Seuraa 
Viestejä13

"Jos (G1,∗) ja (G2,◦) ovat ryhmiä. Kuvaus f : G1 → G2 on ryhmähomomorfismi, jos kaikille g,h∈G1 f(g∗h)=f(g)◦f(h)".

On totta, että ryhmien välinen kuvaus, joka säilyttää ryhmäoperaation, säilyttää automaattisesti neutraali elementit. Mikä on syy sille, minkä takia neutraalielementtiin liittyvä vaatimus ryhmän esitysteoriassa on usein pudotettu.
Jos minä tiedän että g:n aktio [action] (g ∈ G). hom(V, W) :ssa on kääntyvä [invertible](siten että se on ryhmän GL(hom(V, W))) elementti, niin meillä ei olisi ongelmaa. Mutta kuinka minä näytän että kyseinen aktio on kääntyvä?
Liitteenä kuva alkuperäisestä kysymyksestä ja vastausyrityksestäni. (Kysymys numero 2)

Kommentit (3)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2936

Huomenta, hyvä kyssäri. Tuota pitikin ihmetellä, että mitä siinä oikein tapahtuu. Antamasi ryhmän G toiminta avarudessa Hom(V,W) on määritelty kaavalla:

(gφ)(v) = g(φ(gˉ¹ v))

Nyt siis oletuksen mukaan φ∈Hom(V , W) ja kuvaus φ→ gφ on se ryhmän G esitys avaruudessa Gl(Hom(V,W)). Tai toisin merkiten Π:G→Gl(Hom(V,W)), Π(g)v = g(φ(gˉ¹ v)).

Jasuji kirjoitti:

Jos minä tiedän että g:n aktio [action] (g ∈ G). hom(V, W) :ssa on kääntyvä [invertible](siten että se on ryhmän GL(hom(V, W))) elementti, niin meillä ei olisi ongelmaa. Mutta kuinka minä näytän että kyseinen aktio on kääntyvä?

Mun mielestä antamasi kuvauksen  φ→ gφ käänteiskuvaus on φ→ gˉ¹φ tai aukikirjoitetuna ( gˉ¹φ)(v) =  gˉ¹(φ(g v)) tai Π(gˉ¹)v =gˉ¹(φ(g v)), eikös tuo täytä vaatimukset? Tuolla tavalla siis jokaisella ryhmän G alkion g esityksellä Π(g) on käänteiskuvaus Π(g)ˉ¹ = Π(gˉ¹).

Palstalla on myös toinen ryhmien esitysteoriaa käsittelevä ketju, nimimerkki QS:n avaama:

https://www.tiede.fi/keskustelu/72864/ryhmateoriaa-ja-ryhmien-esitysteoriaa

Tuossa ketjussa on ryhmäteoriaa käsitelty lähinnä fysiikan tarpeisiin, mutta on siellä joskus ollut jotain ihan puhdasta matikkaakin.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5672

Mietin vaan, että kun kirjoitit Hom(V,W) = {Φ:V->W lineaarinen}, mikä siis tarkoittaa, että lineaarikuvaus Φ on vektoriavaruuksien V ja W homomorfismi, niin mielestäni ryhmän G elementin g toiminta on jo määritelmällisestikin kääntyvä, koska homomorfismi.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat