Sivut

Kommentit (8989)

JPI
Seuraa 
Viestejä28039

PPo kirjoitti:
Ei aivan tavanomainen trigonometrinen yhtälö

cosx +cosy- cos(x+y)=3/2

Tuntemattomia enemmän kuin yhtälöitä, mutta ei hätää.

Sopivalla muuttujan vaihdolla yhtälö voidaan saattaa muotoon A^2+B^2=0, josta saadaan yhtälöpari A=0 ja B=0, joista voidaan ratkaista x ja y.

Tässä jälleen sohvalla lötkötellen ilman paperia ja kynää tuota pähkäilin.
Arvays: x=arccos(u), y=arccos(v) tai toinen arcsin ...

3³+4³+5³=6³

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
JPI
Seuraa 
Viestejä28039

JPI kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Ei aivan tavanomainen trigonometrinen yhtälö

cosx +cosy- cos(x+y)=3/2

Tuntemattomia enemmän kuin yhtälöitä, mutta ei hätää.

Sopivalla muuttujan vaihdolla yhtälö voidaan saattaa muotoon A^2+B^2=0, josta saadaan yhtälöpari A=0 ja B=0, joista voidaan ratkaista x ja y.

Tässä jälleen sohvalla lötkötellen ilman paperia ja kynää tuota pähkäilin.
Arvays: x=arccos(u), y=arccos(v) tai toinen arcsin ...

Jos oletetaan, että ratkaisussa x=y,saadaan
2cos(x)-cos²(x)+sin²(x) =3/2
<=>
2cos²(x)-2cos(x)-1=-3/2
<=>
cos²(x)-cos(x)+1/4 = 0
<=>
(cos(x)-1/2)²=0
Siis cos(x) = 1/2
ja x=y = pi/3

3³+4³+5³=6³

PPo
Seuraa 
Viestejä14670

JPI kirjoitti:
JPI kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Ei aivan tavanomainen trigonometrinen yhtälö

cosx +cosy- cos(x+y)=3/2

Tuntemattomia enemmän kuin yhtälöitä, mutta ei hätää.

Sopivalla muuttujan vaihdolla yhtälö voidaan saattaa muotoon A^2+B^2=0, josta saadaan yhtälöpari A=0 ja B=0, joista voidaan ratkaista x ja y.

Tässä jälleen sohvalla lötkötellen ilman paperia ja kynää tuota pähkäilin.
Arvays: x=arccos(u), y=arccos(v) tai toinen arcsin ...

Jos oletetaan, että ratkaisussa x=y,saadaan
2cos(x)-cos²(x)+sin²(x) =3/2
<=>
2cos²(x)-2cos(x)-1=-3/2
<=>
cos²(x)-cos(x)+1/4 = 0
<=>
(cos(x)-1/2)²=0
Siis cos(x) = 1/2
ja x=y = pi/3

x=π/3+n*2π ja y=π/3+n*2π todellakin ovat yhtälön ratkaisuja.

Se, että nämä ovat ainoat ratkaisut, on hieman vaikeampi osoittaa, mutta onnistuu sopivalla muuttujanvaihdolla.

PPo
Seuraa 
Viestejä14670

PPo kirjoitti:
JPI kirjoitti:
JPI kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Ei aivan tavanomainen trigonometrinen yhtälö

cosx +cosy- cos(x+y)=3/2

Tuntemattomia enemmän kuin yhtälöitä, mutta ei hätää.

Sopivalla muuttujan vaihdolla yhtälö voidaan saattaa muotoon A^2+B^2=0, josta saadaan yhtälöpari A=0 ja B=0, joista voidaan ratkaista x ja y.

Tässä jälleen sohvalla lötkötellen ilman paperia ja kynää tuota pähkäilin.
Arvays: x=arccos(u), y=arccos(v) tai toinen arcsin ...

Jos oletetaan, että ratkaisussa x=y,saadaan
2cos(x)-cos²(x)+sin²(x) =3/2
<=>
2cos²(x)-2cos(x)-1=-3/2
<=>
cos²(x)-cos(x)+1/4 = 0
<=>
(cos(x)-1/2)²=0
Siis cos(x) = 1/2
ja x=y = pi/3

x=π/3+n*2π ja y=π/3+n*2π todellakin ovat yhtälön ratkaisuja.

Se, että nämä ovat ainoat ratkaisut, on hieman vaikeampi osoittaa, mutta onnistuu sopivalla muuttujanvaihdolla.

Unohtui etumerkit

Kaikki ratkaisut ovat x=±π/3+n*2π ja y=±π/3+n*2π

Kosinihan on parillinen funktio.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat