, joista tuo Lorentz-muunnokset Λ eli SO(1,3) vie 6 parametria ja tuo aika-avaruuden translaatiota kuvaava x vaatii 4 parametria, reality check 4 + 6 = 10, OK.

Tuosta matriisimuodosta voikin sitten päätellä minkälainen on Poincaren ryhmän Lie-algebra. Tuo kaava numero 5 esittää sen asian , että G on ryhmien puolisuora tulo (=tässä ★) ryhmästä SO(1,3) ja Minkowski-avaruudesta ℝ¹'³  ( = translaatioiden ryhmä ). 

Tätä kirjoitaessani pääsi kaljatölkit lähes jäätymään pakastimessa, no kyllä ne siitä sulaa...

Joo, nelivektorin (tai no, viisivektorin...) muunnos tuosta yksinkertaisesti esim. (x', 1 )ᵀ = P₁ (x, 1 )ᵀ = ( Λx + x₁, 1 )ᵀ.

Poincaren ryhmään pitää uppoutua syvemmällekin, kun ehditään. Ryhmään liittyy läheisesti Wigner's classification, jolla luokitellaan hiukkasten fysikaalisia ominaisuuksia.

Näin on ja tuo Wigner-luokittelu on kyllä haastava aihe, jos siitä meinaa saada jotain irti, en ole millään onnistunut saamaan kiinni siitä perusteoreemasta, joho jatko perustuu.

QS kirjoitti:

Puolisuora tulo on mulle käsitteenä hiukan mystinen 'laskutoimitus', mutta ainakin tässä tapauksessa yksinkertainen. Poincare-muunnos saadaan aika-avaruuden translaation ja homogeenisen Lorentzmuunnoksen tulona (tulo ei kommutoi, vaan oltava tässä järjestyksessä):

(Λ, x ) = (I, x ) (Λ, 0 ), ja myös
(Λ, x ) = (Λ, 0 ) (I, Λ⁻¹ x )

Joo, onnhan se puolisuoran tulon määritelmä kaikessa yleisyydessään abstrakti, mutta oikeastaan siinä kuitenkin vain tehdään samoja asioita, mitä tuossa Poincaren tapauksessa eli jos ymmärtää Poincaren ymmärtää kyllä ihan oleelliset asiat siitä yleisestäkin puolisuorasta tulosta.

Tossa on hyvä huomata tuo tuon hajotelman yksikäsitteisyys (Λ, x ) = (I, x ) (Λ, 0 ) eli mikä tahansa Poincare-muunnos on tulo Lorentz-ja translaatiomuunnoksesta. Tämä on yleinen puolisuorien tulojen ominaisuus (joskaan ei karakterisoiva) ja se toistuu aina kaikissa niissä ryhmissä jossa esiintyy puolisuoria tuloja.

Tätä sivuava esimerkki on se toisessa ketjussa mainittu Lorentz-muunnoksen Λ∈SO₀(1,3)  hajotelma tulona puskuista B ja rotaatioista:

Λ = B(v) R(n, φ ),

missä B (v) on boosti vektorin v määräämään suuntaan ja R(n, φ) merkitsee rotaatiota yksikkövektorin n määräämän akselin ympäri kulman  φ verran tehtyä rotaatiota. Tuo tulo voidaan esittää myös toistepäin eli Λ = RB, mutta silloin tuo n, v ja φ yleensä eri.

Ja mikä parasta, tuo hajotelma on yksikäsitteinen!

Nyt kuitenkaan Lorentz-ryhmä SO₀(1,3) ei ole puolisuora tulo puskuista eikä rotaatioista, koska puskut eivät muodosta edes alirymää.

Juu totta, puskut eivät muodosta aliryhmää. Paitsi erikoistapauksena puskut yhdessä ulottuvuudessa muodostavat ryhmän SO(1,1), jonka 2x2 matriisiesitys B(θ) = [ { cosh(θ), -sinh(θ) } ; { -sinh(θ), cosh(θ) } ], missä tällä kertaa cosh θ = γ = 1/√(1-v²). Parametri θ on siis rapiditeetti, joka saadaan nopeudesta θ = arctanh(v).

Kulmalla θ parametrisoituna puskulle pätee B(θ₁ + θ₂) = B(θ₁) B(θ₂), ja nyt rapiditeetit θ ovat additiivisia, eli yhteenlasku θ = θ₁ + θ₂. Näissä tosin nopeuden -1 < v < 1 sijasta −∞ < θ < ∞, jolla kait seuraus ryhmän ominaisuuksiin. En tiedä onko käytännössä olennaisia seurauksia.

Yhteenlasku pätee kuitenkin vain yhden ulottuvuuden puskussa. Yleisessä tapauksessa cosh(θ) = cosh(θ₁) cosh(θ₂) + sinh(θ₁) sinh(θ₂) cos(α), missä α on 3d-nopeusvektorien välinen kulma. No, ehkä hiukan yksinkertaisempi kaava kuin nopeusvektoreilla ilmaista.

Jäi aiemmin pois ne Poincaren ryhmän kolme viimeistä kommutointia (indeksit i,j ja k = 1,2,3):
[Jᵢ, Pⱼ ] = i εᵢⱼₑ Pₑ
[Kᵢ, P₀ ] = −i Pᵢ
[Kᵢ, Pᵢ ] = −i P₀

Tuossa yksityiskohtana, että J (kulmaliikemäärän generaattori) on hermiittinen, mutta K (puskun generaattori) anti-hermiittinen.

Eräs mun motiivi olisi ymmärtää Wignerin luokitus paremmin kuin tähän mennessä. Jospa se kevään mittaan aukenisi, kun tähän Poincaren ryhmään ja sen esityksiin pääsee syvemmälle.

QS
Seuraa 
Viestejä5301

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

...

Tätä sivuava esimerkki on se toisessa ketjussa mainittu Lorentz-muunnoksen Λ∈SO₀(1,3)  hajotelma tulona puskuista B ja rotaatioista:

Λ = B(v) R(n, φ ),

missä B (v) on boosti vektorin v määräämään suuntaan ja R(n, φ) merkitsee rotaatiota yksikkövektorin n määräämän akselin ympäri kulman  φ verran tehtyä rotaatiota. Tuo tulo voidaan esittää myös toistepäin eli Λ = RB, mutta silloin tuo n, v ja φ yleensä eri.

Iltaa. Ajan kulukseni kertaan Lien algebraa so+(1, 3). Ehkä helpottaa myöhemmin Poincaren ryhmän esitysten ihmettelyä. Hiukan vain muutan notaatiotasi, kun loppuu kirjaimet kesken.

Rotaatioiden aliryhmän generaattorit, eli kantavektorit, olivat ne tutut 4x4 matriisit J₁, J₂ ja J₃. Puskujen aliryhmän vastaavasti K₁, K₂ ja K₃. Rotaation generaattori voidaan kirjoitaa vektorina J = (J₁, J₂, J₃) ja puskun K = (K₁, K₂, K₃).

Infinitesimaali rotaatio kulmalla δφ suunnan r ympäri voidaan kirjoittaa R(r, δφ) = I - i δφ J · n, missä I on yksikkömatriisi. Tästä äärellinen rotaatio R(r, φ) = exp( -i φ J · r ).

Jos käytetään aiemmin määriteltyä cosh θ = γ = 1/√(1-v²), voidaan infinitesimaali pusku nopeuden v yksikkövektorin n = v/|v| suuntaan kirjoittaa B(n, δθ) = I - i δθ K · n. Tästä äärellinen pusku B(n, θ) = exp( -i θ K · n )

Ja yleinen äärellinen Lorentzmuunnos Λ = exp -i( φ J · r + θ K · n  ).

Poincaren ryhmän analysoinnissa so+(1, 3) generaattorit kirjoitetaan tyypillisesti hiukan toisella tavalla antisymmetrisenä tensorina Mᵤᵥ, jonka komponentit määritellään

(M₁₂, M₂₂, M₂₁) = (J₃, J₁, J₂) sekä
(M₀₁, M₀₂, M₀₃) = (K₁, K₂, K₃)

Tuon tensorin avulla su+(1, 3) kommutaattorit kirjoitetaan

[Mᵦᵧ, Mᵤᵥ ] = -i ( gᵦᵤ Mᵧᵥ + gᵧᵥ Mᵦᵤ - gᵦᵥ Mᵧᵤ - gᵧᵤ Mᵦᵥ ), ja yleinen Lorentzmuunnos

Λ = exp -½i ωᵘᵛ Mᵤᵥ, missä tämä mystinen ωᵘᵛ on reaalinen antisymmetrinen matriisi, jota voisi vielä ihmetellä toiste.

Sitten vielä redustoitumattomien esitysten tutkimista varten on käytännöllistä (hämmästelen aina 1900-luvun alun fyysikoita ja matemaatikkoja, jotka näitä ainakin minulle ei niin itsestäänselviä käytännöllisyyksiä ovat keksineet) määritellä generaattorien J ja K lineaarikombinaatiot:

Mᵢ = ½ ( Jᵢ + i Kᵢ )
Nᵢ = ½ ( Jᵢ . i Kᵢ ).

Nuo Mᵢ ja Nᵢ ovat hermiittisiä ja unitaarisia, joita matriisit Kᵢ eivät yksinään ole, vaikka kulmaliikemäärägeneraattorit Jᵢ ovatkin.

Phweeh.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2552

Iltaa

QS kirjoitti:

Juu totta, puskut eivät muodosta aliryhmää. Paitsi erikoistapauksena puskut yhdessä ulottuvuudessa muodostavat ryhmän SO(1,1), jonka 2x2 matriisiesitys B(θ) = [ { cosh(θ), -sinh(θ) } ; { -sinh(θ), cosh(θ) } ], missä tällä kertaa cosh θ = γ = 1/√(1-v²). Parametri θ on siis rapiditeetti, joka saadaan nopeudesta θ = arctanh(v). 

Kulmalla θ parametrisoituna puskulle pätee B(θ₁ + θ₂) = B(θ₁) B(θ₂), ja nyt rapiditeetit θ ovat additiivisia, eli yhteenlasku θ = θ₁ + θ₂. Näissä tosin nopeuden -1 < v < 1 sijasta −∞ < θ < ∞, jolla kait seuraus ryhmän ominaisuuksiin. En tiedä onko käytännössä olennaisia seurauksia. 


Tuo antamasi hyperbolinen rotaatio B(θ) on hyvin mielenkiintoinen, kun näin tuon kaavan ensikerran elämässäni joskus opiskeluaikana, olin jokseenkin myyty: siinä oli vaan jotain mystistä, matriisit B toteuttavat tuon yhteenlaskusäännön  B(θ₁ + θ₂) = B(θ₁) B(θ₂) ihan samalla tavalla kuin 2d-rotaatiotkin, joille tuo olisi R(θ₁ + θ₂) = R(θ₁) R(θ₂). Matriisit B(θ) muodostavat 1-ulotteisen Lien ryhmän kuten myös matriisit R(θ). Koska ne ovat 1-ulotteisia niiden kummankin Lie-algebra g on reaaliakseli ℝ ja siten vastaavat Lie-algebrat ovat isomorfisia. 
QS kirjoitti:

Yhteenlasku pätee kuitenkin vain yhden ulottuvuuden puskussa. Yleisessä tapauksessa cosh(θ) = cosh(θ₁) cosh(θ₂) + sinh(θ₁) sinh(θ₂) cos(α), missä α on 3d-nopeusvektorien välinen kulma. No, ehkä hiukan yksinkertaisempi kaava kuin nopeusvektoreilla ilmaista. 

Tämä olikin äärimmäisen mielenkiintoista, en ole aikaisemmin tiennytkään hyperbolisen geometrian ja suhtiksen nopeuksien yhteenlaskukaavan välisistä yhteyksistä. Kun tutustuin Wikipedian artikkeliin tästä yhteenlaskusta, siellä mainittiin tuo yhteys. Innostuin heti, koska olen opiskellut taannoin vapaamuotoisesti hyperbolista geometriaa. Olin tuolloin kiinnostunut kompleksitason Möbius-kuvauksista, aihepiiri joka sivuaa hyvin läheltä hyperbolista geometriaa, vieläpä niin, että jos hallitsee Möbiuskuvaukset edes jotenkin, voi alkaakin heti tutkimaan hyperbolista geometriaa. Niin lähellä ovat joskus aiheet, jotka ensinäkemältä ovat hyvinkin erilaisia. 

Tuo antamasi kaava cosh(θ) = cosh(θ₁) cosh(θ₂) + sinh(θ₁) sinh(θ₂) cos(α) voidaan antaa useassa eri muodossa mutta tässä muodossa se on nimeltään hyperbolinen kosinilause. Siinä kyllä käsittääkseni pitäisi olla miinusmerkki eli tuo olisi ilmeisesti nyt:
 
cosh(θ) = cosh(θ₁) cosh(θ₂) - sinh(θ₁) sinh(θ₂) cos(α).

Tasogeometrian kosinilaise sanoo, että jos tunnetaan kaksi kolmion sivua A ja B sekä sivujen välinen kulma c, voidaan sivun C pituus laskea kaavalla:

C² = A² + B² - 2AB cos(c).

Hyperbolisen geometrian kaavassa notaatiot A, B, C ja c merkitsevät samoja suureita kuin tasogeometriassa ja hyperboliselle kosinilauseelle voidaan johtaa kaava:

cosh(C) = cosh(A)Cosh(B) - sinh(A)sinh(B) cos(c).

Tämä on juuri antamasi kaava! Kaavassasi tosin käytettiin kolmion tunnettujen sivujen pituuksina suuureita  θ₁ ja θ₂, jotka notaationa viiittaavat vahvasti kulmiin, mutta hyperbolisen geometrian tulkinta onkin se että ne ovat kolmion sivujen pituuksia.

Pikaisesti pääteltynä voisi ajatella, että nopeuksien yhteenlasku on kommutatiivinen, koska tuossa kaavassa ei ole väliä jos vaihtaa suureet A ja B tai θ₁ ja θ₂ keskenään, mutta näin ei ole. Tuo summanopeuden rapiditeetti θ määrää vain summanopeuden itseisarvon ja se on sama laskeeko Wikipedian merkinnöin (missä klassisesti u = v + u'):

u₁ = vu'

tai

u₂ = u'v.

summan rapiditeetin riippumattomuus laskujärjestyksestä merkitsee summanopeuden itseisarvon riippumattomuutta laskujärjestyksestä (Wikipedian kaavoin)eli:

|vu'| = |u'⊕v.|,

siis suhtisyhteenlaskun epäkommutatiivisuus näkyy vain summanopeuden suunnassa, ei suuruudessa. Näin itse tuon ymmärrän.

No, tämä oli tälläinen lyhyt kommentti, sulla oli viestissäsi paljon mielenkiintoista juttua, mutta täytyy kommentoida myöhemmin lisää.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5301

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Iltaa
QS kirjoitti:

Juu totta, puskut eivät muodosta aliryhmää. Paitsi erikoistapauksena puskut yhdessä ulottuvuudessa muodostavat ryhmän SO(1,1), jonka 2x2 matriisiesitys B(θ) = [ { cosh(θ), -sinh(θ) } ; { -sinh(θ), cosh(θ) } ], missä tällä kertaa cosh θ = γ = 1/√(1-v²). Parametri θ on siis rapiditeetti, joka saadaan nopeudesta θ = arctanh(v). 

Kulmalla θ parametrisoituna puskulle pätee B(θ₁ + θ₂) = B(θ₁) B(θ₂), ja nyt rapiditeetit θ ovat additiivisia, eli yhteenlasku θ = θ₁ + θ₂. Näissä tosin nopeuden -1 < v < 1 sijasta −∞ < θ < ∞, jolla kait seuraus ryhmän ominaisuuksiin. En tiedä onko käytännössä olennaisia seurauksia. 


Tuo antamasi hyperbolinen rotaatio B(θ) on hyvin mielenkiintoinen, kun näin tuon kaavan ensikerran elämässäni joskus opiskeluaikana, olin jokseenkin myyty: siinä oli vaan jotain mystistä, matriisit B toteuttavat tuon yhteenlaskusäännön  B(θ₁ + θ₂) = B(θ₁) B(θ₂) ihan samalla tavalla kuin 2d-rotaatiotkin, joille tuo olisi R(θ₁ + θ₂) = R(θ₁) R(θ₂). Matriisit B(θ) muodostavat 1-ulotteisen Lien ryhmän kuten myös matriisit R(θ). Koska ne ovat 1-ulotteisia niiden kummankin Lie-algebra g on reaaliakseli ℝ ja siten vastaavat Lie-algebrat ovat isomorfisia. 
QS kirjoitti:

Yhteenlasku pätee kuitenkin vain yhden ulottuvuuden puskussa. Yleisessä tapauksessa cosh(θ) = cosh(θ₁) cosh(θ₂) + sinh(θ₁) sinh(θ₂) cos(α), missä α on 3d-nopeusvektorien välinen kulma. No, ehkä hiukan yksinkertaisempi kaava kuin nopeusvektoreilla ilmaista. 

Tämä olikin äärimmäisen mielenkiintoista, en ole aikaisemmin tiennytkään hyperbolisen geometrian ja suhtiksen nopeuksien yhteenlaskukaavan välisistä yhteyksistä. Kun tutustuin Wikipedian artikkeliin tästä yhteenlaskusta, siellä mainittiin tuo yhteys. Innostuin heti, koska olen opiskellut taannoin vapaamuotoisesti hyperbolista geometriaa. Olin tuolloin kiinnostunut kompleksitason Möbius-kuvauksista, aihepiiri joka sivuaa hyvin läheltä hyperbolista geometriaa, vieläpä niin, että jos hallitsee Möbiuskuvaukset edes jotenkin, voi alkaakin heti tutkimaan hyperbolista geometriaa. Niin lähellä ovat joskus aiheet, jotka ensinäkemältä ovat hyvinkin erilaisia. 

Tuo antamasi kaava cosh(θ) = cosh(θ₁) cosh(θ₂) + sinh(θ₁) sinh(θ₂) cos(α) voidaan antaa useassa eri muodossa mutta tässä muodossa se on nimeltään hyperbolinen kosinilause. Siinä kyllä käsittääkseni pitäisi olla miinusmerkki eli tuo olisi ilmeisesti nyt:
 
cosh(θ) = cosh(θ₁) cosh(θ₂) - sinh(θ₁) sinh(θ₂) cos(α).

Tasogeometrian kosinilaise sanoo, että jos tunnetaan kaksi kolmion sivua A ja B sekä sivujen välinen kulma c, voidaan sivun C pituus laskea kaavalla:

C² = A² + B² - 2AB cos(c).

Hyperbolisen geometrian kaavassa notaatiot A, B, C ja c merkitsevät samoja suureita kuin tasogeometriassa ja hyperboliselle kosinilauseelle voidaan johtaa kaava:

cosh(C) = cosh(A)Cosh(B) - sinh(A)sinh(B) cos(c).

Tämä on juuri antamasi kaava! Kaavassasi tosin käytettiin kolmion tunnettujen sivujen pituuksina suuureita  θ₁ ja θ₂, jotka notaationa viiittaavat vahvasti kulmiin, mutta hyperbolisen geometrian tulkinta onkin se että ne ovat kolmion sivujen pituuksia.

Pikaisesti pääteltynä voisi ajatella, että nopeuksien yhteenlasku on kommutatiivinen, koska tuossa kaavassa ei ole väliä jos vaihtaa suureet A ja B tai θ₁ ja θ₂ keskenään, mutta näin ei ole. Tuo summanopeuden rapiditeetti θ määrää vain summanopeuden itseisarvon ja se on sama laskeeko Wikipedian merkinnöin (missä klassisesti u = v + u'):

u₁ = vu'

tai

u₂ = u'v.

summan rapiditeetin riippumattomuus laskujärjestyksestä merkitsee summanopeuden itseisarvon riippumattomuutta laskujärjestyksestä (Wikipedian kaavoin)eli:

|vu'| = |u'⊕v.|,

siis suhtisyhteenlaskun epäkommutatiivisuus näkyy vain summanopeuden suunnassa, ei suuruudessa. Näin itse tuon ymmärrän.

No, tämä oli tälläinen lyhyt kommentti, sulla oli viestissäsi paljon mielenkiintoista juttua, mutta täytyy kommentoida myöhemmin lisää.

Pikaisesti vain. Joku kerta enempi, kunhan aikaa. Hyvä havainto tuo kaavan cosh(θ) = cosh(θ₁) cosh(θ₂) - sinh(θ₁) sinh(θ₂) cos(α) keskellä oleva plus/miinusmerkki. Tällä on jotein tekemistä kulman θ määrittelyn kanssa. Tuota pitää vielä penkoa.

Nopeuksien |w| =  |vu'| = |u'⊕v.|  itseisarvon riippumattomuus laskujärjestyksestä on jossain mielessä tärkeäkin yksityiskohta. Vaikka puskut eivät kommutoi, niin puskujen järjestys ei vaikuta vauhdilla |w| liikkuvan hiukkasen liike-energiaan E_kin = m ( γ - 1 ), missä γ = 1/√(1-|w|²). Melko loogista fysikaalisesti, koska Wignerin rotaatio ei ns. pyöräytä aika-akselia. Eneriga-liikemäärävektorin liikemäärä-komponentteihin puskujen järjestys toisaalta vaikuttaa, koska lopputuloksena saatavan inertiaalin avaruus-akselit ovat pyörähtäneet alkuperäisen inertiaalin suhteen.

QS
Seuraa 
Viestejä5301

aiemmassa postauksessa oli näköjään typoja: "Infinitesimaali rotaatio kulmalla δφ suunnan r ympäri voidaan kirjoittaa R(r, δφ) = I - i δφ J · r, missä I on yksikkömatriisi. Tästä äärellinen rotaatio R(r, φ) = exp( -i φ J · r )."

Boldattu piti olla tietysti r eikä n kuten alkup.

Ja toinen: "so+(1, 3) generaattorit kirjoitetaan tyypillisesti hiukan toisella tavalla antisymmetrisenä tensorina Mᵤᵥ, jonka komponentit määritellään

(M₁₂, M₂₃, M₃₁) = (J₃, J₁, J₂) sekä
(M₀₁, M₀₂, M₀₃) = (K₁, K₂, K₃)
"

Boldattuun korjattu indeksit. Siis antisymmetrinen tensori, ja olisin voinut kirjoittaa alunperinkin selvemmin

(M₁₂, M₂₃, M₃₁) = (M₂₁, M₃₂, M₁₃) = (J₃, J₁, J₂)

(M₀₁, M₀₂, M₀₃) = (M₁₀, M₂₀, M₃₀) = (K₁, K₂, K₃)

Nämä ovat lopulta hyvinkin käteviä määrittelyjä, kunhan päästään eteenpäin.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat