Sivut

Kommentit (193)

QS
Seuraa 
Viestejä5287

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Ihan minilyhyt vastaus, olen juuri juhlistamassa hiihtoloman alkamista huomenna.
QS kirjoitti:

Mun notaatio Λ = exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) alkaa hajota käsiin. Tässä nyt ωᵘᵛ on tosiaan matriisi, johon on pakattu 6 kpl reaalisia parametreja: kolme kiertokulmaa ja kolme rapiditeettia antisymmetriseksi matriisiksi.

Ei hajoa, mutta siihen on hyvä tehdä tiettyjä täsmennyksiä, kuten teetkin alla.

QS kirjoitti:

Mutta tämä Mᵤᵥ pitäisi käsittääkseni ajatella Lien algebran kantavektorijoukkona, koska Lien algebra on vektoriavaruus.

Kyllä, juuri näin.
QS kirjoitti:

Pitäisikö tämä koko notaatio oikeasti kirjoittaa Λᵞᵦ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)ᵞᵦ ), missä Λᵞᵦ ∈ SO⁺(1,3). Nyt tuossa summassa ωᵘᵛ Mᵤᵥ kukin yksittäinen termi on Lien algebran alkio, jotka siis kaikki summataan yhteen. Summauksen jälkeinen tulos ajatellaan matriisina Xᵞᵦ, ja tuon matriisin eksponenttikuvauksella saadaan matriisi Λᵞᵦ, joka on sitten tietysti ryhmän alkio

Pitäisi tai ainakin olisi selvempää kyllä, tuo on erittäin hyvä huomio, tämä on se täsmennys mihin viittasin yllä. Jos merkitsee ihan vaan Λ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)), niin notaatio on epämääräinen sellaisenaan, koska ei käy ilmi minkälainen matriisi on kyseessä, siitä puuttuu ne aika-avaruuden indeksit, mutta ne voi lisätä kuten teitkin ja tulos on nyt Λᵞᵦ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)ᵞᵦ ), jossa tosiaan käy eksplisiittisesti ilmi tuon matriisi M. Matriisin M kovariantti muoto (Mᵤᵥ)ᵦᵧ on eri kuin sekamuoto (Mᵤᵥ)ᵞᵦ  ja tämä voi sekoittaa joskus, kun merkitsee lyhyesti Mᵤᵥ.

No hyvä, että sain pelastettua taas edes osan notaatio-sotkustani. Ei ollut eka sotku. Mä tarvitsisin ihan oman algebrallisen rakenteen, jonka nimi olisi "läjä numeroita". Osaisin käyttää sellaista aika sujuvasti ;)

QS
Seuraa 
Viestejä5287

Jospa hiukan ryhmän SO⁺(1,3) esityksistä R: SO⁺(1,3) → GL(V). Tässä siis muodostetaan vektoriavaruuden V lineaarisia operaattoreita (matriiseja), jotka muuntavat tuon avaruuden V vektoreita, tensoreita, spinoreita, skalaareja jne Lorentzin ryhmän ominaisuudet toteuttaen.

Triviaali esitys toimii yksiulotteisessa esitysavaruudessa V, joiden alkiot ovat fysiikassa skalaareja. Triviaali esitys määritellään R: SO⁺(1,3) → GL(V), R(g) = Id ∀ g ∈ SO⁺(1,3). Tässä Id on identiteettikuvaus avaruudessa V. Ryhmän esityksen muuntavat skalaarit s → Λ s = Id * s = 1 * s = s. Skalaarit s ovat siis Lorentzinvariantteja. Voi myös ajatella siten, että tensori Mᵤᵥ = 0₁ₓ₁ ja matriisi ωᵘᵛ = 0₁ₓ₁, jolloin Λ = exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) = 1₁ₓ₁ (alaindeksi kuvaa 1x1 matriisia). Tuo Λ = 1₁ₓ₁ ei ole sellaisenaan Lorentzin ryhmän alkio, vaan sen esitys 1-ulotteisessa esitysavaruudessa V.

Nelivektoriesityksessä generaattorit Mᵤᵥ ovat 4x4 matriiseja (Mᵤᵥ)ᵝᵧ. Ryhmän esitykset muuntavat nelivektorit Aᵞ → Λᵝᵧ Aᵞ, missä matriisi Λᵝᵧ = [ exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) ]ᵝᵧ. Nämä esitykset ovat 4x4 matriiseja, jotka ovat sellaisenaan myös ryhmän SO⁺(1,3) alkioita.

Tensoriesitys on vektoriesitysten tensoritulo, ja ne muuntavat (p,q)-tensoreita. Esimerkiksi (2,0)-tensorituloavaruudessa V ⊗ V esitys on 16x16 matriisi Λᵝᵤ Λᵞᵥ = Λᵝᵞᵤᵥ, joka muuntaa tensorin Tᵝᵞ → Λᵝᵞᵤᵥ Tᵘᵛ. Tässä esitys Λᵝᵞᵤᵥ on kahden vektoriesityksen Λᵝᵤ ja Λᵞᵥ suora tulo. Vastaavasti voidaan muodostaa korkeamman kertaluvun tensoriesityksiä.

No. Tähän se helppous loppuukin. Koska SO⁺(1,3) on ei-kompakti ryhmä, sen äärellisulotteiset esitykset eivät voi olla unitaarisia, jotka siis säilyttäisivät Hilbertin avaruuden sisätulon esim. spinoriesityksissä. Unitaariset esityksen pitää etsiä toisella tavalla.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

Aamupäivää, ulkona näkyy olevankin ihan kiva kevätpäivä ja pitää lähteä kohta kauppaan hakemaan hmm ... ruokaa, mutta sitä ennen laitan nyt muutaman kommentin: 

QS kirjoitti:
Jospa hiukan ryhmän SO⁺(1,3) esityksistä R: SO⁺(1,3) → GL(V). Tässä siis muodostetaan vektoriavaruuden V lineaarisia operaattoreita (matriiseja), jotka muuntavat tuon avaruuden V vektoreita, tensoreita, spinoreita, skalaareja jne Lorentzin ryhmän ominaisuudet toteuttaen.

Kyllä, näin on. Tämä esitysteoria on kyllä äärimmäisen haastava ja olen kyllä käyttänyt aikaa siihen ihan kiitettävästi ja vaihtelevin tuloksin. Jotenkin, kun nettiä selaa, niin tämän SO⁺(1,3):n esityksistä kyllä löytyy niin monenmoista esitystä ja joskus ne ovat niin kaukana toisistaan, että jo ajattelee että onko edes kyse samasta ryhmästä. Jos asiaa lähestyy matemaattisemmin perinteellisen shut-up and calculate-lähestymistavan sijasta esimerkiksi pitämällä kirjaa eri kompleksifikaatioista ja siitä että onko esitys mahdolliseti ℝ-lineaarisesta vai ℂ-lineaarisesta esityksestä ja ties mistä  niin vaadittava ajan määrä kasvaa eksponentiaalisesti, olen ihan itse huomannut tämän.

QS kirjoitti:

Triviaali esitys toimii yksiulotteisessa esitysavaruudessa V, joiden alkiot ovat fysiikassa skalaareja. Triviaali esitys määritellään R: SO⁺(1,3) → GL(V), R(g) = Id ∀ g ∈ SO⁺(1,3). Tässä Id on identiteettikuvaus avaruudessa V. Ryhmän esityksen muuntavat skalaarit s → Λ s = Id * s = 1 * s = s. Skalaarit s ovat siis Lorentzinvariantteja. Voi myös ajatella siten, että tensori Mᵤᵥ = 0₁ₓ₁ ja matriisi ωᵘᵛ = 0₁ₓ₁, jolloin Λ = exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) = 1₁ₓ₁ (alaindeksi kuvaa 1x1 matriisia). Tuo Λ = 1₁ₓ₁ ei ole sellaisenaan Lorentzin ryhmän alkio, vaan sen esitys 1-ulotteisessa esitysavaruudessa V.

Nelivektoriesityksessä generaattorit Mᵤᵥ ovat 4x4 matriiseja (Mᵤᵥ)ᵝᵧ. Ryhmän esitykset muuntavat nelivektorit Aᵞ → Λᵝᵧ Aᵞ, missä matriisi Λᵝᵧ = [ exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) ]ᵝᵧ. Nämä esitykset ovat 4x4 matriiseja, jotka ovat sellaisenaan myös ryhmän SO⁺(1,3) alkioita.

Tensoriesitys on vektoriesitysten tensoritulo, ja ne muuntavat (p,q)-tensoreita. Esimerkiksi (2,0)-tensorituloavaruudessa V ⊗ V esitys on 16x16 matriisi Λᵝᵤ Λᵞᵥ = Λᵝᵞᵤᵥ, joka muuntaa tensorin Tᵝᵞ → Λᵝᵞᵤᵥ Tᵘᵛ. Tässä esitys Λᵝᵞᵤᵥ on kahden vektoriesityksen Λᵝᵤ ja Λᵞᵥ suora tulo. Vastaavasti voidaan muodostaa korkeamman kertaluvun tensoriesityksiä.

Kyllä, näin saadaan uusia esityksiä vanhoista ja jos tuohon antamaasi lisää vielä kovariantit tensorit eli muodostettaisiin  yleisin tensoritulo V⊗...⊗V⊗V*⊗...⊗V*, missä V:n tuloja k kpl ja V* tuloja p kpl. Tuollaisen tensoritulon sisältä voidaan käsittääkseni löytää myös ne redusoitumattomat esitykset, ainakin melkein. Nyt eräs ryhmän SO⁺(1,3) kummallisuus on se, että tuo lla tavalla pystytään muodostamaan vain "puolet" esityksistä, puolet puuttuu. Puuttuvat esitykset ovat projektiivisia esityksiä tai spinoriesityksiä. Tällä on tekemistä ryhmän ja sen peiteryhmän välisestä suhteesta, samaan tapaan kuin SO(3) ja SU(2).

QS kirjoitti:

No. Tähän se helppous loppuukin. Koska SO⁺(1,3) on ei-kompakti ryhmä, sen äärellisulotteiset esitykset eivät voi olla unitaarisia, jotka siis säilyttäisivät Hilbertin avaruuden sisätulon esim. spinoriesityksissä. Unitaariset esityksen pitää etsiä toisella tavalla.

Tämä on oikeasti mielestäni melkoisen rankka projekti, mutta ajan kanssa varmasti edetään.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

Jatkuu...

Kuten tunnettua ryhmällä SO(3) on peiteryhmänä SU(2) ja on olemassa 2-1 ryhmähomomorfismi P : SU(2)→ SO(3). Kummallekkin ryhmälle voidaan rakentaa ryhmien esitysteorian mukaisia esityksiä ja mielenkiintoinen kysymys on se, että miten nuo esitykset riippuvat toisistaan. Niillä on tekemistä paljonkin keskenään, koska tuo P sitoo ne yhteen monella tapaa, mutta ihan samat esitykset ne eivät kuitenkaan ole. Sama problematiikka liittyy myös Lorentzin ryhmään  SO⁺(1,3) ja Poincaren ryhmään  SO⁺(1,3)⋊ ℝ¹∙³, missä olen nyt kirjoittanut tuon puolisuorana tulona.

Esitysteorian esityksissä joskus ongelmia tuottaa se, että ei oikein tehdä eroa ryhmän G esityksen ja sen universaalin peiteryhmän Gᵘ esitysten välillä, ainakaan mitenkään tarkkaan. Näillä nimittäin on sama Lien algebra.

Yleisesti, jokaisella Lien ryhmällä G on aina olemassa universaali peiteryhmä Gᵘ, joka on myös Lien ryhmä ja on olemassa ryhmähomomorfismi P : Gᵘ → G.   Ryhmän Gᵘ suhde ryhmään G määräytyy G:n topologiasta perusryhmän π₁(G) välityksellä tietyllä tavalla, mutta yleisenä sääntönä voidaan sanoa ryhmän  Gᵘ olevan aina isompi ryhmä. Tuo perusryhmä π₁(G) on valitun pisteen p∈G  kautta kulkevien suljetujen lenkkien homotopiaekvivalenssiluokka, jolle voidaan antaa ryhmän rakenne ja sitten voidaan rakentaa tämän ryhmän toiminta G:ssä, jonka avulla universaali peiteavaruus  Gᵘ on sitten tekijämonisto G / π₁(G). Konstruktiosta seuraa se että tämä universaali peiteryhmä on yhdesti yhtenäinen eli sen perusryhmä on triviaali eli π₁(Gᵘ) = 0. Lisäksi kummankin ryhmän Lie-algebrat ovat isomorfiset eli Lie(G) = Lie(Gᵘ) eli Lien algebran tasolla ei ryhmiä voi erottaa.

No, toi oli tollaista yleistaustaa, fysiikassa monien Lien ryhmien peiteavaruudet ovat melko konkreettisia ja seuraavassa lista esimerkkejä, kaikissa allaolevissa tapauksissa P on 2-1 ryhmähomomorfismi universaalilta peiteryhmältä itse ryhmälle:

Rotaatioryhmä ja sen peiteryhmä:
P : SU(2) → SO(3)

Lorentz-ryhmä ja sen peiteryhmä:
P : SL(2,ℂ) → SO⁺(1,3)

Poincare-ryhmä ja sen peiteryhmä:
P: SL(2,ℂ)⋊ ℝ¹∙³ → SO⁺(1,3)⋊ ℝ¹∙³.

Yllä siis 2-1 homomorvismi tarkoitttaa, että aina 2 peiteryhmän alkiota kuvautuu yhdeksi ryhmän alkioksi.

Jatkuu...huomenna.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

error, error...

SIJ kirjoitti:

...Tuo perusryhmä π₁(G) on valitun pisteen p∈G  kautta kulkevien suljetujen lenkkien homotopiaekvivalenssiluokka, jolle voidaan antaa ryhmän rakenne ja sitten voidaan rakentaa tämän ryhmän toiminta G:ssä, jonka avulla universaali peiteavaruus  Gᵘ on sitten tekijämonisto G / π₁(G).

Tuossa siis pitää olla boldatussa homotopiaekvivalenssiluokkien joukko, muuten lause on huuhaata.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

Vielä yksi kriittinen korjaus jo korjattuun:

SIJ kirjoitti:

Tuo perusryhmä π₁(G) on valitun pisteen p∈G  kautta kulkevien suljetujen lenkkien homotopiaekvivalenssiluokkien joukko, jolle voidaan antaa ryhmän rakenne ja sitten voidaan rakentaa tämän ryhmän toiminta G:ssä, jonka avulla universaali peiteavaruus  Gᵘ on sitten tekijämonisto G / π₁(G)

Tuossa meni moni asia väärin päin, tuo ryhmän G perusryhmä π₁(G) toimii tuossa universaalissa peiteryhmässä Gᵘ ja voidaan muodostaa tämän ryhmän toiminnan suhteen tekijämonisto:

G = Gᵘ / π₁(G).

Nyt se on oikein.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

Huomasin tuossa Poincareryhmän lausekkeessa virheen, olin nimittäin kirjoittanut SO⁺(1,3)⋊ ℝ¹∙³ kun tarkoitus oli

kirjoittaa ℝ¹∙³⋊ SO⁺(1,3).  Tuossa aika-avaruuden translaatiot ℝ¹∙³ muodostavat normaalin Poincare-ryhmän aliryhmän, mutta Lorentz-muunnokset SO⁺(1,3) vain tavallisen aliryhmän ja tuo epäsymmetrinen merkki ⋊ osoittaa aina kumpi on normaali aliryhmä.

Tuolla on periaatteessa väliä, koska merkinnässä  G = N⋊H on kaksi G:n aliryhmää H ja N, mutta tuon aliryhmän N pitää olla normaali ja siksi nuo merkinnän ⋊ irtonaiset "piikit" tai kolmion "kärki" osoittavat normaalin aliryhmän suuntaan. 

Itse merkki ⋊ on hybridi ryhmien tuloa ilmaisevasta x-merkistä ja normaalia aliryhmää ilmaisemasta ◁-merkistä eli G = N x H merkitsee karteesista tuloa ja N ◁ G merkitsee, että N on normaali G:n aliryhmä - "nuolen" kärki siis osoittaa normaliin aliryhmään.

On myös mahdollista kääntää tuo puolisuoran tulon suunta ja merkitä SO⁺(1,3) ⋉ ℝ¹∙³, missä nyt nuoli tai kaksi piikkiä osoittavat normaalin aliryhmän suuntaan.

No, tämä oli nyt tälläistä pedanttista notaatiofasismia, mutta parempi kuitenkin kirjoittaa tuo oikein.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5287

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

QS kirjoitti:
Jospa hiukan ryhmän SO⁺(1,3) esityksistä R: SO⁺(1,3) → GL(V). Tässä siis muodostetaan vektoriavaruuden V lineaarisia operaattoreita (matriiseja), jotka muuntavat tuon avaruuden V vektoreita, tensoreita, spinoreita, skalaareja jne Lorentzin ryhmän ominaisuudet toteuttaen.

Kyllä, näin on. Tämä esitysteoria on kyllä äärimmäisen haastava ja olen kyllä käyttänyt aikaa siihen ihan kiitettävästi ja vaihtelevin tuloksin. Jotenkin, kun nettiä selaa, niin tämän SO⁺(1,3):n esityksistä kyllä löytyy niin monenmoista esitystä ja joskus ne ovat niin kaukana toisistaan, että jo ajattelee että onko edes kyse samasta ryhmästä. Jos asiaa lähestyy matemaattisemmin perinteellisen shut-up and calculate-lähestymistavan sijasta esimerkiksi pitämällä kirjaa eri kompleksifikaatioista ja siitä että onko esitys mahdolliseti ℝ-lineaarisesta vai ℂ-lineaarisesta esityksestä ja ties mistä  niin vaadittava ajan määrä kasvaa eksponentiaalisesti, olen ihan itse huomannut tämän.

Erittäinkin haastavaa ainakin meitsin ruosteessa olevalla elementary-osaamisella.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:

Triviaali esitys toimii yksiulotteisessa esitysavaruudessa V, joiden alkiot ovat fysiikassa skalaareja. Triviaali esitys määritellään R: SO⁺(1,3) → GL(V), R(g) = Id ∀ g ∈ SO⁺(1,3). Tässä Id on identiteettikuvaus avaruudessa V. Ryhmän esityksen muuntavat skalaarit s → Λ s = Id * s = 1 * s = s. Skalaarit s ovat siis Lorentzinvariantteja. Voi myös ajatella siten, että tensori Mᵤᵥ = 0₁ₓ₁ ja matriisi ωᵘᵛ = 0₁ₓ₁, jolloin Λ = exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) = 1₁ₓ₁ (alaindeksi kuvaa 1x1 matriisia). Tuo Λ = 1₁ₓ₁ ei ole sellaisenaan Lorentzin ryhmän alkio, vaan sen esitys 1-ulotteisessa esitysavaruudessa V.

Nelivektoriesityksessä generaattorit Mᵤᵥ ovat 4x4 matriiseja (Mᵤᵥ)ᵝᵧ. Ryhmän esitykset muuntavat nelivektorit Aᵞ → Λᵝᵧ Aᵞ, missä matriisi Λᵝᵧ = [ exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) ]ᵝᵧ. Nämä esitykset ovat 4x4 matriiseja, jotka ovat sellaisenaan myös ryhmän SO⁺(1,3) alkioita.

Tensoriesitys on vektoriesitysten tensoritulo, ja ne muuntavat (p,q)-tensoreita. Esimerkiksi (2,0)-tensorituloavaruudessa V ⊗ V esitys on 16x16 matriisi Λᵝᵤ Λᵞᵥ = Λᵝᵞᵤᵥ, joka muuntaa tensorin Tᵝᵞ → Λᵝᵞᵤᵥ Tᵘᵛ. Tässä esitys Λᵝᵞᵤᵥ on kahden vektoriesityksen Λᵝᵤ ja Λᵞᵥ suora tulo. Vastaavasti voidaan muodostaa korkeamman kertaluvun tensoriesityksiä.

Kyllä, näin saadaan uusia esityksiä vanhoista ja jos tuohon antamaasi lisää vielä kovariantit tensorit eli muodostettaisiin  yleisin tensoritulo V⊗...⊗V⊗V*⊗...⊗V*, missä V:n tuloja k kpl ja V* tuloja p kpl. Tuollaisen tensoritulon sisältä voidaan käsittääkseni löytää myös ne redusoitumattomat esitykset, ainakin melkein. Nyt eräs ryhmän SO⁺(1,3) kummallisuus on se, että tuo lla tavalla pystytään muodostamaan vain "puolet" esityksistä, puolet puuttuu. Puuttuvat esitykset ovat projektiivisia esityksiä tai spinoriesityksiä. Tällä on tekemistä ryhmän ja sen peiteryhmän välisestä suhteesta, samaan tapaan kuin SO(3) ja SU(2).

Jäsentelitkin lähtökohdat tässä ja parissa seuraavassa viestissäsi. Näistä hyvä lähteä liikkelle, jotta ...

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Tämä on oikeasti mielestäni melkoisen rankka projekti, mutta ajan kanssa varmasti edetään.

...tämä toteutuu :)

Tensoritulosta voidaan tosiaan löytää redusoitumattomat esitykset, mutta koskee vain joitakin Lien ryhmiä. Noissa tapauksissa Lien algebran g esityksistä r₁ ja r₂ avaruuksiin V ja W voidaan muodostaa avaruuden V ⊗ W tensorituloesitys suoraviivaisesti r₁ ⊗ r₂ (X) = r₁(X) ⊗ I + I ⊗ r₂(X), missä X ∈ g.

Jos ajatellaan ryhmänä, ja oletetaan ryhmän G esitykset R₁ ja R₂ redusoitumattomina, niin tensorituloesitys R₁ ⊗ R₂ ei tietystikään välttämättä ole redusoitumaton. Tuo esityksen R₁ ⊗ R₂ palauttaminen redusoitumattomiksi esityksiksi vaatii sekin usein työtä.

Esimerkiksi kvanttimekaniikan kulmaliikemäärän redusoitumattomien SU(2) esitysten suorat summat kuvaavat kulmaliikemäärän tensorituloesityksiä. Nuo ovat redusoitumattomien spinien eräänlaisena yhteisvaikutuksena saatava spin(tensoritulo)avaruuksia. Nämä kirjoitetaan sitten merkintöinä 2 ⊗ 2 = 4 tai 2 ⊗ 2 ⊗ 2 = 4 ⊕ 2 ⊕ 2 ja vastaavaa. Noihnkin voisi palata joskus.

Käsittääkseni on olemassa myös lause, jonka mukaan ryhmä G on täydellisesti redusoituva, jos ryhmällä on olemassa unitaarinen äärellisulotteisen Hilbertin avaruuden esitys R. Eli jos tuollainen esitys R löydetään, niin tiedetään, että redusoitumaton esitys on myös löydettävissä viimeistään siinä vaiheessa kun esitysavaruuden dimensio laskee ykkökseksi. (ääretönulotteiset tapaukset ovat paljon monimutkaisempia...). Kompaktit ryhmät ovat täydellisesti redusoituvia. Ja tämä SO⁺(1,3) ei ole kompakti.

SU(2) on kompakti ja yhdesti yhtenäinen, josta seuraa, että se on täydellisesti redusoituva. Jos tulkitsen oikein. Pitää palata kahteen seuraavaan viestiisi myöhemmin, niistä tosiaan hyvä lähteä syvemmälle.

QS
Seuraa 
Viestejä5287

QS kirjoitti:

...

Käsittääkseni on olemassa myös lause, jonka mukaan ryhmä G on täydellisesti redusoituva, jos ryhmällä on olemassa unitaarinen äärellisulotteisen Hilbertin avaruuden esitys R. Eli jos tuollainen esitys R löydetään, niin tiedetään, että redusoitumaton esitys on myös löydettävissä viimeistään siinä vaiheessa kun esitysavaruuden dimensio laskee ykkökseksi. (ääretönulotteiset tapaukset ovat paljon monimutkaisempia...). Kompaktit ryhmät ovat täydellisesti redusoituvia.

Mulla juoksi tuossa ajatus askeleen edellä. Eli motivoin itseni tähän täydelliseen redusoituvuuteen siten, että ryhmän G esitys on täydellisesti redusoituva, jos tuo esitys on isomorfinen redusoitumattomien esitysten suoran summan kanssa.

Ja ryhmä on siis täydellisesti redusoituva, jos sen äärellisulotteiset esitykset ovat täydellisesti redusoituvia.

Ja näiden ryhmien esitysten tutkiminen on tavallaan helpohkoa. Esimerkiksi ryhmät SO(n) ja SL(n) ovat täydellisesti redusoituvia.

QS
Seuraa 
Viestejä5287

Kirjoitit tiukkaa asiaa. Poimin kohdan kerrallaan, ja ihmettelen.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Kuten tunnettua ryhmällä SO(3) on peiteryhmänä SU(2) ja on olemassa 2-1 ryhmähomomorfismi P : SU(2)→ SO(3). Kummallekkin ryhmälle voidaan rakentaa ryhmien esitysteorian mukaisia esityksiä ja mielenkiintoinen kysymys on se, että miten nuo esitykset riippuvat toisistaan. Niillä on tekemistä paljonkin keskenään, koska tuo P sitoo ne yhteen monella tapaa, mutta ihan samat esitykset ne eivät kuitenkaan ole. Sama problematiikka liittyy myös Lorentzin ryhmään  SO⁺(1,3) ja Poincaren ryhmään  SO⁺(1,3) ⋉ ℝ¹∙³, missä olen nyt kirjoittanut tuon puolisuorana tulona.

Esitysteorian esityksissä joskus ongelmia tuottaa se, että ei oikein tehdä eroa ryhmän G esityksen ja sen universaalin peiteryhmän Gᵘ esitysten välillä, ainakaan mitenkään tarkkaan. Näillä nimittäin on sama Lien algebra.

....

fysiikassa monien Lien ryhmien peiteavaruudet ovat melko konkreettisia ja seuraavassa lista esimerkkejä, kaikissa allaolevissa tapauksissa P on 2-1 ryhmähomomorfismi universaalilta peiteryhmältä itse ryhmälle:

....

Lorentz-ryhmä ja sen peiteryhmä:
P : SL(2,ℂ) → SO⁺(1,3)

...

Yllä siis 2-1 homomorfismi tarkoittaa, että aina 2 peiteryhmän alkiota kuvautuu yhdeksi ryhmän alkioksi.


Tuli mieleeni, että kuvaukselle P voidaan tietysti määritellä konkreettinenkin funktio, joka muuntaa ryhmän SL(2,ℂ) matriisit X ryhmän SO⁺(1,3) matriiseiksi Λ:

(Λ)ᵤᵥ= 〈 σᵤ, X σᵥ X† 〉.

Tässä μ,ν = 0,1,2,3, matriisit σ ovat nejä Paulin matriisia, ja X ∈ SL(2,ℂ) on 2x2 hermiittinen matriisi [ a, b ; c, d], missä a,b,c,d ∈ ℂ ja det(A) = 1. Ja sisätulo 〈 . , . 〉 Paulin matriiseille 〈 σᵤ , σᵥ 〉 = δᵤᵥ.

Vaikkapa matriisilla X = [ exp(θ/2), 0 ; 0, exp(-θ/2) ] saadaan (Λ)ᵤᵥ = [ cosh(θ), 0, 0, sinh(θ) ; 0,1,0,0 ; 0,0,1,0 ; sinh(θ), 0, 0, cosh(θ) ].

Mutta tässä tosiaan muunnetaan ryhmän alkioita. Mullekin epäselvää, että miten ryhmähomomorfismi P pitäisi ajatella silloin, kun käsitellään esityksiä yleisesti (eli ei vain fundamentaalia esitystä, joka käytännösä sama kuin ryhmän alkio).

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

Iltaa, kommentoin vain ihan yhtä kohtaa:

QS kirjoitti:

Tuli mieleeni, että kuvaukselle P voidaan tietysti määritellä konkreettinenkin funktio, joka muuntaa ryhmän SL(2,ℂ) matriisit X ryhmän SO⁺(1,3) matriiseiksi Λ...:

Joo, ilman muuta tuo konkreettinen kaava on ehdottomasti parempi, olet oikeassa. Nuo mun perusryhmä/universaalipeitejutut olvat todella yleisiä (ne ovat päteviä ihan millä tahansa monistolla M) ja siten myös abstrakteja ja siis monesti hyödyttömiä, kun halutaan laskea oikeasti jotain.

Mulla on tässä myös toinen projekti meneillään joka sivuaa osin läheisesti tätä ryhmien esitysteoriaa ja toisaalta näiden konkreettisten P-kuvausten lausekkkeiden määrittelyiden teoriaa ja se on nimeltään Cliffordin algebrat. Cliffordin algebrat ovat fyysikoille tuttuja, koska Paulin ja Diracin matriisit toteuttavat Cliffordin algebroiden fundamentaalin epäkommutatiivisuusehdon.

QS kirjoitti:

...
(Λ)ᵤᵥ= 〈 σᵤ, X σᵥ X† 〉.

Tässä μ,ν = 0,1,2,3, matriisit σ ovat nejä Paulin matriisia, ja X ∈ SL(2,ℂ) on 2x2 hermiittinen matriisi [ a, b ; c, d], missä a,b,c,d ∈ ℂ ja det(A) = 1. Ja sisätulo 〈 . , . 〉 Paulin matriiseille 〈 σᵤ , σᵥ 〉 = δᵤᵥ.


Tätä piti oikein laskea, että mitä tässä tapahtuu, kun tuo matriisikomponenttiesitys (Λ)ᵤᵥ= 〈 σᵤ, X σᵥ X† 〉 ei auenut ekalla yrittämällä. Olen siis nähnyt tämän teoreeman ennenkin, mutta tuo merkintä vaan hämäsi. Tämä on yksi niistä monista ovelista teoreemoista, jotka vaan jostain syystä ovat jääneet mieleen. Tässä siis samaistetaan Minkowskiavaruus M hermiittisten 2×2 matriisien avaruuden Herm(2) kanssa eli Minkowskiavaruuden M vektori x on tällöin reaalinen lineaarikombinaatio Paulin matriiseista:

x = x₀σ₀ + x₁σ₁ + x₂σ₂ + x₃σ₃.

Kun tuon kirjoittaa auki matriisina ja laskee determinantin, saa tuloksen:

det(x) = (x₀)² -   (x₁)²  - (x₂)² -  (x₃)²,

eli lauseke det(x) antaa Minkowskiavaruuden vektorin pituuden neliön eli normin (neliön).

Annetulla X  ∈ SL(2,ℂ) voidaan määritellä lineaarinen kuvaus Λ(X) : M → M:

Λ(X)(x) = X x X†.

Kuvaukselle  Λ(X) pätee:

det(Λ(X)(x)) = det(X x X†) = det(X) det(x) det( X†) = det(x),

eli Λ(X) säilyttää Minkowskimetriikan ja siten Λ(X)∈ SO(1,3). Tuosta näkee myös, että Λ(-X) = Λ(X).

QS kirjoitti:

Ja sisätulo 〈 . , . 〉 Paulin matriiseille 〈 σᵤ , σᵥ 〉 = δᵤᵥ.

Mun piti pähkäillä tätä, että mistä tämä oikein tulee, mutta sain sen selville lopulta ja se on matriiseille määriteltävissä oleva Hilbert-Schmidt sisätulo, joka yleisesti määritellään kaavalla:

<A,B> = ½Tr(A†B).

Kaikki hyvin tähän asti, mutta sitten havahduin siihen että tuo Minkowskiavaruuden M ≈ Herm(2)  kantavektoreina toimii nuo 4 kpl Paulin matriiseita ja ne muodostavat ortonomaalin kannan metriikassa g = diag(1,1,1,1) ! Yritin sitten jotenkin kikkailla, jotta saisin tuon sisaätulon muotoon  〈 σᵤ , σᵥ 〉 = gᵤᵥ, missä g = (1, -1, -1, -1), mutta en onnistunut siiinä. Tarkemmin pohdittuani tuolla metriikalla ei tämän lauseen todistuksessa olekkaan mitään roolia, se on vain sellainen aputulos.  Nyt tätä kirjoittaessani muistin miten se tehdään ja siitä tämän viestin lopussa.

Tuo determinantin avulla määritelty normi antaa Paulin matriiseille Minkowskin mukaiset pituudet eli:

 1 = det(σ₀)
-1 = det(σ₁)
-1 = det(σ₂)
-1 = det(σ₃)

Minkä tahansa normin avulla voidaan määritellä sisätulo < , > ns. polarisaatioidentiteetillä, joka on tässä tapauksessa:

<x,y> = 1/4 (det(x + y) - det(x - y) ).

Tuon pitäisi antaa oikea Minkowskiavaruuden sisätulo, g = diag(1, -1, -1, -1). En nyt ole kyllä tarkistellut mitään, joten voi olla pielessäkin.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5287

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Iltaa, kommentoin vain ihan yhtä kohtaa:

QS kirjoitti:

Tuli mieleeni, että kuvaukselle P voidaan tietysti määritellä konkreettinenkin funktio, joka muuntaa ryhmän SL(2,ℂ) matriisit X ryhmän SO⁺(1,3) matriiseiksi Λ...:

Joo, ilman muuta tuo konkreettinen kaava on ehdottomasti parempi, olet oikeassa. Nuo mun perusryhmä/universaalipeitejutut olvat todella yleisiä (ne ovat päteviä ihan millä tahansa monistolla M) ja siten myös abstrakteja ja siis monesti hyödyttömiä, kun halutaan laskea oikeasti jotain.

Mulla on tässä myös toinen projekti meneillään joka sivuaa osin läheisesti tätä ryhmien esitysteoriaa ja toisaalta näiden konkreettisten P-kuvausten lausekkkeiden määrittelyiden teoriaa ja se on nimeltään Cliffordin algebrat. Cliffordin algebrat ovat fyysikoille tuttuja, koska Paulin ja Diracin matriisit toteuttavat Cliffordin algebroiden fundamentaalin epäkommutatiivisuusehdon.

QS kirjoitti:

...
(Λ)ᵤᵥ= 〈 σᵤ, X σᵥ X† 〉.

Tässä μ,ν = 0,1,2,3, matriisit σ ovat nejä Paulin matriisia, ja X ∈ SL(2,ℂ) on 2x2 hermiittinen matriisi [ a, b ; c, d], missä a,b,c,d ∈ ℂ ja det(A) = 1. Ja sisätulo 〈 . , . 〉 Paulin matriiseille 〈 σᵤ , σᵥ 〉 = δᵤᵥ.


Tätä piti oikein laskea, että mitä tässä tapahtuu, kun tuo matriisikomponenttiesitys (Λ)ᵤᵥ= 〈 σᵤ, X σᵥ X† 〉 ei auenut ekalla yrittämällä. Olen siis nähnyt tämän teoreeman ennenkin, mutta tuo merkintä vaan hämäsi. Tämä on yksi niistä monista ovelista teoreemoista, jotka vaan jostain syystä ovat jääneet mieleen. Tässä siis samaistetaan Minkowskiavaruus M hermiittisten 2×2 matriisien avaruuden Herm(2) kanssa eli Minkowskiavaruuden M vektori x on tällöin reaalinen lineaarikombinaatio Paulin matriiseista:

x = x₀σ₀ + x₁σ₁ + x₂σ₂ + x₃σ₃.

Kun tuon kirjoittaa auki matriisina ja laskee determinantin, saa tuloksen:

det(x) = (x₀)² -   (x₁)²  - (x₂)² -  (x₃)²,

eli lauseke det(x) antaa Minkowskiavaruuden vektorin pituuden neliön eli normin (neliön).

Annetulla X  ∈ SL(2,ℂ) voidaan määritellä lineaarinen kuvaus Λ(X) : M → M:

Λ(X)(x) = X x X†.

Kuvaukselle  Λ(X) pätee:

det(Λ(X)(x)) = det(X x X†) = det(X) det(x) det( X†) = det(x),

eli Λ(X) säilyttää Minkowskimetriikan ja siten Λ(X)∈ SO(1,3). Tuosta näkee myös, että Λ(-X) = Λ(X).

QS kirjoitti:

Ja sisätulo 〈 . , . 〉 Paulin matriiseille 〈 σᵤ , σᵥ 〉 = δᵤᵥ.

Mun piti pähkäillä tätä, että mistä tämä oikein tulee, mutta sain sen selville lopulta ja se on matriiseille määriteltävissä oleva Hilbert-Schmidt sisätulo, joka yleisesti määritellään kaavalla:

<A,B> = ½Tr(A†B).

Kaikki hyvin tähän asti, mutta sitten havahduin siihen että tuo Minkowskiavaruuden M ≈ Herm(2)  kantavektoreina toimii nuo 4 kpl Paulin matriiseita ja ne muodostavat ortonomaalin kannan metriikassa g = diag(1,1,1,1) ! Yritin sitten jotenkin kikkailla, jotta saisin tuon sisaätulon muotoon  〈 σᵤ , σᵥ 〉 = gᵤᵥ, missä g = (1, -1, -1, -1), mutta en onnistunut siiinä. Tarkemmin pohdittuani tuolla metriikalla ei tämän lauseen todistuksessa olekkaan mitään roolia, se on vain sellainen aputulos.  Nyt tätä kirjoittaessani muistin miten se tehdään ja siitä tämän viestin lopussa.

Tuo determinantin avulla määritelty normi antaa Paulin matriiseille Minkowskin mukaiset pituudet eli:

 1 = det(σ₀)
-1 = det(σ₁)
-1 = det(σ₂)
-1 = det(σ₃)

Minkä tahansa normin avulla voidaan määritellä sisätulo < , > ns. polarisaatioidentiteetillä, joka on tässä tapauksessa:

<x,y> = 1/4 (det(x + y) - det(x - y) ).

Tuon pitäisi antaa oikea Minkowskiavaruuden sisätulo, g = diag(1, -1, -1, -1). En nyt ole kyllä tarkistellut mitään, joten voi olla pielessäkin.

Joo, kirjoitin hutiloiden sen kaavankin. Olisi pitänyt mainita, että kyseessä 4x4 matriisin muodostaminen komponenteittain (Λ)ᵤᵥ= 〈 σᵤ, X σᵥ X† 〉, missä μ,ν = 0,1,2,3. Ideana tosiaan mainitsemasi Minkowskimetriikalla varustetun moniston pisteiden 'esittäminen' 2x2 hermiittisillä matriiseilla X:

(x₀,x₁,x₂,x₃)  →  [ x₀ + x₃, x₁ - ix₂ ; x₁ + ix₂, x₀ - x₃ ].

Tuo matriisi X saadan kirjoitettua kantavektorijoukolla {σ₀, σ₁, σ₂, σ₃}, missä σ₀ = I.

Kaavan johtamiseen en tutustunut syvällisesti, mutta ainakin joissain lähteissä sisätuloon viitatataan melko ylimalkaisesti (ehkä Hilbert-Schmidt sisätulon ohittamiseksi) siten, että mikäli matriisien sisätulo määritellään 〈 M, N 〉 = ½ Tr( M† N ), niin Paulin matriiseille tulos on 〈 σᵤ , σᵥ 〉 = δᵤᵥ, joka selvästi ei ole minkowskimetriikassa.

Sitten edetään tuohon samaan minkä säkin kirjoitit, jossa löydetään Minkowskiavaruuden isometria eli metriikan säilyttävä ryhmä.

Seuraavaksi yritän sukeltaa Poincaren ryhmän ominaisuuksiin ja varsinkin esityksiin. Ajattelin lukea Wignerin alkuperäisen paperinkin läpi, mikä voi olla sivistävää joskaan ei kevyttä touhua ;)

QS
Seuraa 
Viestejä5287

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

ℝ¹∙³⋊ SO⁺(1,3).  

...

Tuossa aika-avaruuden translaatiot ℝ¹∙³ muodostavat normaalin Poincare-ryhmän aliryhmän, mutta Lorentz-muunnokset SO⁺(1,3) vain tavallisen aliryhmän ja tuo epäsymmetrinen merkki ⋊ osoittaa aina kumpi on normaali aliryhmä.

...

merkinnässä  G = N⋊H on kaksi G:n aliryhmää H ja N, mutta tuon aliryhmän N pitää olla normaali ja siksi nuo merkinnän ⋊ irtonaiset "piikit" tai kolmion "kärki" osoittavat normaalin aliryhmän suuntaan.

Itse merkki ⋊ on hybridi ryhmien tuloa ilmaisevasta x-merkistä ja normaalia aliryhmää ilmaisemasta ◁-merkistä eli G = N x H merkitsee karteesista tuloa ja N ◁ G merkitsee, että N on normaali G:n aliryhmä - "nuolen" kärki siis osoittaa normaliin aliryhmään.

Sunnuntain kunniaksi kertasin puolisuoran tulon, koska sillä roolinsa Wignerin luokittelussakin. Eli tosiaan N on G:n normaali aliryhmä jos ja vain jos gN = Ng kaikille g ∈ G, missä N tarkoittaa aliryhmää kokonaisuutena. N:n alkioilla n edellinen voidaan kirjoittaa vaatimukseksi gng⁻¹ ∈ N kaikilla g ∈ G, n ∈ N. Aliryhmän N alkioiden konjugointi ryhmän G alkiolla siis tuottaa alkion joka on edelleen aliryhmässä N.

Helpohko soveltaa Poincaren ryhmään ℝ¹∙³⋊ SO⁺(1,3). Matriisit Λ ovat homogeenisia Lorentz-muunnoksia ja vektorit x aika-avaruuden vektoreita. Kuten aiemmin todettu, alkio voidaan kirjoittaa parina g = ( Λ, x ) ∈ ℝ¹∙³⋊ SO⁺(1,3).

Translaatioiden aliryhmän N alkio n ∈ ℝ¹∙³ kirjoitetaan n = (1, a). Vastaavasti homogeenisten Lorentzmuunnosten aliryhmän H alkio h ∈ SO⁺(1,3) kirjoitetaan h = (Λ, 0) ja näiden aliryhmien N ja H muodostaman Poincareryhmän G alkio g = ( Λ', a' ).

Lasketaan gng⁻¹ = ( Λ', a' ) (1, a) ( Λ', a' )⁻¹ = (1, Λ'a). Tulos on translaatio, eli gng⁻¹ ∈ ℝ¹∙³, joten N = ℝ¹∙³ on normaali aliryhmä.

Lorentzmuunnokselle h saadaan ghg⁻¹ = ( Λ', a' ) (Λ, 0) ( Λ', a' )⁻¹ = ( Λ', a' ) (Λ Λ'⁻¹, Λ a'⁻¹ ) = ( Λ' Λ Λ'⁻¹, Λ' Λ a'⁻¹ + Λ a'⁻¹ ) . Tuo ei ole homogeeninen Lorentzmuunnos, koska mukana translaatio, joten H = SO⁺(1,3) ei ole normaali aliryhmä.

Pikaisesti noin. Toivottavasti ei laskuvirheitä.

QS
Seuraa 
Viestejä5287

Wignerin luokittelua voisi lähestyä ensin heuristisesti, koska ainakin mulle helpompi, kun ensin fysikaalisesti ajateltava ongelma, ja vasta sitten välillä abstraktin oloinen ryhmäteoria mukaan.

Wignerin teoreeman (ei siis luokittelu, vaan eri teoreema) mukaan Hilbertin avaruuden symmetriamuunnos on joko lineaarinen ja unitaarinen tai vaihtoehtoisesti antilineaarinen ja antiunitaarinen muunnos.

Erittäin oikaistulla ja epätarkalla notaatiolla: Yksihiukkastila Ψ = |p>, missä p on liikemäärä. Tässä Ψ ∈ ℋ ja dim ℋ = ∞, koska hiukkasen lepokoordinaatistosta voidaan tehdä mielivaltaisia puskuja Λ, jolloin liikemäärä voi saada äärettömän määrän arvoja. Oletetaan, että on olemassa Poincare-ryhmän esitys U( Λ, a ), joka on Wignerin teoreeman mukainen unitaarinen operaattori. Tämä operaattori siis säilyttää todennäköisyydet riippumatta koordinaatistosta, josta kvanttimekaanista tapahtumaa tarkastellaan.

Homogeenisen Lorentzmuunnoksen operaattori U( Λ, 0 ) | p > = Λ p | p >, missä Λ p normitettu liikemäärä puskussa.

Translaatio-operaattori U( 1, a ) | p > = exp( i aᵤ Pᵘ) | p >, missä aᵘ on transalaation parametri ja Pᵤ translaation generaattori. Ominaisarvo exp ( i aᵤ · pᵘ ) on normitettu liikemäärä translaatiossa.

Poincare-operaattori toimisi seuraavasti:
U( Λ, a ) | p >  = U( 1, a ) U( Λ, 0 ) | p >
                               = U( 1, a ) Λp | p >
                               = exp ( i aᵤ · Λpᵘ ) | p >

Ominaisarvo on normitettu liikemäärä Poincare-muunnoksessa. Tuo U( Λ, a ) on Poincare-ryhmän esitys Hilbertin avaruudessa ℋ. Wignerin luokittelun ideana on selvitää tuon mystisen ääretönulotteisen esityksen ominaisuudet. Näin tehtävänasettelun voisi pääpiirteissään kuvata fysikaalisesti, kunhan tuohon lisätään vielä hiukkasen spin, eli käsitellään tilaa Ψ = | p, s >. Ja tosiaan Wignerin teoreeman mukaan U(Λ, a) on oltava unitaarinen ja lineaarinen tai antiunitaarinen ja antilineaarinen.

Lähtökohdaksi voidaan kirjoittaa tuo esitys U( Λ, a ) = exp( ½i εᵤᵥ Mᵘᵛ) exp ( i aᵤ Pᵘ ), missä Mᵘᵛ ja Pᵘ ovat generaattoreita, joiden muoto riippuu valitusta ryhmän esityksestä.

Wignerin sanoin: "Hiukkanen" on unitaarinen redusoitumaton Poincaren algebran esitys, jolla on positiivinen energia.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2523

Iltapäivää, kommentoin ihan lyhyesti nyt vaan, aihe kyllä hyvin mielenkiintoinen ja haastava:

QS kirjoitti:

Wignerin luokittelua voisi lähestyä ensin heuristisesti, koska ainakin mulle helpompi, kun ensin fysikaalisesti ajateltava ongelma, ja vasta sitten välillä abstraktin oloinen ryhmäteoria mukaan.

Heh, jo Newtonin Principiaa jotkut aikalaiset kritisoivat siitä, että jotkut siinä esitetyt differentiaali-ja integraalilaskennan tulokset olivat perusteltu tavalla, jotka edellyttivät fysiikaalisia tuloksia, esimerkiksi pintalause/Kepler II. Siksi Leibnitzin versio differentiaaleineen dy/dx jne. oli käytettävyydeltään ylivoimainen ja sitähän me vieläkin käytämme. Newtonin perintöä on kuitenkin aikaderivaatan merkintä pisteellä suuretta kuvaavan kirjaimen yläpuolella. 

Olet oikeassa mielestäni siinä, että oppimisen kannalta konkreettinen esimerkki tilanteesta on  paljon opettavaisempi kuin abstrakti viritys. Esimerkiksi ryhmien abstrakti puolisuora tulo vs. Poicare-ryhmän määrittely puolisuorana tulona. 

QS kirjoitti:

Wignerin teoreeman (ei siis luokittelu, vaan eri teoreema) mukaan Hilbertin avaruuden symmetriamuunnos on joko lineaarinen ja unitaarinen tai vaihtoehtoisesti antilineaarinen ja antiunitaarinen muunnos.

Erittäin oikaistulla ja epätarkalla notaatiolla: Yksihiukkastila Ψ = |p>, missä p on liikemäärä. Tässä Ψ ∈ ℋ ja dim ℋ = ∞, koska hiukkasen lepokoordinaatistosta voidaan tehdä mielivaltaisia puskuja Λ, jolloin liikemäärä voi saada äärettömän määrän arvoja. Oletetaan, että on olemassa Poincare-ryhmän esitys U( Λ, a ), joka on Wignerin teoreeman mukainen unitaarinen operaattori. Tämä operaattori siis säilyttää todennäköisyydet riippumatta koordinaatistosta, josta kvanttimekaanista tapahtumaa tarkastellaan.


Tuo perustelu tuolle dim ℋ = ∞ on hyvin ovela. Tähän täytyy palata myöhemmin, siinä piiilee joitain mielenkiintoisia pointteja. Nyt ei kerkeä, on kohta muuta toimintaa tiedossa ja aiheesta kirjoittaminen vaatisi valmistelua. Mutta myöhemmin sitten palaan tähän.

QS kirjoitti:

Homogeenisen Lorentzmuunnoksen operaattori U( Λ, 0 ) | p > = Λ p | p >, missä Λ p normitettu liikemäärä puskussa.

Translaatio-operaattori U( 1, a ) | p > = exp( i aᵤ Pᵘ) | p >, missä aᵘ on transalaation parametri ja Pᵤ translaation generaattori. Ominaisarvo exp ( i aᵤ · pᵘ ) on normitettu liikemäärä translaatiossa.

Poincare-operaattori toimisi seuraavasti:
U( Λ, a ) | p >  = U( 1, a ) U( Λ, 0 ) | p >
                               = U( 1, a ) Λp | p >
                               = exp ( i aᵤ · Λpᵘ ) | p >

Tuossa siis keskimmäisellä riviltä: U( 1, a ) Λp | p > = exp ( i aᵤ · Λpᵘ ) | p >, jos nyt ihan ääripedanttiseksi heittäytyy, niin pitäisikö tossa olla Λpᵘ :n sijasta ΛPᵘ, siis 4-vektorin pᵘ sijasta  "4-operaattori" Pᵘ, joka on siis Hilbertin avaruuden operaattori, siis:

U( 1, a ) Λp | p > = exp ( i aᵤ · ΛPᵘ ) | p >.

Fyysikoilla on yleensä paha tapa ylikuormittaa näitä notaatioita, heh heh ! No joo, kyllä se on hyväkin joskus, silloin säästyy ylenmääräiseltä kirjoittamiselta, kun tietää mitä on tekemässä, mutta joskus lukija ei ole ihan samalla aaltopituudella ja ongelmia voi seurtata.

QS kirjoitti:

Ominaisarvo on normitettu liikemäärä Poincare-muunnoksessa. Tuo U( Λ, a ) on Poincare-ryhmän esitys Hilbertin avaruudessa ℋ. Wignerin luokittelun ideana on selvitää tuon mystisen ääretönulotteisen esityksen ominaisuudet. Näin tehtävänasettelun voisi pääpiirteissään kuvata fysikaalisesti, kunhan tuohon lisätään vielä hiukkasen spin, eli käsitellään tilaa Ψ = | p, s >. Ja tosiaan Wignerin teoreeman mukaan U(Λ, a) on oltava unitaarinen ja lineaarinen tai antiunitaarinen ja antilineaarinen.

Lähtökohdaksi voidaan kirjoittaa tuo esitys U( Λ, a ) = exp( ½i εᵤᵥ Mᵘᵛ) exp ( i aᵤ Pᵘ ), missä Mᵘᵛ ja Pᵘ ovat generaattoreita, joiden muoto riippuu valitusta ryhmän esityksestä.

Tuota viimeistä kaavaa ihmettelen, ja olen nähnyt sen muuallakin, esimerkiksi Wikin Poincare Group-jutussa. Hämäävää on se, että siinä eksponentioidaan translaation ja Lorentz-muunnoksen Lie-algebran (esityksen)  generaattorit erikseen, miksi niin tehdään? Johdonmukaista olisi kirjoittaa

U( Λ, a ) = exp( ½i εᵤᵥ Mᵘᵛ + i aᵤ Pᵘ ).

Jos nuo Lie-algebran esitykset kommutoisivat, siis [Mᵘᵛ,Pᵘ] = 0 antaisi Hausdorff-Campell-Baker kaava:

 exp(A + B) = exp(A)exp(B),

kun [A,B] = 0 tuon exp( ½i εᵤᵥ Mᵘᵛ) exp ( i aᵤ Pᵘ ).

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat