Sivut

Kommentit (47)

QS
Seuraa 
Viestejä5672

Pöljä minä. En laskenut loppuun asti kiihtyvyyden komponentteja. Ne ovat

aᵝ = vᵝ Dᵦ vʳ = -rV²
aʳ = vʳ Dᵣ vᵝ = 0

Mutta nämä ovat väärin päin. Radiaalikiihtyvyyden aʳ  pitäisi -rV² ja aᵝ pitäisi olla nolla. Missä teen virheen?

Eusa
Seuraa 
Viestejä18382

QS kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Olin tässä aikaisemmin saunassa infernaalisessa löylyssä ja sen jälkeen nauttinut muutaman virvokkeen toipuakseni. Siksi vaan ihan pikaisesti heitän muutaman ajatuksen (jotka voivat olla haparoivia, johtuen löylystä...)

QS kirjoitti:

Tässä (r,θ)-kartassakin on luukku avaamatta. Kuten jpi ihmetteli, kiihtyvyysvektori on hukassa. Mukana on keskeisvoima josta seuraa pyörimisliike, mutta voima jätettävä taustalle hetkeksi, kun vaatii sen symplektisen moniston - ehkä se myöhemmin. Ilman voimavektoriakin (tai siis 1-muotoa,heh) geometriasta seuraa keskeiskiihtyvyys, joka mun alkuperäisen päätelmän mukaan oli kadonnut.

Mutta ei me nyt tuotu kiihtyvyysvektoria monistosta alas karttaan, vaan tehtiin päätelmä pelkäsään kartan perusteella. Hmm ;)


Asia on käsittääkseni juuri näin. Tässä olet asian ytimessä.

Mulla tuli mieleen se, että meillä ei taida olla tuo systeemi ihan hyvin määritelty, ainakaan fysikaalisesti. Nyt meillä on vain kaksi koordinaatistoa: (x,y) ja (r,θ). Kuitenkaan koordinaattien (r,θ) luonnetta ei ole mitenkään määrätty, ne voidaan uudelleen nimetä vaikka (X,Y) koordinaateiksi ja mikään ei estä tulkitsemasta XY-koordinaatteja ihan tavalliseksi karteesiseksi koordinaatistoksi, missä liike tapahtuu vakionopeudella pitkin Y-akselia, kun X pysyy vakiona. Ei ole mitään takeita, että annettu koordinaatisto (r,θ) ei olisi ihan tavallinen suorakulmainen koulukoordinaatisto, nuo termit (r,θ) ovat vain nimiä, jotka viittaavat napakoordinaatistoon.

Tässä mielestäni puuttuu se fysiikka kokonaan, meillä ei ole sitä liikeyhtälöä annettuna ollenkaan, on vain kaksi koordinaatiston kartaa, joilla on toki houkuttelevia nimiä. Siksi tarvitaan Lagrangen funktio monistolla M, josta voidaan johtaa liikeyhtälöt. Koska liike oli oletetusti ympyräliikettä, voidaan olettaa, että liikkeen aiheuttaan keskeisvoima , jonka potentiaali on V = V(r) ja käyttäen tätä saadaan Lagrangen funktio  ( (r,θ)-koordinaateissa):

L(r, r', θ, θ') =  ½(r')² + ½ r² (θ')² - V(r).

Liikeyhtälöiksi saadaan:

r'' - r(θ')² =  -∂V/∂r
θ'' + 2/r r'θ' = 0.

Ympyräradalla r' = r'' = 0 ja θ'' = 0, jolloin yhtälöt surkastuvat muotoon:

- r(θ')² =  - ∂V/∂r.

Yhtälön oikea puoli edustaa yleistyn voiman r-komponenttia jaettuna massalla m, joka on sama kuin radiaali kiihtyvyys a_r (tässä tapauksessa) eli:

a_r = - r(θ')² =  - ∂V/∂r.

Koska r > 0 ja (θ')² > 0, on radiaalikiihtyvyys a_r suunnattu kohti origoa, OK.

Tämäkään lasku ei ihan ensinäkemältä todista, että käytetyt koordinaatit ovat oikeita napakoordinaatteja, mutta sen voi uskotella itselleen huomaamalla Lagrangen funktion liike-energiatermin olevan juuri napakoordinaatistossa lasketun liike-energian lausekkeen. Tarkemmin tarkastellen liike-energia tulee metrisen tensorin lausekkeesta ja tuo Lagrangen lauseke juuri napakoordinaatiston metrisen tensorin määräämä.

Jotenkin tälleen voisi ajatella tuo kinematiikan liittää fysiikkaan tms. Nyt täytyy kuitenkin keskittyä saunavirvokkeisiin.

Laskit täysin oikein keskeiskiihtyvyyden Lagrangen funktiosta, ja sieltä se ilmestyy. 

Silti mua häiritsee tässä esimerkissä se, että keskeiskiihtyvyys on kinemaattinen ilmiö, joten sen tulisi geometrisessa käsittelyssä näkyä myös ilman Lagrangen mekaniikkaa.

Foorumin takia notaationa tästä eteenpäin θ = β, eli (r,β)-taso. Aiemmin mainittu diag(1,1) metriikka ds² = dr² + dβ² vaikuttaa itsestään selvältä. Huomasin, että jossain aiemmassa viestissä ajatuksenvirtana sanoin, että rβ-tasossa ympyrä on neliö. Pinta-alaelementti olisi dA = √(det g) dr dβ = drdβ, ja A = ∫∫ dA = ∫∫ drdβ = 2πr ≠ πr². Metriikka diag(1,1) ei siis voi olla oikein...

Monisto M on paikallisesti ℝ² ja standardikoordinaateissa r-säteisen ympyrän pisteet p∈M voidaan kirjoittaa

p = f(t) = ( f¹(t), f²(t) ) = ( r cos(t), r sin(t) ) = (x,y).

Karttakuvauksella (U, φ) saadaan xy-taso, ja kuvauksella (V, ψ) saadaan rβ-taso:

(U, φ) = (ℝ², Id), missä φ = ( x(p) , y(p) ): U → ℝ². Tämä kuvaa p → ( x(p), y(p) ) = ( r cos(t), r sin(t) ) ortogonaalisessa kannassa {eₓ,eᵧ}.

(V, ψ) = (ℝ², ψ ), missä ψ = ( r(p) , β(p) ): V → ℝ². Tämä kuvaa p → ( r(p), β(p) ) = ( √(x²+y²) , arctan(y/x) ) = ( r, β(t) ) ortogonaalisessa kannassa {eᵣ,eᵦ}.

Tuosta näkee, että rβ-tason metriikka olisikin sama kuin napakoordinaatiston g=diag(1,r²). Tässä g:n komponentit gᵣᵣ = 1 ja gᵦᵦ = r².

Tasaisessa ympyräliikkeessä vakio r-säteisellä radalla nopeusvektorien komponentit ovat vʳ = (d/dt) r = 0 ja vᵝ = (d/dt) β(t) = β' = vakio V. Vektorina v = 0 eᵣ + V eᵦ, mikä vaikuttaisi kyllä oikealta rβ-tasossa.

Nollasta poikkeavat Christoffelin symbolit ovat Γʳᵦᵦ = -r ja Γᵝᵣᵦ = Γᵝᵦᵣ = 1/r. Nopeusvektorikentän v kovariantti derivaatta D lasketaan Dⱼ vᵃ = ∂ⱼ vᵃ + Γᵃⱼₑ vᵉ. Kovariantit derivaatat rβ-tasossa ovat
 
Dᵣ vʳ = ∂ᵣ vʳ + Γʳᵣₑ vᵉ = ∂ᵣ vʳ = 0
Dᵦ vʳ = ∂ᵦ vʳ + Γʳᵦₑ vᵉ = ∂ᵦ vʳ - r vᵝ = -rβ' = -rV
Dᵣ vᵝ = ∂ᵣ vᵝ + Γᵝᵣₑ vᵉ = ∂ᵣ vᵝ + (1/r) vᵝ = (1/r) β' = (1/r)V
Dᵦ vᵝ = ∂ᵦ vᵝ + Γᵝᵦₑ vᵉ = ∂ᵦ vᵝ + (1/r) vʳ = 0

Kaksi nollasta poikkeavaa ovat -rV ja (1/r)V.

Päättelisin kuitenkin, että pitäisi olla jotain (β')² = V² termejä. Enkä tajua mikä tässä on väärin, jos on väärin. Se hyvä puoli, että kiihtyvyysvektori näkyy nollasta poikkeava myös rβ-tasossa.


Mitäpä tässä auttaisi...

Keskeiskiihtyvyys on kineettinen ilmiö - koordinaatistokiihtyvyyttä voisi kutsua kinematiikaksi. Tuossa kohti saattoi jo ajattelu mennä nurinnarin.

Ehkä kannattaisi metriikka lausua triginometrisesti niin, että tulostuu karteesisena operaatioille?

Sitten kentän rajoitin (kiinteä säde) ja kenttäyhtälönä tässä pyörimisen liikeyhtälö.

Nousee vain kysymys: mitä viisautta tällä koordinaatistovalinnalla haettiinkaan? En hoksaa fundamentaalista ideaa...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
QS
Seuraa 
Viestejä5672

Eusa kirjoitti:
Nousee vain kysymys: mitä viisautta tällä koordinaatistovalinnalla haettiinkaan?

Ei sen suurempaa. Kehittelin vain päässäni epätavanomaisen koordinaatiston, jotta differentiaaligeometrian pähkinöitä voisi rouskutella. Geometria osoitti jo voimansa noutamalla karkumatkalle lähteneen kiihtyvyysvektorin takaisin kotiin.  (pl. joku mun laskuvirhe tai periaatevirhe noissa edellisissä viesteissä).

Eusa
Seuraa 
Viestejä18382

Onko tuo koordinaatistosi siis sellainen, että r määrittää pisteen x1 ja kulma on x2:n mukainen? Siis pinta (r,β) = taso (x1,x2) = taso (x1,x1*tanβ)? Kun sanoit, ettet tarkoita tavanomaista napakoordinaatistoa ja ympyrä kuvautuu (vino-)neliönä, niin ei se tuohon passaa...

Tuossa olisi singulariteettia kyllä haasteeksi. Täytyy katsoa se sun aksiooma.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä18382

QS kirjoitti:
Tuli mieleeni kiihtyvyydestä. Tarkastellaan moniston M = ℝ² funktiota f: ℝ -> M, jossa f(t) on vakiosäteisen tasanopeuksisen ympyräliikkeen rata. Pisteiden p = f(t) ∈ M tangenttiavaruuden alkiot ovat nopeusvektoreita f'(t) ∈ TpM.

Pisteisiin p voidaan varmastikin liittää myös kiihtyvyysvektorit f''(t) jo siitäkin syystä, että nollasta poikkeava keskeiskiihtyvyys on fysikaalisestikin mitattavissa.

(x,y)-koordinaatistoon kuvattuna f on r-säteinen ympyrä ja f' tangentin suuntainen nopeusvektori. Keskeiskiihtyvyys f'' osoittaa origoa kohti. Molemmat f' <> 0 ja f'' <> kaikilla t ∈ ℝ.

Kun f kuvataan karteesiseen (θ,r)-tasoon, jossa θ ja r ovat ortogonaalisia akseleita (eli x,y tilalle θ,r), on kyseessä suora f(t) = ( r, θ(t) ) joka leikkaa r-akselin pisteessä (0,r) ja etenee θ-akselin suuntaisesti. Nyt liikkuvan kappaleen nopeus f' <> 0 ja samalla vakio. Kiihtyvyys onkin nyt f'' = 0 kaikilla t ∈ ℝ.

Molemmissa kappale liikkuu, jälkimmäisessä erittäinkin fysikaalinen ja mitattavissa oleva f''=0. Erikoinen otus.


Jaha. Täällä alustusta. Siis r on vakio? Tuossakin näyttäisi olevan vahvaa epäjatkuvuutta, kun kulma θ on muuta kuin ]-pi/2, pi/2[... Vai pitikö kuitenkin olla neliö suoran sijaan?

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä18382

Nyt vasta viesti viestiltä lukien hiffasin, että kulma on ympyräliikkeen suhteen epälineaarisesti fluktuoiva tuolla suoralla - yksi kierros on siis janan pätkä ja kierros kierrokselta janat lyhenevät...

Jos ymmärsin sinne päinkään, ei vaikuta kauhean hyödylliseltä kylläkään. Voihan tuohon keskeisvoimaa vektorina kuvata, mutta senkin tulee kai jotenkin noudattaa samaa koordinaatistoesitystä - vaikealta vaikuttaa.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä5672

Arctan:in tilalle voi määritellä funktion arctan(x,y)= -i*log((x+iy)/√(x²+y²)), missä i on imaginaariyksikkö. Origo on edelleen singulaari, mikä yleinen napakoordinaattien ominaisuus.

Täsmällisesti ottaen kulman oltava avoimella välillä ]0,2π[  koska kantavektrien määrittelyyn tarvitaan kartan differentioituvuuden kaikkialla. Tuon saa kuntoon jonkinlaisella sulkeumalla, joka sisältää myös raja-arvon, ja kulma on sitten puoliavoin väli ]0,2π]. En tiedä nyt tarkasti miten tuo hoidetaan tarkasti.

Joka tapauksessa mekaniikassa voidaan tutkia esimerkiksi heiluria välillä [π/4, 3π/4], jolloin edellä mainitut ongelmat poistuvat. Karttahan on yleensä jokin moniston M avoin osajoukko U. Koko monistoa ei tarvitse kuvata karttaan.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18382

QS kirjoitti:
Arctan:in tilalle voi määritellä funktion arctan(x,y)= -i*log((x+iy)/√(x²+y²)), missä i on imaginaariyksikkö. Origo on edelleen singulaari, mikä yleinen napakoordinaattien ominaisuus.

Täsmällisesti ottaen kulman oltava avoimella välillä ]0,2π[  koska kantavektrien määrittelyyn tarvitaan kartan differentioituvuuden kaikkialla. Tuon saa kuntoon jonkinlaisella sulkeumalla, joka sisältää myös raja-arvon, ja kulma on sitten puoliavoin väli ]0,2π]. En tiedä nyt tarkasti miten tuo hoidetaan tarkasti.

Joka tapauksessa mekaniikassa voidaan tutkia esimerkiksi heiluria välillä [π/4, 3π/4], jolloin edellä mainitut ongelmat poistuvat. Karttahan on yleensä jokin moniston M avoin osajoukko U. Koko monistoa ei tarvitse kuvata karttaan.

Joo ei, mutta lähdit reaaliavaruudesta. Ja onhan se reunallinen monisto aika kiusallinen tapaus - ainakin jos sisältää ihan tylyä singulariteettia... Näyttää menevän upotushommiksi ja ehkä suunnattu reunattomuus tai suuntautumaton reunallisuus - joutuu valitsemaan premissejä lisää.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä5672

Unohtui sanoa, että funktiolla arctan(x,y) pääsee siis eroon funktion arctan(y/x) arvoista ]-π/2, π/2[, jos asian kokee tässä yhteydessä merkitykselliseksi. Itse en kokenut, siksi kirjoitin ihan vaan arctan(y/x)

QS
Seuraa 
Viestejä5672

Eusa kirjoitti:
QS kirjoitti:
Arctan:in tilalle voi määritellä funktion arctan(x,y)= -i*log((x+iy)/√(x²+y²)), missä i on imaginaariyksikkö. Origo on edelleen singulaari, mikä yleinen napakoordinaattien ominaisuus.

Täsmällisesti ottaen kulman oltava avoimella välillä ]0,2π[  koska kantavektrien määrittelyyn tarvitaan kartan differentioituvuuden kaikkialla. Tuon saa kuntoon jonkinlaisella sulkeumalla, joka sisältää myös raja-arvon, ja kulma on sitten puoliavoin väli ]0,2π]. En tiedä nyt tarkasti miten tuo hoidetaan tarkasti.

Joka tapauksessa mekaniikassa voidaan tutkia esimerkiksi heiluria välillä [π/4, 3π/4], jolloin edellä mainitut ongelmat poistuvat. Karttahan on yleensä jokin moniston M avoin osajoukko U. Koko monistoa ei tarvitse kuvata karttaan.

Joo ei, mutta lähdit reaaliavaruudesta. Ja onhan se reunallinen monisto aika kiusallinen tapaus - ainakin jos sisältää ihan tylyä singulariteettia... Näyttää menevän upotushommiksi ja ehkä suunnattu reunattomuus tai suuntautumaton reunallisuus - joutuu valitsemaan premissejä lisää.

arctan(x,y): R x R --> R.

Jos i funktion sisällä häiritsee, voit määritellä arctan(x,y) vaikka paloittan neljässä osassa, jolloin funktiossa esiintyy vain reaalilukuja. Pääasia, että on funktio, joka tuottaa sen halutun kulman väliltä ]0, 2*pi[.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2936

Iltaa,

QS kirjoitti:
Pöljä minä. En laskenut loppuun asti kiihtyvyyden komponentteja. Ne ovat

aᵝ = vᵝ Dᵦ vʳ = -rV²
aʳ = vʳ Dᵣ vᵝ = 0

Mutta nämä ovat väärin päin. Radiaalikiihtyvyyden aʳ  pitäisi -rV² ja aᵝ pitäisi olla nolla. Missä teen virheen?

Hehee, tuosta väärinpäin olemisesta ainakin päässee eroon, kun korjaa indeksit (!):

aʳ = vᵝ Dᵦ vʳ = -rV²
aᵝ = vʳ Dᵣ vᵝ = 0.

Nyt kummassakin yhtälössä yksi vapaa indeksi. Kummassakin summaus Einsteinin mukaan, mutta mä vielä vaihdan summausindeksin sekaannusten välttämiseksi:

aʳ = v ⁱ Dᵢ vʳ = -rV²
aᵝ = v ⁱ Dᵢ vᵝ = 0.

Tuo laskusi, jolla saat nuo kaavat,  on mielestäni suoritettu oikein, mutta siinä on joitain käsitteellisiä ongelmakohtia, koska tarkasti ottaen kovarianteja derivaattoja Dᵣ vʳ, Dᵦ vʳ, Dᵣ vᵝ ja Dᵦ vᵝ ei ole määritelty. Syynä on se, että vektori v on määritelty vain polulla r= vakio ja siksi ei edes osittaisderivaattoja voi määritellä.

Täytyisi käyttää vain annetulla polulla määritellyille objekteille soveltuvaa kovarianttia derivaatta, jonka määrittelyssä ei tarvita osittaisderivaattoja, Christofffelin symboleita tarvitaan kuitenkin.

Mä kirjoittelen myöhemmin, lisää koska tuossa kovariantissa derivoinnissa on paljon sellaista hienovaraista nysväämistä, esimerkiksi tuo laskusi on oikein vaikka periaatteessa et voisi laskea noin, koska ei ole käytettävissä osittaisderivaattoja.

Mutta, palaan asiaan varmaan viikonloppuna.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5672

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Iltaa,

QS kirjoitti:
Pöljä minä. En laskenut loppuun asti kiihtyvyyden komponentteja. Ne ovat

aᵝ = vᵝ Dᵦ vʳ = -rV²
aʳ = vʳ Dᵣ vᵝ = 0

Mutta nämä ovat väärin päin. Radiaalikiihtyvyyden aʳ  pitäisi -rV² ja aᵝ pitäisi olla nolla. Missä teen virheen?

Hehee, tuosta väärinpäin olemisesta ainakin päässee eroon, kun korjaa indeksit (!):

aʳ = vᵝ Dᵦ vʳ = -rV²
aᵝ = vʳ Dᵣ vᵝ = 0.

Nyt kummassakin yhtälössä yksi vapaa indeksi. Kummassakin summaus Einsteinin mukaan, mutta mä vielä vaihdan summausindeksin sekaannusten välttämiseksi:

aʳ = v ⁱ Dᵢ vʳ = -rV²
aᵝ = v ⁱ Dᵢ vᵝ = 0.

Totta, meitsi nolona hämmensi indeksit :). Kirjoittamasi muoto on oikea tapa lausua komponentit.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Tuo laskusi, jolla saat nuo kaavat,  on mielestäni suoritettu oikein, mutta siinä on joitain käsitteellisiä ongelmakohtia, koska tarkasti ottaen kovarianteja derivaattoja Dᵣ vʳ, Dᵦ vʳ, Dᵣ vᵝ ja Dᵦ vᵝ ei ole määritelty. Syynä on se, että vektori v on määritelty vain polulla r= vakio ja siksi ei edes osittaisderivaattoja voi määritellä.

Täytyisi käyttää vain annetulla polulla määritellyille objekteille soveltuvaa kovarianttia derivaatta, jonka määrittelyssä ei tarvita osittaisderivaattoja, Christofffelin symboleita tarvitaan kuitenkin.

Mä kirjoittelen myöhemmin, lisää koska tuossa kovariantissa derivoinnissa on paljon sellaista hienovaraista nysväämistä, esimerkiksi tuo laskusi on oikein vaikka periaatteessa et voisi laskea noin, koska ei ole käytettävissä osittaisderivaattoja.

Mutta, palaan asiaan varmaan viikonloppuna.

Osittaisderivaattojen määrittelemätömyys tuli mullakin, kun laitoin nuo postaukset. En jaksanut paneutua. Vastaa hiukan tilannetta, missä pistemäisen kappaleen 2d-ympyräradan roottori on määrittelemätön.

Mutta joo, kirjoita vaan tästä lisää. Odotan mielenkiinnolla miten probleema poistuu.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18382

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Tuo laskusi, jolla saat nuo kaavat,  on mielestäni suoritettu oikein, mutta siinä on joitain käsitteellisiä ongelmakohtia, koska tarkasti ottaen kovarianteja derivaattoja Dᵣ vʳ, Dᵦ vʳ, Dᵣ vᵝ ja Dᵦ vᵝ ei ole määritelty. Syynä on se, että vektori v on määritelty vain polulla r= vakio ja siksi ei edes osittaisderivaattoja voi määritellä.

Voidaan leipoa yleisempi kenttäyhtälö tensorein tuon pyörimisliikkeen aiheuttavalle vuorovaikutukselle olettaen, että se sileänä pätee muillekin kuin tuolle vakiosäteelle ja saada QS:n asetelma erikoistapauksena.

Yksittäisen reitin mallintaminen ilman lainalaisuuksia koko määrittelyavaruudessa lieneekin tässä se sudenkuoppa.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2936

Iltapäivää, tässä on ollut kiireitä ja en ole kerennyt tähän aikaisemmin vastaamaan.

QS kirjoitti:

Osittaisderivaattojen määrittelemätömyys tuli mullakin, kun laitoin nuo postaukset. En jaksanut paneutua. Vastaa hiukan tilannetta, missä pistemäisen kappaleen 2d-ympyräradan roottori on määrittelemätön.

Juuri näin. Ongelman ydin on se, että tuo vektori V on määritelty vain polulla x(t) siis x: I → M ja siten ei kovariantteja voi suoraan määritellä. Tämä on muuten sellainen kohta, jonka useat fysiikan kirjat käsittelevät enemmän ja vähemmän ylimalkaisesti. Katselin mitä kirjallisuus aiheesta kirjoittaa ja sain irti seuraavaa:

Alla merkintä D on varattu polulla määritellylle kovariantille derivaatalle ja  ∇:llä merkitään sitä mikä sinulla oli D.

Riemann-geometriassa tai Lorenz-geometriassa metriikka g määrää konnektio-operaation ∇:V(M) x V(M) → V(M), missä V(M) on moniston M vektorikenttien joukko (Joskus ∇  rajoitetaan osajoukon U⊂M operaattoriksi  ). Yleensä merkitään  ∇(X,Y) (tuossa X pitäisi olla ala-indeksi) ja tuo on nimeltään vektorikentän Y kovariantti derivaatta suuntaan X.

Tuo ylläoleva on melkoisen abstraktia, mutta konkreettisemmaksi asia muuntuu, kun määritellään konnektiokertoimet. Valitaan ensin joku lokaali koordinaatisto (U, x), jossa koordinaattikantavektorit Eᵢ = ∂ᵢ ja määritellään konnektiokertoimet kaavalla:

∇(Eᵢ , Eⱼ) =   Γᵏᵢⱼ Eₖ.

Konnektiokertoimet määräävät, miten derivoidaan. Vektorikentän V =  vᵏ Eₖ kovariantti derivaatta koordinaattikantavektorin ∂ᵢ suuntaan on (laskemisen jälkeen):

∇(Eᵢ , V) = ∂ᵢvᵏ Eₖ + Γᵏᵢⱼ vʲEₖ = (∂ᵢvᵏ + Γᵏᵢⱼ vʲ) Eₖ.

Usein myös merkitään:

∇ⱼ vᵏ =  ∂ᵢvᵏ + Γᵏᵢⱼ vʲ.

Jatkuu...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2936

Jatkoa edellisestä viestistä.

Nyt takaisin siihen polkuongelmaan. Jos siis  x: I → M on polku ja x'(t) on polun tangenttivektori. Pyritään siis määrittelemään polulla x määritellylle vektorikentälle v kovariantti derivaatta suuntaaan x'(t), annetulla t. Hawkingin kirjassa The Large Scale Structure of Space-time menetellään siten, että polulla x määritelty vektorikenttä v laajennetaan polun x johonkin ympäristöön U määritellyksi vektorikentäksi V eli V = V(p) määrittelee vektorikentän kaikilla p ∈ U. Nyt määritellään uusi kovariantti derivaatta D suuntaan x'(t) kaavalla (annetulla parametrin arvolla t):

Dv/dt = ∇(x'(t) ,V).

Nyt voidaan käyttää konnektio-operaattorin ∇:n ominaisuuksia ja esittää tuo lauseke komponenttimuodossa(laskun jälkeen ja huomaamalla, että polulla V(p) = v(t)):

DV/dt = dvᵏ/dt Eₖ + dxⁱ/dt vʲ Γᵏᵢⱼ Eₖ

tai komponenttimuodossa:

(DV/dt)ᵏ = dvᵏ/dt + dxⁱ/dt vʲ Γᵏᵢⱼ.

Nyt tuo ylläoleva on sellainen lauseke, joka voidaan asettaa suorastaan määritelmäksi, koska siinä oleva data sisältää vain vektorikentän v komponenttien ja polun tangenttivektorin x'(t) komponenttien arvoja. Se ei siis sisällä informaatiota siitä polulla x määritellyn vektorikentän v laajennuksesta polun ympäristöön U.

Polun kovariantin derivaatan ja kovariantin derivaatan välinen ratkaiseva yhtälö on juuri Dv/dt = ∇(x'(t) ,V). Se sitoo toisiinsa operaatiot D ja ∇.

Hieman ohueksi jää tuossa Hawkingin kirjan  jutussa tuo polun vektorikentän v laajentaminen polun x ympäristöön kentäksi V (miten se oikeasti tehdään), mutta kuten tuo lopputulos:

(DV/dt)ᵏ = dvᵏ/dt + dxⁱ/dt vʲ Γᵏᵢⱼ,

osoittaa, laajennuksen yksityiskohdat eivät vaikuta lopputulokseen.

Laajennuksista pääsee eroon vain olettamalla sellaisen olevan olemassa (!) ja laskemalla minkälaisen kaavan saisi ja sitten vain määrittelee saadun kaavan olevan se  DV/dt. Mun Riemann-geometrian kirja tekee juuri näin, eli ei tarvitse vedota mihinkään laajennuksen olemassaololauseeseen (joita on olemassa, siis lauseita). Kyllä matikka on ihmeellistä välillä!

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2936

Kirjoitusvirheiltä ei voi välttyä, kaikki kaavat yllä , jotka sisältävät merkinnän DV/dt pitää korvata kaavalla dv/dt, tämä notaatio on oikeampi kuin DV/dt, koska se osoittaa sen, että operaatio D kohdistuu polulla x määriteltyyn vektorikenttään v = v(t), eikä siihen laajennukseen V =V(p), p  ∈ U, missä U oli se V:n määrittely-ympäristö.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5672

Todettakoon, että amen.

Ja kirjoitetaan Newtonin laki polulla x(t) muotoon (D/dt) x'(t) = F(t) / m, missä D/dt on tuo täsmällisesti määritelty kovariantti derivaatta polkua x(t) pitkin. Vasen puoli on kiihtyvyysvektorikenttä ja oikea puoli voimavektorikenttä. Molemmat vektorikentät ovat moniston tangenttikimpun sektioita. Vektorikenttä F(t) on saatu kuvaamalla voiman 1-muodot pisteiden x(t) tangenttiavaruuksiin aiemmin esillä olleella muunnoksella.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2936

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Kirjoitusvirheiltä ei voi välttyä, kaikki kaavat yllä , jotka sisältävät merkinnän DV/dt pitää korvata kaavalla dv/dt, tämä notaatio on oikeampi kuin DV/dt, koska se osoittaa sen, että operaatio D kohdistuu polulla x määriteltyyn vektorikenttään v = v(t), eikä siihen laajennukseen V =V(p), p  ∈ U, missä U oli se V:n määrittely-ympäristö.

Pitäisi aina tarkastaa nämä omat jutut kirjoitusvirheiden ym. varalta. Tuossa yllä oli tarkoitus painottaa notaatioiden DV/dt ja Dv/dt välistä pientä eroa. Tuo jälkimmäinen olisi nyt painottanut sitä, että D/dt operoi lopulta siihen polulla x määriteltyyn vektorikenttään v eikä siihen laajennukseen V. Onnistuin sitten sössimään tuossa yllä totaalisesti koko jutun ja merkitsin siinä vahingossa dv/dt, kun tarkoitin tuota Dv/dt ( notaatio dv/dt on yleensä varattu sille "tavalliselle derivaatalle").

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18382

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Kirjoitusvirheiltä ei voi välttyä, kaikki kaavat yllä , jotka sisältävät merkinnän DV/dt pitää korvata kaavalla dv/dt, tämä notaatio on oikeampi kuin DV/dt, koska se osoittaa sen, että operaatio D kohdistuu polulla x määriteltyyn vektorikenttään v = v(t), eikä siihen laajennukseen V =V(p), p  ∈ U, missä U oli se V:n määrittely-ympäristö.

Pitäisi aina tarkastaa nämä omat jutut kirjoitusvirheiden ym. varalta. Tuossa yllä oli tarkoitus painottaa notaatioiden DV/dt ja Dv/dt välistä pientä eroa. Tuo jälkimmäinen olisi nyt painottanut sitä, että D/dt operoi lopulta siihen polulla x määriteltyyn vektorikenttään v eikä siihen laajennukseen V. Onnistuin sitten sössimään tuossa yllä totaalisesti koko jutun ja merkitsin siinä vahingossa dv/dt, kun tarkoitin tuota Dv/dt ( notaatio dv/dt on yleensä varattu sille "tavalliselle derivaatalle").


Mietinkin, että kovarianttia derivaattaahan tavoittelit. Korjaus ok.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä5672

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
...
x: I → M on polku ja x'(t) on polun tangenttivektori.

Tähän voisi kaivaa kaninkolon, jotta nopeusvektorikin saadaan mahdollisimman oudoksi otukseksi.

Tuossa I ja M ovat monistoja, joiden dimensio ei ole välttämättä sama. Vaikka ei olisikaan sama, voidaan tangenttikimppujen TI ja TM välille muodostaa pushforward- ja pullback-kuvaukset ('työntö','veto'), joilla vektorit muunnetaan kimppujen välillä. Pushforward on tangenttikimppujen välinen kuvaus

φ★: TI → TM, V → φ★(V),

missä φ★ kuvaa I:n pisteen p tangenttivektorin V ∈ TₚI monistoon M pisteen q tangenttivektoriksi φ★(V) ∈ TqM. Kuvauksella φ: I → M piste q lausutaan p:n funktiona q = φ(p) ∈ M.  

Pushforward φ★ määritellään siten, että vektorin φ★(V) operointi funktioon f ∈ C∞(M) tuottaa saman tuloksen kuin alkuperäisen vektorin V operointi funktioon (f ∘ φ). Toisin sanoen (φ★(V)) f := V (f ∘ φ). Funktiot ovat f: M → ℝ, φ: I → M ja (f ∘ φ): I → ℝ.
Tässä φ★ määritellään siis M:n ja I:n funktioiden f ja φ avulla, vaikka kyse on kimppujen välisestä kuvauksesta. Asian varmistamiseksi tulisi tosin uppoutua sektioihin, projektiokuvauksiin sekä säikeisiin TpI ja TqM.

Käytännön laskeminen tehdään kartassa, mutta I:llä ja M:llä on eri kartat (U, x(p) ) ja (S, y(q) ), missä p ∈ U ⊂ I ja q = φ(p) ∈ S ⊂ M. Karttakuvaukset voi kait ajatella myös hitusen epätäsmällisesti x(U) ⊂ ℝ^dim(I) ja y(S) ⊂ ℝ^dim(M). Tai en tiedä onko epätäsmällinen notaatio. Houkutteleva ainaki.

Kuvaus kartasta x(U) karttaan y(S) voidaan kirjoittaa y ∘ φ ∘ x⁻¹, missä siis järjestys on x(U) → U → S → y(S). Kuvaus ympäristöstä U ⊂ I suoraan karttaan y(S) on y ∘ φ. Differentiaalit (∂/∂xⁱ)|ₚ pisteissä p (piste p alaindeksinä) ovat TₚI:n kantavektoreita, ja 'työnnetyt' vektorit φ★( (∂/∂xⁱ)ₚ ) ovat TqM:n kantavektoreita pisteissä q.

Karttakuvauksilla x ja y saadaan kantavektori (∂/∂xⁱ) pisteessä p 'työnnettyä' karttaan y(S) komponenttimuodossa (φ★V)ᵃᵢ = (∂/∂xⁱ)|ₚ (y ∘ φ)ᵃ, missä i = 1,...,dim(I) ja a = 1,...,dim(M).

Edellisessä (y ∘ φ)ᵃ ovat käytännössä funktion φ koordinaatit kartassa y(S). Vastaava tangenttiavaruuden kantavektori pisteessä q ∈ TqM on (∂/∂yᵃ).

Muutama välivaihe pois jättäen mille tahansa pisteestä p työnnetylle vektorille Vₚ koordinaattiesitys on (φ★Vₚ)ᵃ = vⁱ (∂/∂xⁱ) yᵃ(x), missä vⁱ ovat vektorin Vₚ komponetit kartassa x(U) ja yᵃ(x) ovat funktion φ koordinaatit kartassa y(S).

jatkuu...

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat