POTENSSIIN NOLLA

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Millä perusteella esim. 8 potenssiin 0 on 1? Kaiken järjen mukaan numero kerrottuna itsellään nolla kertaa on nolla.

Sivut

Kommentit (38)

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

No mitäs on 8 potenssiin -1. Siitä voi tehdä jotain johtopäätöksiä mitä voisi olla 8 potenssiin nolla. Koetapa sellaisia potensseja, jotka ovat positiivisia, mutta 1:stä pienempiä. Lopputulos voi olla yllätys, tai oikeastaan ei - eli lähestytään ykköstä..

Vierailija

olkoon f(x)=8^x;

Tällöin lim(x->0-)(f(x))=lim(x->0+)(f(x))=1

perusteet:

lim(x->0+)(f(x)=lim(n->+inf)(8^(1/n))=

n:s juuri kahdeksasta ja n->+ääretöntä siis tulee 1.

Negatiiviselta puolelta vastaava tarkastelu jakoviivan alla.
päällä tietty ykkönen.

Vierailija
kabus
Millä perusteella esim. 8 potenssiin 0 on 1? Kaiken järjen mukaan numero kerrottuna itsellään nolla kertaa on nolla.

Näin on sovittu: luku (paitsi nolla) potenssiin nolla on yksi. Näin on sovittu siksi, että potenssin laskusäännöt olisivat voimassa myös muutamassa erikoistapauksessa. Annahan, kun selitän.

Erisuurilla positiivisilla kokonaislukupotensseilla m ja n pätee laskusääntö a^m : a^n = a^(m-n), jossa ^ tarkoittaa potenssiinkorotusta ja a olkoon jotain muuta kuin nolla. Entäpä, jos m = n? Tällöin

a^m : a^n = a^m : a^m.

Mutta luku jaettuna itselläänhän on aina 1. No, koetetaan soveltaa edellistä laskusääntöä nyt:

a^m : a^m = a^(m-m) = a^0.

Siis toisaalta a^m : a^m = 1 ja toisaalta a^m : a^m = a^0. On siis pakko sopia a^0 = 1 tai sitten jättää käyttämättä edellistä laskusääntöä, kun m = n. Näistä kahdesta vaihtoehdosta on mukavampi sopia, että a^0 = 1.

Vierailija

Raja-arvotarkastelua täällä tarjottiin myös, mutta se ei kyllä asiaa todista. Se, että funktion f raja-arvo kohdassa a on 1, ei tarkoita, että f(a) = 1. Esimerkkejä löytää, kun pohtii hetken.

Vierailija
Samuli
Raja-arvotarkastelua täällä tarjottiin myös, mutta se ei kyllä asiaa todista. Se, että funktion f raja-arvo kohdassa a on 1, ei tarkoita, että f(a) = 1. Esimerkkejä löytää, kun pohtii hetken.

ERINOMAISEN TOTTA!

Myös Vanhan jäärän linkki on hyvin kuvaava. Sen tutkimisen jälkeen asia kyllä pitäisi valjeta.

Vierailija
Samuli
Raja-arvotarkastelua täällä tarjottiin myös, mutta se ei kyllä asiaa todista. Se, että funktion f raja-arvo kohdassa a on 1, ei tarkoita, että f(a) = 1. Esimerkkejä löytää, kun pohtii hetken.

Tässä tapauksessa kuitenkin Wolframi sanoo että

A number other than 0 taken to the power 0 is defined to be 1, which follows from the limit

http://mathworld.wolfram.com/Zero.html

Vierailija
Gödel
Tässä tapauksessa kuitenkin Wolframi sanoo että

A number other than 0 taken to the power 0 is defined to be 1, which follows from the limit

Wolframilla on nyt valittu sanat huonosti. Siellä tarkoitetaan, että koska _halutaan_ eksponenttifunktion olevan jatkuva, _sovitaan,_ että a^0 = 1 (kun a ei ole 0). Jos ei sovita näin, on eksponenttifunktiolla epäjatkuvuuskohta.

Siis ei ole olemassa mitään matemaattista syytä, miksi ehdottomasti a^0 = 1. Se nyt vain sattuu olemaan aivan äärettömän paljon kätevämpää sopia näin kuin jotenkin muuten.

Vierailija
Samuli
Raja-arvotarkastelua täällä tarjottiin myös, mutta se ei kyllä asiaa todista. Se, että funktion f raja-arvo kohdassa a on 1, ei tarkoita, että f(a) = 1. Esimerkkejä löytää, kun pohtii hetken.

No mikä sitten todistaa, vai eikö siis mikään?

Onko tämä siis niitä Gödelin todistamia todistumattomia tapauksia
aksiooma järjestelmän aksioomilla järjestelmän sisällä?

Vierailija

Lainaus:Holopainen - Outinen
a^0=1
Jokaisen nollasta eroavan nollas potenssi on 1
Kysyttäessä mikä on sitten nollan potensiin nolla, voisimme päätellä seuraavasti:
Kunkerran jokaisen, vaikka pienenkin, luvun nollas potenssi on =1, niin eikö tästä seuraa että myös 0^0 =1?
Asia joutuu kuitenkin toiseen valoon kun tarkastelemme nollan muita potensseja, jotka kaikki ovat =0
Tästä seuraa että myös 0^0=0
Itseasiassa kumpikin päättely on hyvin perusteltu, vieläpä oikein, ts.0^0 saattaa olla 0 ,tai myös 1

Vierailija
tietää
Lainaus:Holopainen - Outinen
a^0=1
Jokaisen nollasta eroavan nollas potenssi on 1
Kysyttäessä mikä on sitten nollan potensiin nolla, voisimme päätellä seuraavasti:
Kunkerran jokaisen, vaikka pienenkin, luvun nollas potenssi on =1, niin eikö tästä seuraa että myös 0^0 =1?
Asia joutuu kuitenkin toiseen valoon kun tarkastelemme nollan muita potensseja, jotka kaikki ovat =0
Tästä seuraa että myös 0^0=0
Itseasiassa kumpikin päättely on hyvin perusteltu, vieläpä oikein, ts.0^0 saattaa olla 0 ,tai myös 1

Juuri tästä syystä 0^0 ei ole määritelty.

Vierailija

No mikä sitten todistaa, vai eikö siis mikään?



Ei sitä voi todistaa. Ristiriitoja ei tule vaikka lausekkeen a^0 arvoksi sovittaisiin jotain muuta kuin 1. Kaikki tutut laskusäännöt eivät kyllä tällöin olisi voimassa.

Onko tämä siis niitä Gödelin todistamia todistumattomia tapauksia
aksiooma järjestelmän aksioomilla järjestelmän sisällä?

Ei. Tämä vain sattuu olemaan sopimuskysymys.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Kale

Juuri tästä syystä 0^0 ei ole määritelty.

Suotta näin, lähtökohtaisesti perusluvut ovat mielestäni matematiikan hierarkiassa määräävämpi tekijä kuin potenssi, joka vain kertoo kuinka monta kertaa jokin perusluku kerrotaan itsellään.

Logiikkani on tässä ehkä hiukan hauras, mutta säännöt (myös matematiikassa) rakentuvat yleensä aina yksinkertaisesta monimutkaisempaan päin. Tällä perusteella väitän, että nolla potenssiin nolla on lähtökohtaisesti nolla (samaa mieltä ei tarvitse olla)

Vierailija

Ystävämme windowsin laskin väittää 0^0 olevan 1, mutta minunkin mielestäni se on ennemmin 0, tai vielä ennemmin määrittelemätön.

Potensseihin nimittäin yleensä pätee seuraava sääntö:
Jos:
x^3=q
x^2=w
x^1=e
x^0=r
x^-1=t
x^-2=y

niin:
w=q/x, e=w/x, r=e/x, t=r/x ja y=t/x
ja myös
q=wx, w=ex, e=rx, r=tx ja t=yx

Jos tämä laskusääntö pätee on x^0 oltava 1 aina kun x ei ole 0.
Esim jos x=7:
x^2=49
x^1=7
x^0=1
x^-1=0,1428....

ja

49/7=7, 7/7=1, 1/7=0,1428...

Toisaalta jos x=0
x^2=0
x^1=0
x^0=?
x^-1=0 (joskin windowsin laskin antaa erroria..)

0/0=määrittelemätön

Eikun hetkinen.. tällä menetelmällähän tulinkin siihen tulokseen että nollaa ei voisi korottaa potenssiin ollenkaan... Noh, tulipahan edes nuo muut luvut potenssiin nolla tulokset perusteltua... Tämän tyyppinen perustelu oli sille muuten jossain yläasteen matikan kirjassa.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat