Seuraa 
Viestejä45973

Millä perusteella esim. 8 potenssiin 0 on 1? Kaiken järjen mukaan numero kerrottuna itsellään nolla kertaa on nolla.

Sivut

Kommentit (38)

David
Seuraa 
Viestejä8877

No mitäs on 8 potenssiin -1. Siitä voi tehdä jotain johtopäätöksiä mitä voisi olla 8 potenssiin nolla. Koetapa sellaisia potensseja, jotka ovat positiivisia, mutta 1:stä pienempiä. Lopputulos voi olla yllätys, tai oikeastaan ei - eli lähestytään ykköstä..

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

olkoon f(x)=8^x;

Tällöin lim(x->0-)(f(x))=lim(x->0+)(f(x))=1

perusteet:

lim(x->0+)(f(x)=lim(n->+inf)(8^(1/n))=

n:s juuri kahdeksasta ja n->+ääretöntä siis tulee 1.

Negatiiviselta puolelta vastaava tarkastelu jakoviivan alla.
päällä tietty ykkönen.

kabus
Millä perusteella esim. 8 potenssiin 0 on 1? Kaiken järjen mukaan numero kerrottuna itsellään nolla kertaa on nolla.

Näin on sovittu: luku (paitsi nolla) potenssiin nolla on yksi. Näin on sovittu siksi, että potenssin laskusäännöt olisivat voimassa myös muutamassa erikoistapauksessa. Annahan, kun selitän.

Erisuurilla positiivisilla kokonaislukupotensseilla m ja n pätee laskusääntö a^m : a^n = a^(m-n), jossa ^ tarkoittaa potenssiinkorotusta ja a olkoon jotain muuta kuin nolla. Entäpä, jos m = n? Tällöin

a^m : a^n = a^m : a^m.

Mutta luku jaettuna itselläänhän on aina 1. No, koetetaan soveltaa edellistä laskusääntöä nyt:

a^m : a^m = a^(m-m) = a^0.

Siis toisaalta a^m : a^m = 1 ja toisaalta a^m : a^m = a^0. On siis pakko sopia a^0 = 1 tai sitten jättää käyttämättä edellistä laskusääntöä, kun m = n. Näistä kahdesta vaihtoehdosta on mukavampi sopia, että a^0 = 1.

Raja-arvotarkastelua täällä tarjottiin myös, mutta se ei kyllä asiaa todista. Se, että funktion f raja-arvo kohdassa a on 1, ei tarkoita, että f(a) = 1. Esimerkkejä löytää, kun pohtii hetken.

Samuli
Raja-arvotarkastelua täällä tarjottiin myös, mutta se ei kyllä asiaa todista. Se, että funktion f raja-arvo kohdassa a on 1, ei tarkoita, että f(a) = 1. Esimerkkejä löytää, kun pohtii hetken.

ERINOMAISEN TOTTA!

Myös Vanhan jäärän linkki on hyvin kuvaava. Sen tutkimisen jälkeen asia kyllä pitäisi valjeta.

Samuli
Raja-arvotarkastelua täällä tarjottiin myös, mutta se ei kyllä asiaa todista. Se, että funktion f raja-arvo kohdassa a on 1, ei tarkoita, että f(a) = 1. Esimerkkejä löytää, kun pohtii hetken.

Tässä tapauksessa kuitenkin Wolframi sanoo että

A number other than 0 taken to the power 0 is defined to be 1, which follows from the limit

http://mathworld.wolfram.com/Zero.html

Gödel
Tässä tapauksessa kuitenkin Wolframi sanoo että

A number other than 0 taken to the power 0 is defined to be 1, which follows from the limit

Wolframilla on nyt valittu sanat huonosti. Siellä tarkoitetaan, että koska _halutaan_ eksponenttifunktion olevan jatkuva, _sovitaan,_ että a^0 = 1 (kun a ei ole 0). Jos ei sovita näin, on eksponenttifunktiolla epäjatkuvuuskohta.

Siis ei ole olemassa mitään matemaattista syytä, miksi ehdottomasti a^0 = 1. Se nyt vain sattuu olemaan aivan äärettömän paljon kätevämpää sopia näin kuin jotenkin muuten.

Samuli
Raja-arvotarkastelua täällä tarjottiin myös, mutta se ei kyllä asiaa todista. Se, että funktion f raja-arvo kohdassa a on 1, ei tarkoita, että f(a) = 1. Esimerkkejä löytää, kun pohtii hetken.

No mikä sitten todistaa, vai eikö siis mikään?

Onko tämä siis niitä Gödelin todistamia todistumattomia tapauksia
aksiooma järjestelmän aksioomilla järjestelmän sisällä?

Lainaus:Holopainen - Outinen
a^0=1
Jokaisen nollasta eroavan nollas potenssi on 1
Kysyttäessä mikä on sitten nollan potensiin nolla, voisimme päätellä seuraavasti:
Kunkerran jokaisen, vaikka pienenkin, luvun nollas potenssi on =1, niin eikö tästä seuraa että myös 0^0 =1?
Asia joutuu kuitenkin toiseen valoon kun tarkastelemme nollan muita potensseja, jotka kaikki ovat =0
Tästä seuraa että myös 0^0=0
Itseasiassa kumpikin päättely on hyvin perusteltu, vieläpä oikein, ts.0^0 saattaa olla 0 ,tai myös 1

tietää
Lainaus:Holopainen - Outinen
a^0=1
Jokaisen nollasta eroavan nollas potenssi on 1
Kysyttäessä mikä on sitten nollan potensiin nolla, voisimme päätellä seuraavasti:
Kunkerran jokaisen, vaikka pienenkin, luvun nollas potenssi on =1, niin eikö tästä seuraa että myös 0^0 =1?
Asia joutuu kuitenkin toiseen valoon kun tarkastelemme nollan muita potensseja, jotka kaikki ovat =0
Tästä seuraa että myös 0^0=0
Itseasiassa kumpikin päättely on hyvin perusteltu, vieläpä oikein, ts.0^0 saattaa olla 0 ,tai myös 1

Juuri tästä syystä 0^0 ei ole määritelty.


No mikä sitten todistaa, vai eikö siis mikään?



Ei sitä voi todistaa. Ristiriitoja ei tule vaikka lausekkeen a^0 arvoksi sovittaisiin jotain muuta kuin 1. Kaikki tutut laskusäännöt eivät kyllä tällöin olisi voimassa.

Onko tämä siis niitä Gödelin todistamia todistumattomia tapauksia
aksiooma järjestelmän aksioomilla järjestelmän sisällä?

Ei. Tämä vain sattuu olemaan sopimuskysymys.

David
Seuraa 
Viestejä8877
Kale

Juuri tästä syystä 0^0 ei ole määritelty.

Suotta näin, lähtökohtaisesti perusluvut ovat mielestäni matematiikan hierarkiassa määräävämpi tekijä kuin potenssi, joka vain kertoo kuinka monta kertaa jokin perusluku kerrotaan itsellään.

Logiikkani on tässä ehkä hiukan hauras, mutta säännöt (myös matematiikassa) rakentuvat yleensä aina yksinkertaisesta monimutkaisempaan päin. Tällä perusteella väitän, että nolla potenssiin nolla on lähtökohtaisesti nolla (samaa mieltä ei tarvitse olla)

Ystävämme windowsin laskin väittää 0^0 olevan 1, mutta minunkin mielestäni se on ennemmin 0, tai vielä ennemmin määrittelemätön.

Potensseihin nimittäin yleensä pätee seuraava sääntö:
Jos:
x^3=q
x^2=w
x^1=e
x^0=r
x^-1=t
x^-2=y

niin:
w=q/x, e=w/x, r=e/x, t=r/x ja y=t/x
ja myös
q=wx, w=ex, e=rx, r=tx ja t=yx

Jos tämä laskusääntö pätee on x^0 oltava 1 aina kun x ei ole 0.
Esim jos x=7:
x^2=49
x^1=7
x^0=1
x^-1=0,1428....

ja

49/7=7, 7/7=1, 1/7=0,1428...

Toisaalta jos x=0
x^2=0
x^1=0
x^0=?
x^-1=0 (joskin windowsin laskin antaa erroria..)

0/0=määrittelemätön

Eikun hetkinen.. tällä menetelmällähän tulinkin siihen tulokseen että nollaa ei voisi korottaa potenssiin ollenkaan... Noh, tulipahan edes nuo muut luvut potenssiin nolla tulokset perusteltua... Tämän tyyppinen perustelu oli sille muuten jossain yläasteen matikan kirjassa.

David
Kale

Juuri tästä syystä 0^0 ei ole määritelty.



Suotta näin, lähtökohtaisesti perusluvut ovat mielestäni matematiikan hierarkiassa määräävämpi tekijä kuin potenssi, joka vain kertoo kuinka monta kertaa jokin perusluku kerrotaan itsellään.

Logiikkani on tässä ehkä hiukan hauras, mutta säännöt (myös matematiikassa) rakentuvat yleensä aina yksinkertaisesta monimutkaisempaan päin. Tällä perusteella väitän, että nolla potenssiin nolla on lähtökohtaisesti nolla (samaa mieltä ei tarvitse olla)


Vielä kerran!

0^4 = 0
0³ = 0
0² = 0
0^1 = 0
0^0 = ? (nyt näyttäisi olevan 0)

mutta

4^0 = 1
3^0 = 1
2^0 = 1
1^0 = 1
0^0 = ? (nyt näyttäisi olevan 1)

Matematiikassa määritelmät on tehty siten, että ne olisivat keskenään ristiriidattomia! Tästä syystä on määritelty, että

[size=150:3vu2n02n]0^0 = määrittelemätön![/size:3vu2n02n]

Kyse ei ole siis vain minun henkilökohtaisesta mielipiteestä, vaan [size=150:3vu2n02n]näin on määritelty! Piste![/size:3vu2n02n]

David
Seuraa 
Viestejä8877
Kale
Kyse ei ole siis vain minun henkilökohtaisesta mielipiteestä, vaan [size=150:3lepzn5g]näin on määritelty! Piste![/size:3lepzn5g]

Niin, tuo ns. ristriita oli kyllä tiedossani ilma erillistä selvitystäsikin. Jonkin luvun n:s potenssi kuitenkin tarkoittaa, että se luku kerrotaan itsellään n kertaa. Kertolasku on kuitenkin vain yhteenlaskun erikoistapaus, joten tästä seuraa että myöskin potenssiin korottaminen on yhteenlaskun eräs erikoistapaus. Lasketaan nollaa yhteen miten monta kertaa tahansa, saadaan aina nolla. Tämä on se lähtökohta, jonka mukaan tilannetta pitäisi mielestäni tarkastella, joten joudun pitämään määritelmää tässä mielessä virheellisenä.

Eipä tuo sinällään mitään merkitse, koska tuollaiseen matemaattiseen tilanteeseen ajautuu todennäköisesti vain virheellisen esityksen tai lähtökohtien kautta. Joten eipä tuosta nyt tarvitse pulttia ottaa, vaikka tässä vähän viisastelenkin. Toisaalta on hyvä, että tilanne on määrittelemätön jo siitä syystä, että tuollaista tilannetta ei saisi oikeastaan syntyäkkään.

Vähän sama tilanne kuin nollalla jako tietokoneohjelmassa, ohjelma on virheellinen jos ko. tilanne pääsee syntymään.

David
Kertolasku on kuitenkin vain yhteenlaskun erikoistapaus, joten tästä seuraa että myöskin potenssiin korottaminen on yhteenlaskun eräs erikoistapaus. Lasketaan nollaa yhteen miten monta kertaa tahansa, saadaan aina nolla.

Eihän nollansissa potensseissa olisi mitään sopimuksenvaraista, jos niitä voitaisiin tutkia esittämälläsi tavalla tulona tai summana. Mutta eihän niitä voi: miten kirjoitat tulona 1^0? Entä 0^0?

David
Seuraa 
Viestejä8877
Samuli
David
Kertolasku on kuitenkin vain yhteenlaskun erikoistapaus, joten tästä seuraa että myöskin potenssiin korottaminen on yhteenlaskun eräs erikoistapaus. Lasketaan nollaa yhteen miten monta kertaa tahansa, saadaan aina nolla.



Eihän nollansissa potensseissa olisi mitään sopimuksenvaraista, jos niitä voitaisiin tutkia esittämälläsi tavalla tulona tai summana. Mutta eihän niitä voi: miten kirjoitat tulona 1^0? Entä 0^0?

Aivan, tästä syystä en oikein diggaa koko nollatta potenssia. Tiedän että lukujärjestelmissä sitä vaaditaan esittämään "ykkösiä" kantaluvun nollannen potenssin avulla. Voitaisiinko lukujärjestelmän lukuja käsitellä vaihtoehtoisella tavalla ilman tuota nollatta potenssia ? Tämä kysymys ei ole tullut aikaisemmin mieleen ( kun ei ole tullut kyseenalaistettua ko. esitystapaa ), mutta sitä voisi tietysti pohdiskella.

David
Aivan, tästä syystä en oikein diggaa koko nollatta potenssia. Tiedän että lukujärjestelmissä sitä vaaditaan esittämään "ykkösiä" kantaluvun nollannen potenssin avulla. Voitaisiinko lukujärjestelmän lukuja käsitellä vaihtoehtoisella tavalla ilman tuota nollatta potenssia ?

Se menee toisinpäin: kun ensin on sovittu, että a^0 = 1, voidaan ajatella luvun oikeanpuolimmaisin numero kantaluvun nollannen potenssin kerrannaisena. Jos ei halua kirjoittaa esimerkiksi kymmenjärjestelmän lukua 123 muodossa 1*10^2 + 2*10^1 + 3*10^0, niin kirjoittaa sitten vain 1*10^2 + 2*10^1 + 3. Mitään sen kummempaa konstia ei tarvita.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat