Sivut

Kommentit (199)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2587

Jatkoa edelliseen viestiini, jossa kommentoin allaolevan kaavan todistuksessa tarvittavaa aputulosta.

QS kirjoitti:

...

Liikemääräoperaattorin P operointi potkaistuun tilaan kirjoitetaan P( U(Λ) | p, r > ), joka voidaan laskea

Pᵛ( U(Λ) | p, s > ) = U(Λ) ( (Λ⁻¹)ᵛᵤ Pᵘ ) | p, r > = (Λᵛᵤ pᵘ) ( U(Λ) | p, r > ),

missä viimeisenä P:n ominaisarvot tilavektorin U(Λ) | p, r > edessä.


Mä lisäsin tonne vasemmanpuoleiseen kaavaan v-indeksin, jotta oikealla ja vasemmalla samat vapaat indeksit ja muutin lausekkeen | p, s > muotoon   | p, r >, pitäisikö noi s ja r olla noin? Noita indeksejä ei tarvitsisi oikeastaan mihinkään, kun muistaa mainitsemasi  p=pᵘ, k=kᵘ, Λ=Λᵤᵛ, P=Pᵘ jne. Poikkeuksen taitaa kuitenkin tehdä tuon antamasi kaavan todistus, siinä indeksit ehkä hyvä olla.

Ok, ton antamasi kaavan todistus alkaa ensimmäisen yhtäsuuruuden todistamisesta ja sitä varten vasempaan puoleen lisätään termi U(Λ)U(Λ)⁻¹ = Id, missä Id on Hilbert-avaruuden identiteettioperaattori ja tällöin saadaan:

Pᵘ( U(Λ) | p, r > )  = U(Λ) U(Λ)⁻¹ Pᵘ( U(Λ) | p, r > ).

Tuossa on nyt sisällä boldattu termi U(Λ)⁻¹ Pᵘ( U(Λ), joka näyttää melkein edellisen viestini Weinbergin muunnoskaavan

 U(Λ,a) Pᵛ U⁻¹ (Λ,a) = Λᵤᵛ Pᵘ

vasemmalta puolelta, kun a = 0 eli  Weinbergin kaava on

U(Λ) Pᵛ U⁻¹ (Λ) = Λᵤᵛ Pᵘ.

Tuohon muunnoskaavaan vain pitää sijoittaa Λ:n sijasta Λ⁻¹, jolloin saadaan vasemmaksi puoleksi:

U(Λ⁻¹) Pᵛ U⁻¹ (Λ⁻¹) = U(Λ)⁻¹ Pᵛ U (Λ).

Vastavasti Weinbergin muunnoskaavan oikeaan puoleen pitää sijoittaa  Λ⁻¹ eli

(Λ⁻¹)ᵤᵛ Pᵘ = Λᵛᵤ Pᵘ,

sillä indeksien uv sijainti ᵤᵛ ilmaisi käänteismatriisia. Näitä käyttäen saadaan:

Pᵘ( U(Λ) | p, r > ) = U(Λ) U(Λ)⁻¹ Pᵘ( U(Λ) | p, r > )
                                      = U(Λ) Λᵛᵤ Pᵘ | p, r >  
                                      = Λᵛᵤ Pᵘ U(Λ) | p, r >

Tuossa on se haluttu kaavan muoto.

Tossa oli kaikkein hämärintä aluksi tuo Lorentz-muunnoksen käänteismateriisin Λ⁻¹  käänteismatriisin (Λ⁻¹)⁻¹   = Λ kaava:

(Λ⁻¹)ᵤᵛ =  Λᵛᵤ,

joka perustui käänteismatriisin Λ⁻¹ kaavaan:

(Λ⁻¹)ᵛᵤ = Λᵤᵛ.

Tässä alkaa nyt silmät harottamaan, kun tuijottelee noita indeksejä liikaa, ehkä on parasta lopettaa taltä päivältä...ja ottaa kaapista kylmä juoma.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2587

Muuten hyvä, mutta unohdin tietysti muuttaa sen s-kirjainen r-kirjaimeksi, kun kirjoitin:

SIJ kirjoitti:

Mä lisäsin tonne vasemmanpuoleiseen kaavaan v-indeksin, jotta oikealla ja vasemmalla samat vapaat indeksit ja muutin lausekkeen | p, s > muotoon   | p, r >, pitäisikö noi s ja r olla noin?

Siis se sun kaavasi piti olla muodossa:

Pᵛ( U(Λ) | p, r > ) = U(Λ) ( (Λ⁻¹)ᵛᵤ Pᵘ ) | p, r > = (Λᵛᵤ pᵘ) ( U(Λ) | p, r > ).

missä boldattu r on nyt se haluttu muutokseni, indeksin v lisäämisen ohella.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
QS
Seuraa 
Viestejä5332

Iltaa. Havaitsit hyviä juttuja mun tiivistys-postauksesta.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Siis se sun kaavasi piti olla muodossa:

Pᵛ( U(Λ) | p, r > ) = U(Λ) ( (Λ⁻¹)ᵛᵤ Pᵘ ) | p, r > = (Λᵛᵤ pᵘ) ( U(Λ) | p, r > ).

Kyllä vaan, oli typo. Tosiaan |p,r> on tila, johon operoideaan, ei |p,s> kuten kirjoitin.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Noita indeksejä ei tarvitsisi oikeastaan mihinkään, kun muistaa mainitsemasi  p=pᵘ, k=kᵘ, Λ=Λᵤᵛ, P=Pᵘ jne. Poikkeuksen taitaa kuitenkin tehdä tuon antamasi kaavan todistus, siinä indeksit ehkä hyvä olla.

Ok, ton antamasi kaavan todistus alkaa ensimmäisen yhtäsuuruuden todistamisesta ja sitä varten vasempaan puoleen lisätään termi U(Λ)U(Λ)⁻¹ = Id, missä Id on Hilbert-avaruuden identiteettioperaattori ja tällöin saadaan:

Pᵘ( U(Λ) | p, r > )  = U(Λ) U(Λ)⁻¹ Pᵘ( U(Λ) | p, r > ).

Tuossa on nyt sisällä boldattu termi U(Λ)⁻¹ Pᵘ( U(Λ), joka näyttää melkein edellisen viestini Weinbergin muunnoskaavan

 U(Λ,a) Pᵛ U⁻¹ (Λ,a) = Λᵤᵛ Pᵘ

vasemmalta puolelta, kun a = 0 eli  Weinbergin kaava on

U(Λ) Pᵛ U⁻¹ (Λ) = Λᵤᵛ Pᵘ.

Tuohon muunnoskaavaan vain pitää sijoittaa Λ:n sijasta Λ⁻¹, jolloin saadaan vasemmaksi puoleksi:

U(Λ⁻¹) Pᵛ U⁻¹ (Λ⁻¹) = U(Λ)⁻¹ Pᵛ U (Λ).

Vastavasti Weinbergin muunnoskaavan oikeaan puoleen pitää sijoittaa  Λ⁻¹ eli

(Λ⁻¹)ᵤᵛ Pᵘ = Λᵛᵤ Pᵘ,

sillä indeksien uv sijainti ᵤᵛ ilmaisi käänteismatriisia. Näitä käyttäen saadaan:

Pᵘ( U(Λ) | p, r > ) = U(Λ) U(Λ)⁻¹ Pᵘ( U(Λ) | p, r > )
                                      = U(Λ) Λᵛᵤ Pᵘ | p, r >  
                                      = Λᵛᵤ Pᵘ U(Λ) | p, r >

Tuossa on se haluttu kaavan muoto.

Tossa oli kaikkein hämärintä aluksi tuo Lorentz-muunnoksen käänteismateriisin Λ⁻¹  käänteismatriisin (Λ⁻¹)⁻¹   = Λ kaava:

(Λ⁻¹)ᵤᵛ =  Λᵛᵤ,

joka perustui käänteismatriisin Λ⁻¹ kaavaan:

(Λ⁻¹)ᵛᵤ = Λᵤᵛ.

Tässä alkaa nyt silmät harottamaan, kun tuijottelee noita indeksejä liikaa, ehkä on parasta lopettaa taltä päivältä...ja ottaa kaapista kylmä juoma.

Totta. En sählätäessä edes huomannut notaatiota (Λ⁻¹)ᵛᵤ = Λᵤᵛ, joka meni multa läpi ei-käänteisenä. Darn. Taas muistutus fokuksen pitämisestä kirkkaana notaatioiden kanssa.

Tuo käänteismatriisi voidaan laskea myös (Λ⁻¹)ᵛᵤ = gᵛᵝ gᵤᵧ Λᵝᵧ = Λᵤᵛ, missä indeksin nosto ja lasku ikään kuin Λ olisi tensori, vaikka ei sitä tietysti ole. Mutta tässä tapauksessa toimii.

Mulle kertynyt jo läjä lähteitä, joista yhdessä prujussa päädytään tuohon johtamaasi boldattuun. Siinä todetaan tuo saamasi tulos U(Λ)⁻¹ Pᵘ U(Λ) = Λᵛᵤ Pᵘ, ja lasketaan sillä suoraan.

Loppuviikosta voisin jatkaa, kun enempi aikaa.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2587

Iltaa, keskiviikko on muuten toiselta nimeltään pikkulauantai, jostain syystä.

QS kirjoitti:

...
Totta. En sählätäessä edes huomannut notaatiota (Λ⁻¹)ᵛᵤ = Λᵤᵛ, joka meni multa läpi ei-käänteisenä. Darn. Taas muistutus fokuksen pitämisestä kirkkaana notaatioiden kanssa.

Mutta mitä ihmettä tarkoittaa Darn ? en ole moisesta kuullutkaan, heh, heh... Tuo voisi olla toki damn, niinkuin Amerikassa sanotaan, mutta voihan se olla jotain uuttakin...
QS kirjoitti:

Tuo käänteismatriisi voidaan laskea myös (Λ⁻¹)ᵛᵤ = gᵛᵝ gᵤᵧ Λᵝᵧ = Λᵤᵛ, missä indeksin nosto ja lasku ikään kuin Λ olisi tensori, vaikka ei sitä tietysti ole. Mutta tässä tapauksessa toimii.

Tuo indeksin nostaminen ja laskeminen tosiaan toimii noin, no tossa notaatiossa saattaa olla muutama kirjain väärässä paikassa, ei sen väliä, vaikka ajattelee asian oikein, tulee usein kirjoitettua asia toisin, koska painovirhepaholainen mellastaa. Pitäisikö siis tuo kaavasi:

(Λ⁻¹)ᵛᵤ = gᵛᵝ gᵤᵧ Λᵝᵧ = Λᵤᵛ

olla muodossa:

(Λ⁻¹)ᵛᵤ = gᵞᵛ gᵤᵦ Λᵝᵧ = Λᵤᵛ

missä on käytetty seuraavia aputuloksia:

Λᵤᵧ = gᵤᵦ Λᵝᵧ
Λᵤᵛ = gᵞᵛΛᵤᵧ.

Olet myös aivan oikeassa siinä, että Λ ei ole tensori, koska se on koordinaatistonmuunnoksen matriisi, mutta jotenkin se voisi sittenkin olla tensori, ainakin pedanttisesti ajatellen. Nimittäin tensorit määritellään yleisesti moniston N tangentti- ja kotangenttiavaruuksien TₚN multilineaarikuvauksina ja Minkowskiavaruuden M Lorentz-muunnos indusoi jokaiseen M:n tangenttiavaruuteen lineaarikuvauksen.

Tässä onkin sellainen sudenkuoppa vaarana, että tuo Lorentz-muunnoksen matriisi Λᵛᵤ esiintyy tavallaan kahdessa eri roolissa:

1. Se on Minkowkiavaruuden M koordinaatistomuunnos yᵛ = Λᵛᵤ xᵘ tai lyhyemmin  y = Λx.
2. Se on koordinaatistomuunnoksen y = Λx Jacobin matriisi eli osittaisderivaatoista ∂yᵛ/∂xᵤ muodostuva matriisi = Λᵛᵤ .

Sekaannus syntyy siitä että yleisestikin lineaarikuvauksen y = Ax derivaattamatriisi (=Jacobin matriisi) on tuo A itse ja puhutttaessa vaan kuvauksesta A voi sekaannus syntyä, koska kuvauksella ja sen derivaatalla on sama matriisi.

Siis Minkowskiavaruuden Lorentz-koordinaatistomuunnos yᵛ = Λᵛᵤ xᵘ indusoi jokaiseen tangenttiavaruuteen TₚM  lineaarisen kuvauksen Λ : TₚM → TₚM, joka määritellään kaavalla wᵛ = Λᵛᵤ vᵘ, missä (vᵘ) on TₚM:n vektorin v koordinaattiesitys.

Nyt on olemassa yleinen teoreema, jonka mukaan äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaariset kuvaukset

L : V → V voidaan samaistaa tensoreiden Aᵛᵤ kanssa, siis:

(1,1)-tensorit ≈ Lineaarikuvaukset.

Voidaan jopa soveltaa tuota kahteen tilanteeseen:

1. valitaan V = M
2. valitaan V = TₚM kaikilla p ∈M.

Tuo 1 tapa on mielestäni epäfysikaalinen ja sekaannusta aiheuttava, koska siinä piirretään kaikki vektorit M:n origosta alkavaksi, kun oikeastaan fysikaaliset vektorit pitäisi piirtää siihen tilanteeseen kuuluvaan tangenttiavaruuteen.

En nyt oikein osannut sanoa hyvin mitä hain takaa, mutta näin tiiviisti sanottuna:

Vektoriavaruus M on isomorfinen jokaisen tangenttiavaruutensa TₚM kanssa → paljon käsitteellisiä sekaannuksia, siitä että kuuluuko joku objekti avaruuteen M vai avaruuteen TₚM (ja niistä muodostettuihin  tensoriavaruuksiin)

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5332

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Iltaa, keskiviikko on muuten toiselta nimeltään pikkulauantai, jostain syystä.

Damn ku oiskin aikaa pikkulauantoida. Pääsiäisenä helpottaa joskin sitten pitää olla katollaan enempi kuin vain pikku-.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Mutta mitä ihmettä tarkoittaa Darn ? en ole moisesta kuullutkaan, heh, heh... Tuo voisi olla toki damn, niinkuin Amerikassa sanotaan, mutta voihan se olla jotain uuttakin...

Darn on mielestäni kevyempi versio damnistä. Olisko suomeksi sama kuin hitto vs perhana, joista hitto kevyempi kai?

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Pitäisikö siis tuo kaavasi:

(Λ⁻¹)ᵛᵤ = gᵛᵝ gᵤᵧ Λᵝᵧ = Λᵤᵛ

olla muodossa:

(Λ⁻¹)ᵛᵤ = gᵞᵛ gᵤᵦ Λᵝᵧ = Λᵤᵛ

Pitäisi. Totean, että uittu (joka on sitä v:tä kevyempi) kun ei oo viime aikoina indeksit menneet millään kohdalleen ;D. Foorumin copypaste-indeksointi sotkee pään ja silmät ( = hyvä meriselitys huolimattomuudelleni).

QS
Seuraa 
Viestejä5332

Iltaa!

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

...

Λ ei ole tensori, koska se on koordinaatistonmuunnoksen matriisi, mutta jotenkin se voisi sittenkin olla tensori, ainakin pedanttisesti ajatellen. Nimittäin tensorit määritellään yleisesti moniston N tangentti- ja kotangenttiavaruuksien TₚN multilineaarikuvauksina ja Minkowskiavaruuden M Lorentz-muunnos indusoi jokaiseen M:n tangenttiavaruuteen lineaarikuvauksen.

Tässä onkin sellainen sudenkuoppa vaarana, että tuo Lorentz-muunnoksen matriisi Λᵛᵤ esiintyy tavallaan kahdessa eri roolissa:

1. Se on Minkowkiavaruuden M koordinaatistomuunnos yᵛ = Λᵛᵤ xᵘ tai lyhyemmin  y = Λx.
2. Se on koordinaatistomuunnoksen y = Λx Jacobin matriisi eli osittaisderivaatoista ∂yᵛ/∂xᵤ muodostuva matriisi = Λᵛᵤ .

Sekaannus syntyy siitä että yleisestikin lineaarikuvauksen y = Ax derivaattamatriisi (=Jacobin matriisi) on tuo A itse ja puhutttaessa vaan kuvauksesta A voi sekaannus syntyä, koska kuvauksella ja sen derivaatalla on sama matriisi.

Siis Minkowskiavaruuden Lorentz-koordinaatistomuunnos yᵛ = Λᵛᵤ xᵘ indusoi jokaiseen tangenttiavaruuteen TₚM  lineaarisen kuvauksen Λ : TₚM → TₚM, joka määritellään kaavalla wᵛ = Λᵛᵤ vᵘ, missä (vᵘ) on TₚM:n vektorin v koordinaattiesitys.

Nyt on olemassa yleinen teoreema, jonka mukaan äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaariset kuvaukset

L : V → V voidaan samaistaa tensoreiden Aᵛᵤ kanssa, siis:

(1,1)-tensorit ≈ Lineaarikuvaukset.

Voidaan jopa soveltaa tuota kahteen tilanteeseen:

1. valitaan V = M
2. valitaan V = TₚM kaikilla p ∈M.

Tuo 1 tapa on mielestäni epäfysikaalinen ja sekaannusta aiheuttava, koska siinä piirretään kaikki vektorit M:n origosta alkavaksi, kun oikeastaan fysikaaliset vektorit pitäisi piirtää siihen tilanteeseen kuuluvaan tangenttiavaruuteen.

En nyt oikein osannut sanoa hyvin mitä hain takaa, mutta näin tiiviisti sanottuna:

Vektoriavaruus M on isomorfinen jokaisen tangenttiavaruutensa TₚM kanssa → paljon käsitteellisiä sekaannuksia, siitä että kuuluuko joku objekti avaruuteen M vai avaruuteen TₚM (ja niistä muodostettuihin  tensoriavaruuksiin)

Matematiikalla on aina pedanttia sanottavaa asioista, jotka ovat fysiikassa yksinkertaisia :D
En ole edes ajatellut, että Λ voisi olla tensori. Postauksesi luettuani vaikuttaa, että voi tosiaan ollakin.

Yritin päässäni samaistaa Lorentz-matriisien joukkoa {L} tensorien joukkoon {H}. Esim (1,1)-tensori määriteltäisiin tässä tapauksessa moniston M = ℝ¹∙³ kunkin pisteen p tangenttiavaruuden kuvauksena H : V × V* → ℝ, missä V = TₚM ja V* = T*ₚM, ja p ∈ M. Jos valitaan vektori v ∈ V, mutta ei 'syötetä' tensorille 1-muotoa, saadaan H( v, . ) = (Hᵛᵤ Xᵘ) eᵥ, missä Xᵘ ovat vektorin v komponentteja ja eᵥ avaruuden V kantavektori. Selvästi H( v, . ) on avaruuden V alkio. Kyllä tuosta Lorentzmuunnoksen saa aikaan, joten varmasti (1,1)-tensorit ≈ Lineaarikuvaukset.

Mua hämää se, että tensorit H muodostavat nekin vektoriavaruuden, jonka alkioille pitäisi voida määritellä mm. suljettu yhteenlasku  + : (V ⊗ V*) × (V ⊗ V*) → (V ⊗ V*). Alkioille u,v,w ∈ V ⊗ V* tuo on + pitää olla liitännäinen u + (v + w) = (u + v) + w ja vaihdannainen u + v = v + u. Yhteenlaskun voi tosin korvata muullakin binäärikuvauksella f(u,v).

Mutta Lorentzryhmän matriiseja ei voi ainakaan fysikaalisesti laskea yhteen matriisien yhteenlaskulla. Laskutoimitus voitaisiin korvata ryhmän SO(3,1) operaatiolla ★: SO(3,1) × SO(3,1) → SO(3,1). Tuo ★ on käytännössä matriisitulo, joka on liitännäinen. Mutta se ei ole vaihdannainen, koska kyseessä ei-abelin ryhmä.

Miten tuo samaistus Λᵛᵤ ≈ H(v,.) pitäisi ajatella, että saadaan vektoriavaruuden aksioomat toteuttava tensorituloavaruus?

Juu arvaan, että mulla jäi joku asia huomaamatta, mutta kysyn kuitenkin, jotta tiedän missä olen kuutamolla ;D

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2587

Iltaa, ihan lyhyt kommentti tuohon viimeiseen viestiisi.

QS kirjoitti:
Iltaa!
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

...

Λ ei ole tensori, koska se on koordinaatistonmuunnoksen matriisi, mutta jotenkin se voisi sittenkin olla tensori, ainakin pedanttisesti ajatellen. Nimittäin tensorit määritellään yleisesti moniston N tangentti- ja kotangenttiavaruuksien TₚN multilineaarikuvauksina ja Minkowskiavaruuden M Lorentz-muunnos indusoi jokaiseen M:n tangenttiavaruuteen lineaarikuvauksen.

Tässä onkin sellainen sudenkuoppa vaarana, että tuo Lorentz-muunnoksen matriisi Λᵛᵤ esiintyy tavallaan kahdessa eri roolissa:

1. Se on Minkowkiavaruuden M koordinaatistomuunnos yᵛ = Λᵛᵤ xᵘ tai lyhyemmin  y = Λx.
2. Se on koordinaatistomuunnoksen y = Λx Jacobin matriisi eli osittaisderivaatoista ∂yᵛ/∂xᵤ muodostuva matriisi = Λᵛᵤ .

Sekaannus syntyy siitä että yleisestikin lineaarikuvauksen y = Ax derivaattamatriisi (=Jacobin matriisi) on tuo A itse ja puhutttaessa vaan kuvauksesta A voi sekaannus syntyä, koska kuvauksella ja sen derivaatalla on sama matriisi.

Siis Minkowskiavaruuden Lorentz-koordinaatistomuunnos yᵛ = Λᵛᵤ xᵘ indusoi jokaiseen tangenttiavaruuteen TₚM  lineaarisen kuvauksen Λ : TₚM → TₚM, joka määritellään kaavalla wᵛ = Λᵛᵤ vᵘ, missä (vᵘ) on TₚM:n vektorin v koordinaattiesitys.

Nyt on olemassa yleinen teoreema, jonka mukaan äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaariset kuvaukset

L : V → V voidaan samaistaa tensoreiden Aᵛᵤ kanssa, siis:

(1,1)-tensorit ≈ Lineaarikuvaukset.

Voidaan jopa soveltaa tuota kahteen tilanteeseen:

1. valitaan V = M
2. valitaan V = TₚM kaikilla p ∈M.

Tuo 1 tapa on mielestäni epäfysikaalinen ja sekaannusta aiheuttava, koska siinä piirretään kaikki vektorit M:n origosta alkavaksi, kun oikeastaan fysikaaliset vektorit pitäisi piirtää siihen tilanteeseen kuuluvaan tangenttiavaruuteen.

En nyt oikein osannut sanoa hyvin mitä hain takaa, mutta näin tiiviisti sanottuna:

Vektoriavaruus M on isomorfinen jokaisen tangenttiavaruutensa TₚM kanssa → paljon käsitteellisiä sekaannuksia, siitä että kuuluuko joku objekti avaruuteen M vai avaruuteen TₚM (ja niistä muodostettuihin  tensoriavaruuksiin)

Matematiikalla on aina pedanttia sanottavaa asioista, jotka ovat fysiikassa yksinkertaisia :D

Tämä on useasti niin totta, matematiikassa usein kuluu paljon aikaa ja vaivaa siihen että saadaan 100% loogisesti aukoton esitys jostain asiasta ja tietysti matemaatikon pitääkin omissa töissään noudattaa alan laatustandardeja, mutta monesti silloin se intuitiivinen idea uhrataan loogisen moitteettomuuden altarilla. Tässä kohtaa fyysikot tulevat apuun (ainakin mulle) ja parhaimmillaan on ilo lukea fyysikoille tarkoitettua matemaattisten menetelmien kirjaa, jossa asiat esitetään selvällä havainnollisella tavalla ja pahimmillaan, no joo...heh he

QS kirjoitti:

En ole edes ajatellut, että Λ voisi olla tensori. Postauksesi luettuani vaikuttaa, että voi tosiaan ollakin.

;D

...

Mä kirjoitin tässä vastausta ttuohon sun edellisen viestisi loppuosaan, mutta multa nyt loppui aika, täytyy mennä kauppaan ostamaan pääsiäismunia ja virpomistarvikkeita... jatkan sitten huomenna varmaankin kirjoitustani.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5332

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Iltaa, ihan lyhyt kommentti tuohon viimeiseen viestiisi.

QS kirjoitti:
Iltaa!
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

...

Λ ei ole tensori, koska se on koordinaatistonmuunnoksen matriisi, mutta jotenkin se voisi sittenkin olla tensori, ainakin pedanttisesti ajatellen. Nimittäin tensorit määritellään yleisesti moniston N tangentti- ja kotangenttiavaruuksien TₚN multilineaarikuvauksina ja Minkowskiavaruuden M Lorentz-muunnos indusoi jokaiseen M:n tangenttiavaruuteen lineaarikuvauksen.

Tässä onkin sellainen sudenkuoppa vaarana, että tuo Lorentz-muunnoksen matriisi Λᵛᵤ esiintyy tavallaan kahdessa eri roolissa:

1. Se on Minkowkiavaruuden M koordinaatistomuunnos yᵛ = Λᵛᵤ xᵘ tai lyhyemmin  y = Λx.
2. Se on koordinaatistomuunnoksen y = Λx Jacobin matriisi eli osittaisderivaatoista ∂yᵛ/∂xᵤ muodostuva matriisi = Λᵛᵤ .

Sekaannus syntyy siitä että yleisestikin lineaarikuvauksen y = Ax derivaattamatriisi (=Jacobin matriisi) on tuo A itse ja puhutttaessa vaan kuvauksesta A voi sekaannus syntyä, koska kuvauksella ja sen derivaatalla on sama matriisi.

Siis Minkowskiavaruuden Lorentz-koordinaatistomuunnos yᵛ = Λᵛᵤ xᵘ indusoi jokaiseen tangenttiavaruuteen TₚM  lineaarisen kuvauksen Λ : TₚM → TₚM, joka määritellään kaavalla wᵛ = Λᵛᵤ vᵘ, missä (vᵘ) on TₚM:n vektorin v koordinaattiesitys.

Nyt on olemassa yleinen teoreema, jonka mukaan äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaariset kuvaukset

L : V → V voidaan samaistaa tensoreiden Aᵛᵤ kanssa, siis:

(1,1)-tensorit ≈ Lineaarikuvaukset.

Voidaan jopa soveltaa tuota kahteen tilanteeseen:

1. valitaan V = M
2. valitaan V = TₚM kaikilla p ∈M.

Tuo 1 tapa on mielestäni epäfysikaalinen ja sekaannusta aiheuttava, koska siinä piirretään kaikki vektorit M:n origosta alkavaksi, kun oikeastaan fysikaaliset vektorit pitäisi piirtää siihen tilanteeseen kuuluvaan tangenttiavaruuteen.

En nyt oikein osannut sanoa hyvin mitä hain takaa, mutta näin tiiviisti sanottuna:

Vektoriavaruus M on isomorfinen jokaisen tangenttiavaruutensa TₚM kanssa → paljon käsitteellisiä sekaannuksia, siitä että kuuluuko joku objekti avaruuteen M vai avaruuteen TₚM (ja niistä muodostettuihin  tensoriavaruuksiin)

Matematiikalla on aina pedanttia sanottavaa asioista, jotka ovat fysiikassa yksinkertaisia :D

Tämä on useasti niin totta, matematiikassa usein kuluu paljon aikaa ja vaivaa siihen että saadaan 100% loogisesti aukoton esitys jostain asiasta ja tietysti matemaatikon pitääkin omissa töissään noudattaa alan laatustandardeja, mutta monesti silloin se intuitiivinen idea uhrataan loogisen moitteettomuuden altarilla. Tässä kohtaa fyysikot tulevat apuun (ainakin mulle) ja parhaimmillaan on ilo lukea fyysikoille tarkoitettua matemaattisten menetelmien kirjaa, jossa asiat esitetään selvällä havainnollisella tavalla ja pahimmillaan, no joo...heh he

QS kirjoitti:

En ole edes ajatellut, että Λ voisi olla tensori. Postauksesi luettuani vaikuttaa, että voi tosiaan ollakin.

;D

...

Mä kirjoitin tässä vastausta ttuohon sun edellisen viestisi loppuosaan, mutta multa nyt loppui aika, täytyy mennä kauppaan ostamaan pääsiäismunia ja virpomistarvikkeita... jatkan sitten huomenna varmaankin kirjoitustani.

Loistavaa, jos jossain välissä ehdit kommentoida aiempaa tensorikysymystäni. Mä painelen pian pääsiäis-hölmöilyihin, mutta kerkesin hetken nörtteillä kvaternioista ja ryhmäteoriasta.

Kvaterniothan ovat kompleksilukujen laajennuksia: q = a + bi + cj + dk, missä a,b,c,d ∈ ℝ. Luvut q muodostavat kvaternioiden joukon ℍ.

Luvuista q voidaan muodostaa yleinen lineaarinen ryhmä GL(1, ℍ), jonka alkiot ovat 1x1 matriiseja Q ∈ GL(1, ℍ). Matriisin Q ainoan rivin ja sarakkeeen luku q ∈ ℍ. Tietysti "1-ulotteinen matriisi Q = kvaternio q", mutta ajatellaan matriisina. Matriisitulon neutraalialkio on yksikkömatriisi 1, toisin sanoen 1q = q. (kts. *)

Neutraalialkion lähellä oleva Q voidaan kirjoittaa neutraalin ja infinitesimaalin alkion summana Q = 1 + εq = 1 + (ε₀ + ε₁i + ε₂j + ε₃k) = 1 + (ε₀1 + ε₁i + ε₂j + ε₃k), missä εᵢ ∈ ℝ. Termit ja lopputulos ovat matriiseja. Infinitesimaali reaaliosa ε₀ on kirjoitettu yksikkömatriisin tulona ε₀1. (kts **)

Tuosta nähdään Lien algebran gl(1,ℍ) kantavektorit ja neljä generaattoria J₀ = 1, J₁ = i, J₂ = j, J₃ = k. Vektorin X ∈ gl(1,ℍ) voi kirjoittaa lineaarikombinaationa X = hⁱ Jᵢ, missä hⁱ ovat reaaliluku-komponentteja.

Lien sulut [.,.] saadaan kvaternioiden kertolaskusäännöillä.

Esim:
[J₀, J₁] = 11 - 11 = 0, ja yleisemminkin J₀ kommutoi kaikkien generaattorien kanssa (1j - j1 = 0 jne).
[J₁, J₂] = ij - ji = k + k = 2k,
[J₁, J₃] = ik - ki = -j - j = -2j, ja niin edelleen.

Noita tuijottelemalla rakennevakiot hahmottuvat. Kantavektoreihin voidaan lisätä kerroin -½ (esim. J₁ = -½i), millä saadaan kakkoset pois kommutoinneista. Lien algebraksi gl(1,ℍ) saadaan näin [J₀, Jᵢ] = 0 ja [Jᵢ, Jⱼ] = -εᵢⱼₑ Jₑ, missä i,j,e saavat arvot 1,2 tai 3.

Tavallisesti erityisen lineaarisen ryhmän matriisien det=1. Determinanttia haastava soveltaa suoraan, mutta ryhmästä GL(1, ℍ) päästään ryhmään SL(1,ℍ) asettamalla ryhmän alkion pituudeksi 1 (yksikkökvaternio). Kvaternion q itseisarvon neliö saadaan kertomalla liittoluvulla q*, eli |q|² = q* q. Infinitesimaaleilla alkioilla tuo voidaan laskea

(1 + εq)* (1 + εq) = ( 1 + ε₀1 - ε₁i - ε₂j - ε₃k )( 1 + ε₀1 + ε₁i + ε₂j + ε₃k ) = ... = 1 + 2ε₀ + O(ε²), missä lopulta lähes kaikki termit ovat toista kertalukua O(ε²), jotka jätetään huomioimatta.

Yksikköpituus toteutuu, kun 1 + 2ε₀ = 1 --> ε₀ = 0. Nyt generaattori J₀ = 0, ja sl(1,ℍ) kantavektoreita on jäljellä kolme: J₁ = i, J₂ = j, J₃ = k.

Lien algebra sl(1,ℍ) on lopulta [Jᵢ, Jⱼ] = -εᵢⱼₑ Jₑ  (i,j,e = 1,2,3), mikä on sama kuin rotaatioalgebroilla so(3,ℝ) ja su(2,ℂ).

Kvaternioiden yhteys rotaatiohin on tällä tarkastelulla mukavan selkeä.

Hauskaa pääsiäistä!

----

(*) Kertolasku ei ole kommutatiivinen, joten ℍ ei ole kunta vaan jakorengas. Lähteissä ei perusteltu ryhmän GL(n,K) muodostamista jakorenkaasta. Käsittääkseni (käsienheiluttelu-mutua) ryhmän GL(n,K) matriisin alkioden tulisi olla kunnasta K.

(**) Ryhmän infinitesimaalien matriisien yhteenlasku on yleinen tapa fysiikassa. Pedantisti yhteenlasku 1 + εq on määrittelemätön, koska ryhmässä G ei ole yhteenlaskua vaan vain ryhmäoperaatio, joka siis ei ole yhteenlasku. Matematiikassa ongelma ratkeaa työläällä laskemisella (mun mielestä työläällä). Koskee muitakin Lien ryhmiä, joissa käytetään tätä fysiikan suoraviivaista yhteenlasku-tapaa.

Kohtaa (*) en jaksanut selvitellä, mutta mielestäni jäi lähteessä tarkastelematta.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2587

Iltapäivää, yritän tässä vastata tuohon aikaisempaan viestiisi. En oikein onnistunut kirjoittamaan vastaustani mitenkään hyvin, koska aiheen seikkaperiänen selvittely näemmä tekee viesteistä kohtuuttoman pitkiä, tässä siis eräänlainen minivastaus.

QS kirjoitti:

Yritin päässäni samaistaa Lorentz-matriisien joukkoa {L} tensorien joukkoon {H}.

Ihan tuollaisena tuo ei onnistu,  nuo Lorentz-matriisit L ovat vain pieni osajoukko kaikista matriiseistta M(4,ℝ), koska niden pitää toteuttaa se määrittelevä yhtälö  Λᵗ g Λ = g, josta seuraa esimerkiksi detΛ = ±1. Tavallaan tuo kaikkien 4 x 4 - matriisien joukko M(4,ℝ) on 16-ulotteinen vektoriavaruus, jossa tuo Lorentz-matriisien joukko  {L} on 6-ulotteinen alimonisto ja koska kahden Lorentz-matriisin summa ei yleensä ole Lorentz-muunnos ei tuo alimonisto {L} ole  vektoriavaruuden M(4,ℝ) vektorialiavaruus.

Vastaavasti (1,1)-tensorien joukko {H} on myös 16-ulottteinen vektoriavaruus (sillä tensorilla H on 16-komponenttia) ja siksi on mahdotonta kuvata 6-ulotteista Lorentz-matriisien joukkoa bijektiivisesti 16-ulotteiselle tensoriavaruudelle {H}. Siis jokaista Lorentzmatriisia  vastaa yksikäsitteinen (1,1)-tensori, mutta ei kääntäen.

QS kirjoitti:

Esim (1,1)-tensori määriteltäisiin tässä tapauksessa moniston M = ℝ¹∙³ kunkin pisteen p tangenttiavaruuden kuvauksena H : V × V* → ℝ, missä V = TₚM ja V* = T*ₚM, ja p ∈ M. Jos valitaan vektori v ∈ V, mutta ei 'syötetä' tensorille 1-muotoa, saadaan H( v, . ) = (Hᵛᵤ Xᵘ) eᵥ, missä Xᵘ ovat vektorin v komponentteja ja eᵥ avaruuden V kantavektori. Selvästi H( v, . ) on avaruuden V alkio. Kyllä tuosta Lorentzmuunnoksen saa aikaan, joten varmasti (1,1)-tensorit ≈ Lineaarikuvaukset.

Tuo on hyvin totta, mutta tuo Lorentz-muunnos on mielestäni vähän ylimääräinen tuossa. Tuossa on siis hyvä huomata se, että tuo samaistaa 4x4-matriisit ja (1,1)-tensorit, kummatkin ovat vektoriavaruuksia luonnollisella tavalla ja niiden kumankin dimensio on 16.

QS kirjoitti:

Mua hämää se, että tensorit H muodostavat nekin vektoriavaruuden, jonka alkioille pitäisi voida määritellä mm. suljettu yhteenlasku  + : (V ⊗ V*) × (V ⊗ V*) → (V ⊗ V*). Alkioille u,v,w ∈ V ⊗ V* tuo on + pitää olla liitännäinen u + (v + w) = (u + v) + w ja vaihdannainen u + v = v + u. Yhteenlaskun voi tosin korvata muullakin binäärikuvauksella f(u,v).

Juuri näin, nuo tensorit H muodostavat sen 16-ulotteisen vektoriavaruuden {H}.

QS kirjoitti:

Mutta Lorentzryhmän matriiseja ei voi ainakaan fysikaalisesti laskea yhteen matriisien yhteenlaskulla. Laskutoimitus voitaisiin korvata ryhmän SO(3,1) operaatiolla ★: SO(3,1) × SO(3,1) → SO(3,1). Tuo ★ on käytännössä matriisitulo, joka on liitännäinen. Mutta se ei ole vaihdannainen, koska kyseessä ei-abelin ryhmä.

Tuossa tuo laskutoimitus ★ on sen 6-ulotteisen Lorentzryhmän oma  kertolasku, joka indusoituu siitä matriisien kertolaskusta avaruuudessa M(4,ℝ).

Luulen että sekaannus syntyy siitä, että nuo Lorentz-matriisit ovat vain 6-ulotteinen alimonisto 16-ulotteisessa matriiisien avaruudessa M(4,ℝ).

Tässä on vielä sellainen sekaannuksen lähde, joka johtuu lineaarikuvauksen ja matriisien samaistamisesta, yleisesti lineaarinen L:V →V voi olla annettu ilman mitään puhettakaan V:n kannoista. Sitten kun vektoriavaruuteen V valitaan kanta {Eᵢ} saadaan tuolle kuvaukselle matriisiesitys M(L,{Eᵢ}). Tuossa on hyvä huomata se, että matriisi M riippuu tietysti kuvauksesta L mutta myös kannasta {Eᵢ}, tämä toteamus saattaa kuullostaa triviaalilta, mutta analogisesti tensorien kanssa, voimme ajatella lineaarikuvauksen L olevan invariantti, vain sen komponentit = matriisin alkiot muuttuvat, kun valitsemme eri kantoja avaruuteen V. Toisaalta voimme pitää kannan {Eᵢ} fiksattuna, jolloin jokainen matriisi antaa eri lineaarikuvauksen. Edellisessä oli 1 lineaarikuvaus, jolla ääretön määrä eri matriiseja eri kannoissa ja jälkimmäisessä vain 1 kanta ja ääretön määrä eri lineaarikuvauksia ja tämä vaikuttaa osaltaan, voiko Lorentz-muunnosta pitää tensorina. Tensoritulkintä liittyykin ensimmäiseen vaihtoehtoon.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5332

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Iltapäivää, yritän tässä vastata tuohon aikaisempaan viestiisi. En oikein onnistunut kirjoittamaan vastaustani mitenkään hyvin, koska aiheen seikkaperiänen selvittely näemmä tekee viesteistä kohtuuttoman pitkiä, tässä siis eräänlainen minivastaus.
QS kirjoitti:

Yritin päässäni samaistaa Lorentz-matriisien joukkoa {L} tensorien joukkoon {H}.

Ihan tuollaisena tuo ei onnistu,  nuo Lorentz-matriisit L ovat vain pieni osajoukko kaikista matriiseistta M(4,ℝ), koska niden pitää toteuttaa se määrittelevä yhtälö  Λᵗ g Λ = g, josta seuraa esimerkiksi detΛ = ±1. Tavallaan tuo kaikkien 4 x 4 - matriisien joukko M(4,ℝ) on 16-ulotteinen vektoriavaruus, jossa tuo Lorentz-matriisien joukko  {L} on 6-ulotteinen alimonisto ja koska kahden Lorentz-matriisin summa ei yleensä ole Lorentz-muunnos ei tuo alimonisto {L} ole  vektoriavaruuden M(4,ℝ) vektorialiavaruus.

Vastaavasti (1,1)-tensorien joukko {H} on myös 16-ulottteinen vektoriavaruus (sillä tensorilla H on 16-komponenttia) ja siksi on mahdotonta kuvata 6-ulotteista Lorentz-matriisien joukkoa bijektiivisesti 16-ulotteiselle tensoriavaruudelle {H}. Siis jokaista Lorentzmatriisia  vastaa yksikäsitteinen (1,1)-tensori, mutta ei kääntäen.

QS kirjoitti:

Esim (1,1)-tensori määriteltäisiin tässä tapauksessa moniston M = ℝ¹∙³ kunkin pisteen p tangenttiavaruuden kuvauksena H : V × V* → ℝ, missä V = TₚM ja V* = T*ₚM, ja p ∈ M. Jos valitaan vektori v ∈ V, mutta ei 'syötetä' tensorille 1-muotoa, saadaan H( v, . ) = (Hᵛᵤ Xᵘ) eᵥ, missä Xᵘ ovat vektorin v komponentteja ja eᵥ avaruuden V kantavektori. Selvästi H( v, . ) on avaruuden V alkio. Kyllä tuosta Lorentzmuunnoksen saa aikaan, joten varmasti (1,1)-tensorit ≈ Lineaarikuvaukset.

Tuo on hyvin totta, mutta tuo Lorentz-muunnos on mielestäni vähän ylimääräinen tuossa. Tuossa on siis hyvä huomata se, että tuo samaistaa 4x4-matriisit ja (1,1)-tensorit, kummatkin ovat vektoriavaruuksia luonnollisella tavalla ja niiden kumankin dimensio on 16.

QS kirjoitti:

Mua hämää se, että tensorit H muodostavat nekin vektoriavaruuden, jonka alkioille pitäisi voida määritellä mm. suljettu yhteenlasku  + : (V ⊗ V*) × (V ⊗ V*) → (V ⊗ V*). Alkioille u,v,w ∈ V ⊗ V* tuo on + pitää olla liitännäinen u + (v + w) = (u + v) + w ja vaihdannainen u + v = v + u. Yhteenlaskun voi tosin korvata muullakin binäärikuvauksella f(u,v).

Juuri näin, nuo tensorit H muodostavat sen 16-ulotteisen vektoriavaruuden {H}.

QS kirjoitti:

Mutta Lorentzryhmän matriiseja ei voi ainakaan fysikaalisesti laskea yhteen matriisien yhteenlaskulla. Laskutoimitus voitaisiin korvata ryhmän SO(3,1) operaatiolla ★: SO(3,1) × SO(3,1) → SO(3,1). Tuo ★ on käytännössä matriisitulo, joka on liitännäinen. Mutta se ei ole vaihdannainen, koska kyseessä ei-abelin ryhmä.

Tuossa tuo laskutoimitus ★ on sen 6-ulotteisen Lorentzryhmän oma  kertolasku, joka indusoituu siitä matriisien kertolaskusta avaruuudessa M(4,ℝ).

Luulen että sekaannus syntyy siitä, että nuo Lorentz-matriisit ovat vain 6-ulotteinen alimonisto 16-ulotteisessa matriiisien avaruudessa M(4,ℝ).

Tässä on vielä sellainen sekaannuksen lähde, joka johtuu lineaarikuvauksen ja matriisien samaistamisesta, yleisesti lineaarinen L:V →V voi olla annettu ilman mitään puhettakaan V:n kannoista. Sitten kun vektoriavaruuteen V valitaan kanta {Eᵢ} saadaan tuolle kuvaukselle matriisiesitys M(L,{Eᵢ}). Tuossa on hyvä huomata se, että matriisi M riippuu tietysti kuvauksesta L mutta myös kannasta {Eᵢ}, tämä toteamus saattaa kuullostaa triviaalilta, mutta analogisesti tensorien kanssa, voimme ajatella lineaarikuvauksen L olevan invariantti, vain sen komponentit = matriisin alkiot muuttuvat, kun valitsemme eri kantoja avaruuteen V. Toisaalta voimme pitää kannan {Eᵢ} fiksattuna, jolloin jokainen matriisi antaa eri lineaarikuvauksen. Edellisessä oli 1 lineaarikuvaus, jolla ääretön määrä eri matriiseja eri kannoissa ja jälkimmäisessä vain 1 kanta ja ääretön määrä eri lineaarikuvauksia ja tämä vaikuttaa osaltaan, voiko Lorentz-muunnosta pitää tensorina. Tensoritulkintä liittyykin ensimmäiseen vaihtoehtoon.

Juu. Olet oikeassa. 6-ulotteisuudesta tuli mieleeni (aasinsiltana) sähkömagneettinen kenttätensori Fᵘᵛ, jossa on yhteensä kuusi erillistä E- ja B-komponenttia. Koko tensori on 16-komponenttinen.

Varoituksena, että tässä alla sotketaan perusteellisesti tensorit, matriisit, kantavektorit, generaattorit ja kommutoinnit. Eli unohdetaan pedanttius hetkeksi :).

Kuvassa Faradayn (1,1)-tensori Fᵘᵥ matriisimuodossa, joka saatu täysin antisymmetrisestä (2,0)-tensorista Fᵘᵛ. Tuo Fᵘᵥ on antisymmetrinen vain oikean alakulman '3x3 matriisin' osalta. Ensimmäisen rivin ja sarakkeen osalta tensori on symmetrinen. Tensorit eivät tietysti yleistäen ole matriiseja kuten todettu, mutta (1,1)-tensori on lineaarikuvaus, joka kuvaa 1-muodon ja vektorin skalaariksi.

Tensorista Fᵘᵥ voidaan muodostaa 6 kpl matriisimuotoja, joissa kussakin yksi kenttäkomponentti kerrallaan B = 1 tai E = 1, ja muut nollia.

Nimetään matriisitmuodot M₁, M₂, M₃, L₁, L₂ ja L₃. Esim. M₁:ssä vain B₁ = 1, muut E = B = 0. M₂:ssa vain B₂ = 1, L₂:ssa vain E₂ = 1. Kuvan avulla selvempi, eli tavallaan muokataan Fᵘᵥ infinitesimaaleja J- ja K generaattoreita vastaavaksi käyttäen komponentteja E=1 ja B=1. Näille matriisimuodoille saadaan kommutoinnit

[ Mᵢ, Mⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Mᵣ
[ Mᵢ, Lⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Lᵣ
[ Lᵢ, Lⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Mᵣ,

missä i, j, r ∈ {1, 2, 3}.

Tuo on sama kuin Lien algebra so(1, 3). Etumerkeissä ero, joka korjautuisi tod. näk. sopivaan kohtaan asetetulla imaginaariyksiköllä i. Anyway. Kuvassa puskugeneraattorit K ovat symmetrisiä ja rotaatiogeneraattorit J antisymmetrisiä vastaavasti kuin (1,1)-tensorien 'infinitesimaalit' matriisimuodot M ja L. Tavallaan sähkökenttä E generoi puskuja x,y ja z-akselin suuntiin ja B:t vastaavia rotaatioita.

Tällä jännä yhteys varatun hiukkasen Lorentzin voimaan. Hiukkasen nopeus muuttuu yhdensuuntaisesti sähkökentän E kanssa, ja nopeuden suunta muuttuu magneettikentän B määräämänä. E puskee ja B pyöräyttää.

Hiukkasen hetkellisessä inertiaalissa yhtälö on m ( dvᵘ / dτ ) = q Fᵘᵥ vᵛ, missä tensori Fᵘᵥ kuvaa kontravariantin nopeusvektorin vᵛ vastaavaksi kontravariantiksi nopeuden aikaderivaataksi dvᵘ / dτ = Fᵘᵥ vᵛ, eli tavallaan liikuttaa hiukkasta infinitesimaalisti.

No, yhteys generaattoreihin katoaa, kun yhtälö kirjoitetaan (0,2)-tensorilla dvᵤ / dτ = q Fᵤᵥ vᵛ. Tässä nyt Fᵤᵥ ei ole antisymmetrisyytensä johdosta J:n ja K:n kaltainen.

Mutta mielenkiintoinen juttu, oli numerologiaa tai ei.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2587

Iltaa..

QS kirjoitti:

...

Varoituksena, että tässä alla sotketaan perusteellisesti tensorit, matriisit, kantavektorit, generaattorit ja kommutoinnit. Eli unohdetaan pedanttius hetkeksi :).

Kuvassa Faradayn (1,1)-tensori Fᵘᵥ matriisimuodossa, joka saatu täysin antisymmetrisestä (2,0)-tensorista Fᵘᵛ. Tuo Fᵘᵥ on antisymmetrinen vain oikean alakulman '3x3 matriisin' osalta. Ensimmäisen rivin ja sarakkeen osalta tensori on symmetrinen. Tensorit eivät tietysti yleistäen ole matriiseja kuten todettu, mutta (1,1)-tensori on lineaarikuvaus, joka kuvaa 1-muodon ja vektorin skalaariksi.

Tensorista Fᵘᵥ voidaan muodostaa 6 kpl matriisimuotoja, joissa kussakin yksi kenttäkomponentti kerrallaan B = 1 tai E = 1, ja muut nollia.

Nimetään matriisitmuodot M₁, M₂, M₃, L₁, L₂ ja L₃. Esim. M₁:ssä vain B₁ = 1, muut E = B = 0. M₂:ssa vain B₂ = 1, L₂:ssa vain E₂ = 1. Kuvan avulla selvempi, eli tavallaan muokataan Fᵘᵥ infinitesimaaleja J- ja K generaattoreita vastaavaksi käyttäen komponentteja E=1 ja B=1. Näille matriisimuodoille saadaan kommutoinnit

[ Mᵢ, Mⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Mᵣ
[ Mᵢ, Lⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Lᵣ
[ Lᵢ, Lⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Mᵣ,

missä i, j, r ∈ {1, 2, 3}.

Tuo on sama kuin Lien algebra so(1, 3). Etumerkeissä ero, joka korjautuisi tod. näk. sopivaan kohtaan asetetulla imaginaariyksiköllä i. Anyway. Kuvassa puskugeneraattorit K ovat symmetrisiä ja rotaatiogeneraattorit J antisymmetrisiä vastaavasti kuin (1,1)-tensorien 'infinitesimaalit' matriisimuodot M ja L. Tavallaan sähkökenttä E generoi puskuja x,y ja z-akselin suuntiin ja B:t vastaavia rotaatioita.

Tämäpäs  olikikin hieno idea tai aivan loistava suorastaan  ja mä kyllä pitkään ihmettelinkin, että miksi noin käy. Toihan olisi aivan huikeaa, että E-kenttä liittyy näihin puskun generaattoreihin ja B-kettä rotaation generaattorein. Tuohan tarkoittaisi sitä, että SM-kenttätensori on Lie-algebra-arvoinen, siis SO(1,3):n Lie-algebran g = so(1,3)-arvoinen. Tuntuu aivan  kuin olisi jonkin syvällisen ja salatun tiedon äärellä ja maailmankaikkeus vihdoinkin paljastaa kohta salaisuutensa ! Heh, ihan oikeasti tuntui siltä, en edes (paljoa) liioitele.

Sitten tuo alkoi vaikuttaa niiltä aikaisempien keskusteluiden pääsäiekimppujutuilta ja niinpä riensin etsimään selostusta, jossa Maxvellin kenttä kuvataan pääsäiekimpun P(M, SO(1,3) konnektiona ω (M Minkowskiavaruus) , mutta ei löytynyt sellaista.

Mutta se löytyi, jossa tuo konnektiosta laskettu muoto oli tavallinen 2-muoto Minkowskiavaruudessa M, symmetriaryhmänä G=U(1) ja kaarevuusmuotona F = D ω, mutta tässä tuo Lie-algebra oli vain reaaliakseli ℝ eikä mitään "hohdokasta", kuten tuo so(1,3) olisi ollut. Tämä aihe pitäisi joskus lienee herättää henkiin ja tehdä sellainen superperusteellinen kertaus. next summer perhaps?

Pitkään ihmeteltyäni saamaasi tulosta  tulin tulokseen että käsittääkseni nuo merkit  generaattoreille tulevat samoiksi kuin Lorentz-muunnoksten generaattoreiden ,  koska minkä tahansa antisymmetrisen tensorin  Hᵘᵛ indeksin laskussa saadaan Hᵘᵥ ja kun  tähän tekee tuon mitä  teit yllä eli allaolevaa soveltaa vaan suoraan tensoriin Hᵘᵥ:

QS kirjoitti:

Nimetään matriisitmuodot M₁, M₂, M₃, L₁, L₂ ja L₃. Esim. M₁:ssä vain B₁ = 1, muut E = B = 0. M₂:ssa vain B₂ = 1, L₂:ssa vain E₂ = 1. Kuvan avulla selvempi, eli tavallaan muokataan Fᵘᵥ infinitesimaaleja J- ja K generaattoreita vastaavaksi käyttäen komponentteja E=1 ja B=1. Näille matriisimuodoille saadaan kommutoinnit

[ Mᵢ, Mⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Mᵣ
[ Mᵢ, Lⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Lᵣ
[ Lᵢ, Lⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Mᵣ,

missä i, j, r ∈ {1, 2, 3}.

eli tossa nuo generaattorit antavat automaattisesti nuo Lien algebran so(1,3) komponentit eli oleellista on tuon tensorin Hᵘᵛ tai Fᵘᵛ antisymmetrisyys. Silloin tuo on matemaattisesti ihan sama lasku kuin Lorentz-ryhmän alkuperäinen generaattoreiden määräys, jossa esiintyi jotain tyyliin ( Jᵘᵛ)ᵝᵧ ja  ( Jᵘᵛ)ᵧᵦ, missä Jᵘᵛ oli niitä Lorentz-muunnoksen generaattorimatriiseja, joista muoto ( Jᵘᵛ)ᵧᵦ on antisymmetrinen indekseissa (βγ).

Tuon tapaan, voi puljata tuon indeksin noston noihin generaattoreihin operoivaksi ja se muuttaa merkit "translaatioiden" osalta mutta jättä rotaatiot antisymmetriseksi.

QS kirjoitti:

Hiukkasen hetkellisessä inertiaalissa yhtälö on m ( dvᵘ / dτ ) = q Fᵘᵥ vᵛ, missä tensori Fᵘᵥ kuvaa kontravariantin nopeusvektorin vᵛ vastaavaksi kontravariantiksi nopeuden aikaderivaataksi dvᵘ / dτ = Fᵘᵥ vᵛ, eli tavallaan liikuttaa hiukkasta infinitesimaalisti.

No, yhteys generaattoreihin katoaa, kun yhtälö kirjoitetaan (0,2)-tensorilla dvᵤ / dτ = q Fᵤᵥ vᵛ. Tässä nyt Fᵤᵥ ei ole antisymmetrisyytensä johdosta J:n ja K:n kaltainen.

Tätä pitää mun vielä pohtia, miten tuo kirjoittamasi menee tässä kontekstissa.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2587

[quote=QS]

...mutta kerkesin hetken nörtteillä kvaternioista ja ryhmäteoriasta.

Kvaterniothan ovat kompleksilukujen laajennuksia: q = a + bi + cj + dk, missä a,b,c,d ∈ ℝ. Luvut q muodostavat kvaternioiden joukon ℍ.

..,

[/quot]

Mä palaan kyllä näihin kvaternioihin, sillä ne ovat todella jänniä  otuksia ja niiden yhteys rotaatioihin on yksi sellaisia matematiikan kohokohtia, ainakin minun mielestäni. 

Kvaternioista on ihan omaakin kokemusta, kerran näpertelin erään idean parissa ja saadaksen homman toimimaan minun piti selvittää, miten jaetaan tavallisia 3-vektoreita eli miten muodostetaan vektorin V ja W osamäärä V/W. Tätä varten tutustuin paremmin kvaternioihin ja homma toimikin jotenkin. Homma meni pieleen siinä, että tietyn reaaliparametrin a mennessä nollaa kohti olisi pitänyt suhteen V(a)/W(a) ehdottomasti aina lähestyä nollasta poikkeavaa raja-arvoa, koko mun "teoriani" päätulos riippui siitä, valitettavasti osoittautuikin, että suhde V(a)/W(a) meni aina kohti nollaa, kun a lähestyi nollaa, nyyh...

  Olen joskus semiaktiivisesti aina silloin tällöin yrittänyt kiertää tämän jollain kikkailuilla, mutta en ole onnistunut (vielä ) siinä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5332

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Iltaa..

QS kirjoitti:

...

Varoituksena, että tässä alla sotketaan perusteellisesti tensorit, matriisit, kantavektorit, generaattorit ja kommutoinnit. Eli unohdetaan pedanttius hetkeksi :).

Kuvassa Faradayn (1,1)-tensori Fᵘᵥ matriisimuodossa, joka saatu täysin antisymmetrisestä (2,0)-tensorista Fᵘᵛ. Tuo Fᵘᵥ on antisymmetrinen vain oikean alakulman '3x3 matriisin' osalta. Ensimmäisen rivin ja sarakkeen osalta tensori on symmetrinen. Tensorit eivät tietysti yleistäen ole matriiseja kuten todettu, mutta (1,1)-tensori on lineaarikuvaus, joka kuvaa 1-muodon ja vektorin skalaariksi.

Tensorista Fᵘᵥ voidaan muodostaa 6 kpl matriisimuotoja, joissa kussakin yksi kenttäkomponentti kerrallaan B = 1 tai E = 1, ja muut nollia.

Nimetään matriisitmuodot M₁, M₂, M₃, L₁, L₂ ja L₃. Esim. M₁:ssä vain B₁ = 1, muut E = B = 0. M₂:ssa vain B₂ = 1, L₂:ssa vain E₂ = 1. Kuvan avulla selvempi, eli tavallaan muokataan Fᵘᵥ infinitesimaaleja J- ja K generaattoreita vastaavaksi käyttäen komponentteja E=1 ja B=1. Näille matriisimuodoille saadaan kommutoinnit

[ Mᵢ, Mⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Mᵣ
[ Mᵢ, Lⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Lᵣ
[ Lᵢ, Lⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Mᵣ,

missä i, j, r ∈ {1, 2, 3}.

Tuo on sama kuin Lien algebra so(1, 3). Etumerkeissä ero, joka korjautuisi tod. näk. sopivaan kohtaan asetetulla imaginaariyksiköllä i. Anyway. Kuvassa puskugeneraattorit K ovat symmetrisiä ja rotaatiogeneraattorit J antisymmetrisiä vastaavasti kuin (1,1)-tensorien 'infinitesimaalit' matriisimuodot M ja L. Tavallaan sähkökenttä E generoi puskuja x,y ja z-akselin suuntiin ja B:t vastaavia rotaatioita.

Tämäpäs  olikikin hieno idea tai aivan loistava suorastaan  ja mä kyllä pitkään ihmettelinkin, että miksi noin käy. Toihan olisi aivan huikeaa, että E-kenttä liittyy näihin puskun generaattoreihin ja B-kettä rotaation generaattorein. Tuohan tarkoittaisi sitä, että SM-kenttätensori on Lie-algebra-arvoinen, siis SO(1,3):n Lie-algebran g = so(1,3)-arvoinen. Tuntuu aivan  kuin olisi jonkin syvällisen ja salatun tiedon äärellä ja maailmankaikkeus vihdoinkin paljastaa kohta salaisuutensa ! Heh, ihan oikeasti tuntui siltä, en edes (paljoa) liioitele.

Periaatteessa kiehtova ajatus, että kenttävoimakkuustensori olisi ryhmän SO(1,3) alkio ja aika-avaruuden pisteissä alkiolla olisi jonkinlainen suunta/suuruus, jolla se puskee ja pyörittää materiaa. Realistina kuitenkin totesin itsekin ettei se ehkä noin helppoa ole, heh.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Sitten tuo alkoi vaikuttaa niiltä aikaisempien keskusteluiden pääsäiekimppujutuilta ja niinpä riensin etsimään selostusta, jossa Maxvellin kenttä kuvataan pääsäiekimpun P(M, SO(1,3) konnektiona ω (M Minkowskiavaruus) , mutta ei löytynyt sellaista.

Mutta se löytyi, jossa tuo konnektiosta laskettu muoto oli tavallinen 2-muoto Minkowskiavaruudessa M, symmetriaryhmänä G=U(1) ja kaarevuusmuotona F = D ω, mutta tässä tuo Lie-algebra oli vain reaaliakseli ℝ eikä mitään "hohdokasta", kuten tuo so(1,3) olisi ollut. Tämä aihe pitäisi joskus lienee herättää henkiin ja tehdä sellainen superperusteellinen kertaus. next summer perhaps?

Kyllä vaan, herätellään se henkiin jossain vaiheessa. Jäi aikanaan vähän niinkuin vaiheeseen.

Jup, Maxwellin teoriassa tuo mittasymmetria on varsin yksinkertainen, jonka kohdistuu potentiaaliin Aᵤ → Aᵤ + ∂ᵤ g(x), joka on isomorfinen U(1) symmetrian kanssa. Mittasymmetria ei vaikuta fysikaalisiin kenttävoimakkuuksiin, jotka näkyvät siis kenttätensorissa Fᵤᵥ(x) ja ovat havaittavissa fysikaalisesti. Lisäksi vielä tuo Fᵤᵥ on dynaaminen objekti, jonka arvot riippuvat systeemistä varauksineen ja virtoineen, joten haastava tulkita ryhmän tai algebran alkiona. Se itsekin muuntuu F'ᵘᵛ = Λᵘᵧ Λᵛᵦ Fᵞᵝ siten, että havaittava fysiikka säilyy Lorentz-symmetrisenä. Jos tuo mun maalailema Fᵘᵥ olisi symmetrian generaattori, niin tässä olisi jotenkin puurot ja vellit sekaisin.

Tosin sähkömagneettinen energia-liikemäärätensori Tᵘᵛ johdetaan Poincare-symmetriasta, ja sen divergenssi voidaan kirjoittaa siten, että mukana on materiaan vaikuttava Lorentzin voima: ∂ᵥ Tᵘᵛ + gᵞᵝ fᵦ = 0. Tuossa fᵦ on materiaan kohdistuva Lorentzin voima yksikkötilavuutta kohti.

Nämä kaikki tensorit kietoutuvat toisiinsa ties miten, joten ei ihme, jos löytyy hämmästyttäviä kommutointeja matriiseiksi tulkittujen tensorien kesken :)

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Pitkään ihmeteltyäni saamaasi tulosta  tulin tulokseen että käsittääkseni nuo merkit  generaattoreille tulevat samoiksi kuin Lorentz-muunnoksten generaattoreiden ,  koska minkä tahansa antisymmetrisen tensorin  Hᵘᵛ indeksin laskussa saadaan Hᵘᵥ ja kun  tähän tekee tuon mitä  teit yllä eli allaolevaa soveltaa vaan suoraan tensoriin Hᵘᵥ:

QS kirjoitti:

Nimetään matriisitmuodot M₁, M₂, M₃, L₁, L₂ ja L₃. Esim. M₁:ssä vain B₁ = 1, muut E = B = 0. M₂:ssa vain B₂ = 1, L₂:ssa vain E₂ = 1. Kuvan avulla selvempi, eli tavallaan muokataan Fᵘᵥ infinitesimaaleja J- ja K generaattoreita vastaavaksi käyttäen komponentteja E=1 ja B=1. Näille matriisimuodoille saadaan kommutoinnit

[ Mᵢ, Mⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Mᵣ
[ Mᵢ, Lⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Lᵣ
[ Lᵢ, Lⱼ ] = -εᵢⱼᵣ Mᵣ,

missä i, j, r ∈ {1, 2, 3}.

eli tossa nuo generaattorit antavat automaattisesti nuo Lien algebran so(1,3) komponentit eli oleellista on tuon tensorin Hᵘᵛ tai Fᵘᵛ antisymmetrisyys. Silloin tuo on matemaattisesti ihan sama lasku kuin Lorentz-ryhmän alkuperäinen generaattoreiden määräys, jossa esiintyi jotain tyyliin ( Jᵘᵛ)ᵝᵧ ja  ( Jᵘᵛ)ᵧᵦ, missä Jᵘᵛ oli niitä Lorentz-muunnoksen generaattorimatriiseja, joista muoto ( Jᵘᵛ)ᵧᵦ on antisymmetrinen indekseissa (βγ).

Tuon tapaan, voi puljata tuon indeksin noston noihin generaattoreihin operoivaksi ja se muuttaa merkit "translaatioiden" osalta mutta jättä rotaatiot antisymmetriseksi.

Totta! Lopulta kyse siis lähes numerologisesta sattumasta, joka vaan näyttäytyi sopivasti.

QS
Seuraa 
Viestejä5332

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Sitten tuo alkoi vaikuttaa niiltä aikaisempien keskusteluiden pääsäiekimppujutuilta ja niinpä riensin etsimään selostusta, jossa Maxvellin kenttä kuvataan pääsäiekimpun P(M, SO(1,3) konnektiona ω (M Minkowskiavaruus) , mutta ei löytynyt sellaista.

Mutta se löytyi, jossa tuo konnektiosta laskettu muoto oli tavallinen 2-muoto Minkowskiavaruudessa M, symmetriaryhmänä G=U(1) ja kaarevuusmuotona F = D ω, mutta tässä tuo Lie-algebra oli vain reaaliakseli ℝ eikä mitään "hohdokasta", kuten tuo so(1,3) olisi ollut.

Kertasin hiukan vuoden takaisia juttuja. Tuo mitä kirjoitit, on täysin totta.
Maxwellin potentiaali A on pääsäiekimpun P( M, U(1) ) konnektio 1-muoto A = ω ∈ Ω¹(P), ja A on siis Lien algebra-arvoinen 1-muoto. Lien algebra tässä g = u(1).

Kenttävoimakkuus F on tuon konnektion A kaarevuus, joka määritellään 1-muodon ulkoisena kovarianttina derivaattana F = Dω = dω + ω Λ ω = dA + [A Λ A], missä lopuksi d on tavallinen ulkoinen derivaatta. Tietysti U(1) on abelinen, jolloin [A Λ A]=0, ja F on yksinkertaisesti Maxwellin potentiaalin ulkoinen derviaatta F = dA ∈ Ω²(P). Tässä edelleen F on g-arvoinen 2-muoto.

Sekä A ∈ Ω¹(P) että F ∈ Ω²(P) ovat pääsäiekimpun objekteja. Ne siirretään monistoon M sektion σ avulla pullbackinä σ*. Monistossa M potentiaali A = σ* ω ∈ Ω¹(M) ja kenttäoimakkuus F = σ* (dA) ∈ Ω²(M). Nuo ovat monistossakin (ei vain pääsäiekimpussa P) edelleen g-arvoisia 1- ja 2-muotoja. Ja tosiaan g = u(1) eikä so(1,3), joka kumoaa mun väitteen F ≈ SO(1,3), kuten totesitkin.

Moniston M koordinaatistokuvauksessa F = Fᵤᵥ(x) = ½ Fᵤᵥ(x) ( dxᵘ Λ dxᵛ ) = ½ Fᵤᵥ(x) ( dxᵘ ⊗ dxᵛ - dxᵛ ⊗ dxᵘ ) = ∂ᵤAᵥ(x) - ∂ᵥAᵤ(x), joka on antisymmetrinen 2-muoto, toiselta nimeltään (0,2)-tensori.

Ryhmän SO(1,3) toiminta näihin 2-muotoihin F on geometrisesti ajatellen kait oma maailmansa, jota voisi penkoa kunhan jatketaan mittakenttien geometriaa. Samoin koordinaatistokuvausta voisi penkoa tarkemmin, koska mulle ei kaikilta osin ihan selvää. Varsinkin ei-abelisissa tapauksissa Lie-algebra-arvoisuus näkyy koordinaatistossakin.

QS
Seuraa 
Viestejä5332

Ajan kuluksi hiukan kvanttimekaniikan ryhmäteoriaa. Heisenbergin ryhmä on saanut nimensä kvanttimekaniikan paikka- ja liikemääräoperaattorien X ja P kommutaattoreista, jotka ovat ℝ³:ssa (ħ=1, i=imaginaariyksikkö, ᵢⱼ=alaindeksejä)

[ Xᵢ, Pⱼ ] = i δᵢⱼ, [ Xᵢ, Xⱼ ] = [ Pᵢ, Pⱼ ] = 0, missä kolmelle koordinaattiakselille indeksit i,j ∈ {1,2,3}.

X ja P ovat Heisenbergin Lien algebran generaattoreita. Vastaavasti spin-operaattorit S ovat Lien algebran su(2) generaattoreita

[ Sᵢ, Sⱼ ] = i εᵢⱼᵣ Sᵣ, missä i,j,r ∈ {1,2,3}.

Stonen teoreeman mukaan systeemin dynamiikkaa kuvaava yksiparametrinen unitaarinen ryhmä G muodostetaan joukosta unitaarisia Hilbertin avaruuden lineaarikuvauksia U(t):

G = { U(t): ℋ → ℋ | t ∈ ℝ,  U* U = Id_ℋ }.

Kukin ryhmään G kuuluva t:llä parametrisoitu U(t) on siis ℋ:n lineaarikuvaus. Ryhmä on abelinen ja ryhmäoperaatio kirjoitetaan U(a) ★ U(b) = U(a+b). Neutraalialkio U(0) = Id_ℋ. Operaattori U(t) on kuvaus neliöintegroituvien funktioiden joukossa, U: L²(ℝ³) → L²(ℝ³). Tässä siis ℋ = L²(ℝ³). Näihin L²-funktioihin liittyy paljon mielenkiintoisia yksityiskohtia, mutta ohitetaan tässä.

Teoreeman mukaan ryhmän alkion U(t) generaattori on Hilbertin avaruuden itseadjungoitu operaattori A: D_a → ℋ, missä määrittelyjoukko D_a ⊆ ℋ mahdollistaan sen, että A voi olla rajoittamaton. Operaattori U(t) saadaan eksponenttikuvauksella U(t) = exp( -itA ). U on rajoitettu operaattori, vaikka sen generaattorit A eivät olisikaan.

Hamiltonin operaattori H generoi aikakehitysoperaattorin U(t) Ψ = exp ( itH ) Ψ = Ψ_t. Liikemääräoperaattori P on generaattori translaatiolle U(a) = exp( -iaP ) Ψ  = exp( -ia(d/dx) ) Ψ  = Ψ(x-a). Paikkaoperaattori X ei generoi muutosta, vaan lisää vaiheen Ψ:n eteen: ( U(b) Ψ )(x) = exp ( -ibx )  Ψ(x).

Edellinen on melko selkeää, mutta S,X ja P ovat kvanttimekaniikan aksioomien mukaan myös Hilbertin avaruuden vektoreihin Ψ ∈ ℋ  kohdistuvia lineaarikuvauksia. Esimerkiksi spin-operaattorin

S: ℋ → ℋ,  Ψ ↦ S(Ψ)

määrittelyjoukko on koko avaruus ℋ  ja arvojoukko tuo sama ℋ.  Myös kommutaattori on lineaarioperaattori, esim

[ S₁, S₂ ]: ℋ → ℋ,  Ψ ↦ [ S₁, S₂ ](Ψ), joka voidaan kirjoittaa [ S₁, S₂ ](Ψ) = (S₁ S₂ - S₂ S₁)(Ψ) = S₁ S₂(Ψ) - S₂ S₁(Ψ).

Operaattorin S₁ ∘ S₂ - S₂ ∘ S₁ määrittelyjoukko on kaikille S:lle yhteinen ℋ.  Perättäisten operaattorien arvot ovat aina seuraavan operaattorin määrittelyjoukossa, esim. S₁(Ψ) ∈ ℋ  ja edelleen S₂(S₁(Ψ)) ∈ ℋ.  Tämä on itseadjungoitujen rajoitettujen operaattorien ominaisuus.

X ja P ovat kuitenkin rajoittamattomia operaattoreita, joiden määrittelyjoukko ei ole ℋ, vaan ℋ: n tiheä aliavaruus D ⊆ ℋ.  Operaattorit X: D_x → ℋ ja P: D_p → ℋ  voivat helposti olla sellaisia, että D_x ≠ D_p. Tällöin kommutointi [ X₁ , P₁ ] = X₁ ∘ P₁ - P₁ ∘ X₁ ei onnistu, koska X₁(Ψ) ∈ ℋ  voi tuottaa vektorin, joka ei ole P₁:n määrittelyjoukossa D_p. Tulos voi olla esim. funktio xΨ(x), joka ei ole joukossa L²(ℝ³), joten siihen ei voi operoida P:llä. Algebra [.,.] on näissä tilanteissa määrittelemätön. Noiden ongelmien ratkominen ei ole suoranaisesti ryhmäteoriaa, joten mainintana vaan tässä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2587

Huomenta, täällä on hieman sumua ulkona (ja päässä...)

QS kirjoitti:

Ajan kuluksi hiukan kvanttimekaniikan ryhmäteoriaa. Heisenbergin ryhmä on saanut nimensä kvanttimekaniikan paikka- ja liikemääräoperaattorien X ja P kommutaattoreista, jotka ovat ℝ³:ssa (ħ=1, i=imaginaariyksikkö, ᵢⱼ=alaindeksejä)

[ Xᵢ, Pⱼ ] = i δᵢⱼ, [ Xᵢ, Xⱼ ] = [ Pᵢ, Pⱼ ] = 0, missä kolmelle koordinaattiakselille indeksit i,j ∈ {1,2,3}.

X ja P ovat Heisenbergin Lien algebran generaattoreita.


Olin juuri eilen aamulla (!) lukemassa eräästä kirjastani tästä Heisenbergin algebrasta ja ryhmästä: miksi ne ovat määritelty ja mitä niillä sitten tekee. Olen toki aikaisemminkin tormännyt noihin, mutta en ole koskaan selvitellyt itselleni mitä nuo oikein ovat, paitsi sitten juuri eilen.

Heisenbergin Lie algebra ( = HLA) ja ryhmä ( = HLG) voidaan määritellä useassa eri dimensiossa, fysiikassa tuo dimensio tulee usein näköjään faasiavaruuden dimensiosta. Yksinkertaisin HLG on 3-ulotteinen Lien ryhmä H(3) vastaten faasiavaruutta M ={(p,q)| p,q∈ℝ }, joka tuossa kuvan matriisissa vastaa arvoa n=1 eli kuvan Iₙ on nxn-yksikkömatriisi eli luku 1 ja n-vaakavektori a on lukua ja n-pystyvektori b on luku b. Vastaava Lien algebra h(3) saadaan kun tuossa kuvassa nuo ykköset ja yksikkömatriisi korvataan nollilla.

h(3):n alkio h riippuu siis  kolmesta parametrista a,b,c, siis h=h(a,b,c) ja asetetaan:

X = h(1,0,0)
Y = h(0,1,0)
Z = h(0,0,1).

Nämä toteuttavat kommutaatiosäännöt:

[X,Z] = [Y,Z] = 0 ja [X,Y] = Z.

Hmm, ensinäkemältä tuo ei näytä kvanttimekaniikalta ollenkaan, mutta nyt voidaankin rakentaa algebralle h(3) ja ryhmälle H(3) esitys ääretönulotteisessa avaruudessa ℋ  = L²(ℝ) , mutta siitä sitten seuravassa viestissä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2587

jatkuu.. Kuva on kaapattu Wikipedian Heisenberg ryhmää käsittelevästä artikkelista.

HLA:lle voidaan rakentaa esitys Hilbert-avaruuden  ℋ = L²(ℝ) operaattorien joukossa L(ℋ), mä sivuutan myös kaikki tekniset määrittelyongelmat tässä. Tuo esitys on ääretönulotteinen Lie algebran h(3) redusoitumaton esitys (en osaa perustella)

HLA:n h(3) esitys  𝜋: h(3)  → L(ℋ) asettamalla kun Ψ ∈ ℋ  :

𝜋(X)Ψ(q) = - i q Ψ(q) = -iQΨ(q)
𝜋(Y)Ψ(q) = - d/dqΨ(q) = -i (-i d/dq ) Ψ(q)= -i P Ψ(q).
𝜋(Z)Ψ(q) = - i Ψ(q).

Tuossa on siis asetettu ne määritelmät P = -i d/dq ja Q = -i q ja viimeisenä 𝜋(Z) = - i Id, missä Id on  ℋ:n identiteettioperaattori. Tuo esitys 𝜋: h(3)  → L(ℋ) on ääretönulotteinen Lie algebran h(3) redusoitumaton esitys (en osaa perustella) ja nyt tuosta h(3):n esityksesta saadaan ne operaattoreiden P,Q ja Id  kanoniset kommutaatiosäännöt:

[P,Id] = [Q,Id] = 0 ja [P,Q] = - i Id.

Vastaava HLG:n esitys näkyy tossa Wikipediasta napatussa kuvakaappauksessa, siinä on mukana tuo Planckin vakio.

Jotenkin jännää, että kvanttimekaniikan fundamenttaalit kommutaatiosäännöt voidaan antaa jonkun random Lien algebran h(3) esityksinä (tai yleisemmin algebran h(2n+1) esityksinä)

Jos se faasiavaruus olisi ollut 2n-ulotteinen, olisi h(3):n ja H(3):n sijasta tarkasteltu ensin HLA:n ja HLG:n määritteleviä esityksiä (n+2)x(n+2)-matriiseina ja samaan tapaan olisi päädytty antamiisi kaltaisiin kommutaattoreihin.

QS kirjoitti:

Stonen teoreeman mukaan systeemin dynamiikkaa kuvaava yksiparametrinen unitaarinen ryhmä G muodostetaan joukosta unitaarisia Hilbertin avaruuden lineaarikuvauksia U(t):

G = { U(t): ℋ → ℋ | t ∈ ℝ,  U* U = Id_ℋ }.

Kukin ryhmään G kuuluva t:llä parametrisoitu U(t) on siis ℋ:n lineaarikuvaus. Ryhmä on abelinen ja ryhmäoperaatio kirjoitetaan U(a) ★ U(b) = U(a+b). Neutraalialkio U(0) = Id_ℋ. Operaattori U(t) on kuvaus neliöintegroituvien funktioiden joukossa, U: L²(ℝ³) → L²(ℝ³). Tässä siis ℋ = L²(ℝ³). Näihin L²-funktioihin liittyy paljon mielenkiintoisia yksityiskohtia, mutta ohitetaan tässä.


Juuri näin tuo menee,  Tuossa on tosiaankin mukana jonkinlaisia teknisiä olettamuksia.

Tuo Stonen lause riityy myös noihin HLG:n esityksiin, tuo kuvan esitys on lauseen mukaan oleellisesti yksikäsitteinen redusoitumaton ääretönulotteinen esitys ryhmälle h(2n+1) eli kopsattuna Wikipediasta:

The key result is the Stone–von Neumann theorem, which states that every (strongly continuous) irreducible unitary representation of the Heisenberg group in which the center acts nontrivially is equivalent to Π_ ℏ for some ℏ.

Tuossa viitataan Heisenbergin ryhmän keskukseen (center ), joka on niiden ryhmän alkioiden joukko Z(entrum), jotka kommutoivat kaikkien ryhmän alkioiden kanssa. Lie algebrassa h(3) ei kai ole suoraan määritelty keskusta  noin, mutta analogisesti voisi ajatella sen olevan:  keskus(h(3)) = span{X,Y}. En tiedä, pitääpä pohtia.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2587

kommentoin omaa viestiäni:

SIJ kirjoitti:

Wikipediasta:

The key result is the Stone–von Neumann theorem, which states that every (strongly continuous) irreducible unitary representation of the Heisenberg group in which the center acts nontrivially is equivalent to Π_ ℏ for some ℏ.

Tuossa viitataan Heisenbergin ryhmän keskukseen (center ), joka on niiden ryhmän alkioiden joukko Z(entrum), jotka kommutoivat kaikkien ryhmän alkioiden kanssa. Lie algebrassa h(3) ei kai ole suoraan määritelty keskusta  noin, mutta analogisesti voisi ajatella sen olevan:  keskus(h(3)) = span{X,Y}. En tiedä, pitääpä pohtia.

Menipäs väärin päin, h(3):n keskus Z(h(3)) = span (Z), missä nyt Z = h(0,0,1). Valitettavasti myös keskukselle käytetään merkintää Z, mutta siinä on sisällä se ryhmä/algebra eli Z(G) tms.

Yleisesti ryhmälle tai algebralle tai Lien algebralle voidaan määritellä keskus;

- Lien algebran g keskus Z(g) = {a∈g | [a,b] = 0 kaikilla b }

- (Lien) ryhmän G keskus  Z(G) = {a∈G | ab = ba kaikilla b }

Ilmeisesti myös yleisemmän Heisenbergin algebran g(2n+1) keskus on tuo Z =h (0,0,0,0,,....,0,1) ja myös Heisenbergin ryhmälle H(2n+1).  Tuossa siis määritellään 2n+1 parametrista a ja b ja c riippuva matriisi h(a, b, c), kuten siinä Heisenbergin ryhmän määrittelevässä kuvassa.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5332

Meinasi mennä mulla n:t ja dimensiot solmuun, joten selvittelin itselleni tämänkin, koska Heisenbergin ryhmä ei mullekaan tuttu muuta kuin mainintoina jossain. Kuvassa HLA:n generaattori hiukan eri muodossa, ja sen matriisieksponettina saatava HLG-matriisi.

Tuossa p,q ∈ ℝ¹ ja c ∈ ℝ, jotka ovat faasiavaruuden vektoreita. Fysikaalista avaruutta ℝ¹ vastaava faasiavaruuden dimensio on 2n = 2x1 = 2. Generaattorimatriisi on (n+2)x(n+2) = 3x3 matriisi. Kyseessä siis 2n+1 ulotteinen Lien algebra h(2n+1) = h(3). Jos asettaa sun notaatiossa vihjaavasti X=Q paikka, ja Y=P liikemäärä, on algebra [ Q, P ] = Z ja [Q,Z] = [P,Z] = 0.

Kun p,q ∈ ℝ³ (ja tuo mystinen c ∈ ℝ), on faasiavaruuden dimensio 2n = 2x3 = 6 ja vastaava generaattorimatriisi (3+2)x(3+2) = 5x5 matriisi. Tässä tapauksessa Heisengergin Lien algebra on h(2n+1) = h(7). Vastaavan 5x5 HLG-matriisin yläkulma c+½pq olisi tässä tapauksessa c + ½( p₁q₁ + p₂q₂ + p₃q₃). Generaattoreita P on 3kpl, Q:ta 3 kpl ja vain yksi Z-generaattori riippumatta n:stä.

Jos palataan kuitenkin h(3):een. Nuo q ja p voidaan yhdistää ℝ²-vektoriksi, jolloin vektoriavaruus h(3) on 2-ulotteisen pystyvektorin (q,p)ᵀ ja 1-ulotteisen vektorin c suora summa ℝ² ⊕ ℝ. Lien sulut voidaan kirjoittaa

[ ( (q,p)ᵀ, c ), ( (q',p')ᵀ, c' ) ] = ( (0,0)ᵀ, qp' - pq' ) = ( (0,0)ᵀ, q·p' - p·q' ), missä · on ℝ²-vektorien pistetulo.

En tiedä saako tuosta selvää, mutta kommutoitavat vektorit ovat pystyvektorin (q,p)ᵀ ja 1-ulotteisen vektorin c suoria summia.

Yleisessä muodossa (kolmen generaattorin P,Q,Z toimiessa kantavektoreina) h(3)-generaattorien Lien sulut voidaan kirjoittaa myös [p P + q Q + c Z, p' P + q' Q + c' Z] = (qp' - q'p)Z.

Noissa Lien suluissa erikoisuus, että "Lien sulut kommutoivat keskenään", jolloin BCH kaava yksinkertaistuu muotoon exp(A) exp(B) = exp( A + B + ½[A,B] ). Tässä siis BCH kaavassa generaattorit A, B ja C ja exp(A) jne ovat HLG:n alkioita.

Kaavasta saadaan suoraan HLG:n ryhmäoperaatio (p, q, c) ★ (p', q', c') = (p+p', q+q', c + c' + ½(qp' - q'p) ).

Ai niin ja Z tosiaan kommutoi kaikkien generaattorien kanssa, kuten totesitkin: keskus Z(G) = {a∈G | ab = ba ∀ b∈G }.

No tämä oli tällaista sattumanvaraista selvittelyä, ei tuosta mitään erityistä nyt irronnut. Erikoinen ryhmä kyllä. Pitäisi ehkä syventyä tuohon Schrödinger-representationiin syvemmälle jotta ymmärtäisi jutun jujun. Käsittääkseni HLG ei kuvaa suoraan kvanttimekaniikan mitään symmetriaa, koska mikään tilavektori ei ole invariantti ryhmän toimiessa.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat