Integrointitehtävä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Osaisko joku täältä integroida e^cos x. Itselläni ei ole keinoja moisen integroimiseen.

Kommentit (12)

Vierailija
haven
Osaisko joku täältä integroida e^cos x. Itselläni ei ole keinoja moisen integroimiseen.

Funktiolla ei ole alkeisfunktioiden avulla esitettävää integraalifunktiota. Jos haluat tietää, millainen likimäärin voisi olla kyseinen integraalifunktio (tietyssä ympäristössä), niin silloin funktiosta pitää tehdä sarjakehitelmä ja integroida se. Jos taas haluat tietää jonkun määrätyn integraalin arvon, niin viisainta on käyttää numeerisia menetelmiä (esim. Simpsonin menetelmä) likiarvon määrittämiseksi.

EDIT: Menetelmällä oli väärä nimi

Vierailija
tomppa
-1/(sinx) * e^cosx

No, tämähän se kysytty integraalifunktio ei kuitenkaan ole. Tuon kun derivoit, et saa funktiota e^cosx.

Vierailija
tomppa
-1/(sinx) * e^cosx

Olen pahoillani tomppa, mutta derivoidaanpa tuo.

d/dx[-1/(sinx) * e^cosx] = -d/dx(e^cosx / sinx) = -[e^cosx·(-sinx)·sinx - cosx·e^cosx] / sin²x
= -(-sin²x·e^cosx - cosx·e^cosx) / sin²x = e^cosx(1 + 1/(sinx·tanx))

Ei siis tullut haluttua e^cosx, joten vastauksesi on väärä

EDIT: typoja + Samulihan tuon jo sanoi, kun ehti ensin.

Vierailija

e^(cos x) on vähän samaa luokkaa kuin e^(t^2), eli sitä ei oikeastaan alkeisfunktioiden avulla voida integroida. Suosittelen että kokeilet esimerkiksi virhefunktiota erf(x) joka tunnetusti ei ole alkeisfunktio.

Myös Taylorin sarjalla voit arvioida tuon funktion käyttäytymistä esimerkiksi origon ympäristössä, tai soveltaa numeerisia menetelmiä.

Vierailija
Dawnbringer
e^(cos x) on vähän samaa luokkaa kuin e^(t^2), eli sitä ei oikeastaan alkeisfunktioiden avulla voida integroida. Suosittelen että kokeilet esimerkiksi virhefunktiota erf(x) joka tunnetusti ei ole alkeisfunktio.

Myös Taylorin sarjalla voit arvioida tuon funktion käyttäytymistä esimerkiksi origon ympäristössä, tai soveltaa numeerisia menetelmiä.


Itse asiassa se on vielä pahempaa luokkaa. e^(t^2) menee Woframin integratorilla, mutta e^(cos x) ei mene.

Vierailija

Mitenkäs menis int(-1/(sin x))? Internetistä katsoin jo, että jollain cosecantilla menis, mutta onko se nyt sitten ainoa tapa?

Vierailija
sampsa
Mitenkäs menis int(-1/(sin x))? Internetistä katsoin jo, että jollain cosecantilla menis, mutta onko se nyt sitten ainoa tapa?

∫(-1/sinx)dx = -∫[sin²(x/2) + cos²(x/2)]dx/[2sin(x/2)cos(x/2)]
= -∫[sin(x/2)/2cos(x/2) + cos(x/2)/2sin(x/2)]dx = ln[cos(x/2)] - ln[sin(x/2)] + C

EDIT: Termien järjestelyjä

Vierailija
Massi^-
Itse asiassa se on vielä pahempaa luokkaa. e^(t^2) menee Woframin integratorilla, mutta e^(cos x) ei mene.

Wolframin integratorista:

Exp(x^2) = (1/2)sqrt(pi) erfi(x)

Joten näyttäisi siltä että tuo e^(cos x) on äärimmäisen patologinen tapaus... tuon tason integraalien tutkimushan menee aika korkealle matematiikassa. Kuten sanottua, tiedämme että integraali -inf -> inf e^(t^2) dt = sqrt(pi).

Voisin tietenkin kysäistä meidän yliassistentilta tai proffalta miten tuon laatuinen patologinen integraali lasketaan - tai kysäistä onko tuollainen integraali edes integroituva.

Vierailija
Dawnbringer
Massi^-
Itse asiassa se on vielä pahempaa luokkaa. e^(t^2) menee Woframin integratorilla, mutta e^(cos x) ei mene.



Wolframin integratorista:

Exp(x^2) = (1/2)sqrt(pi) erfi(x)

Joten näyttäisi siltä että tuo e^(cos x) on äärimmäisen patologinen tapaus... tuon tason integraalien tutkimushan menee aika korkealle matematiikassa. Kuten sanottua, tiedämme että integraali -inf -> inf e^(t^2) dt = sqrt(pi).

Voisin tietenkin kysäistä meidän yliassistentilta tai proffalta miten tuon laatuinen patologinen integraali lasketaan - tai kysäistä onko tuollainen integraali edes integroituva.


Kaikki jatkuvat funktiot ovat integroituvia ja e^cosx ei ole pelkästään jatkuva vaan jopa äärettömän monta kertaa derivoituva. Integraalifunktio on siis olemassa. Sitä ei vain voi esittää minkäänlaisina alkeisfunktioista koostuvana lausekkeina. Näköjään edes Wolframin integratorin sisältämät erikoisfunktiotkaan eivät auta tapauksessa. Eikö siis vain voisi hyväksyä, että integraalifunktion lauseketta ei ole olemassa? Suurin osa maailmassa olevista integroituvista funktioista kuitenkin on sellaisisia, ettei niille voi kirjoittaa em. kaltaisia lausekkeita.

Vierailija
Novac
e^cos x^2/2

Menit sitten aloittamaan tiedekeskustelu-urasi (1. viesti tähän mennessä) täydellisellä flopilla.

Uusimmat

Suosituimmat