Sivut

Kommentit (38)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
David
Jonkin luvun n:s potenssi kuitenkin tarkoittaa, että se luku kerrotaan itsellään n kertaa. Kertolasku on kuitenkin vain yhteenlaskun erikoistapaus, joten tästä seuraa että myöskin potenssiin korottaminen on yhteenlaskun eräs erikoistapaus. Lasketaan nollaa yhteen miten monta kertaa tahansa, saadaan aina nolla. Tämä on se lähtökohta, jonka mukaan tilannetta pitäisi mielestäni tarkastella, joten joudun pitämään määritelmää tässä mielessä virheellisenä.

Odotan innolla esittämääsi korjattua määritelmää siitä, mitä 0^0 on. Oikein vesi kielellä

Tosin taitanet tietää jo etukäteen, mitä siitä seuraa...

David
Seuraa 
Viestejä8877
Snaut
Tuo potenssiin nolla (kolmas potenssisääntö) voidaan myös "johtaa" edeltäjistään, siis ihan triviaalisti:

x^0 = x^(y-y) = x^y/x^y = 1

No niin, löytyihän se analyyttinenkin ratkaisu, eli tuota kautta päästään kiinni niihin yhteenlaskujen erikoistapauksiin, joita ajoin takaa. Ongelmaksi jää vain sitten se nollalla jakaminen, joka on jo lähtökohtaisesti on kielletty.

Oli miten oli, tyhjästä on huono nyhjästä - määritellään asioita sitten miten vain - määrittely laittoman toiminnon kautta määrittelemättömäksi ei tunnu ihan oikealta toimenpiteeltä.

Samuli
Snaut
x^0 = x^(y-y) = x^y/x^y = 1



Toistan nyt itseäni, mutta menköön: Miksi laskusääntö a^m/a^n = a^(m-n) olisi voimassa, kun m = n?

Jälleen kerran siksi, että [size=150:ayfatocw]niin on määritelty![/size:ayfatocw]

Lukekaa niitä matematiikan määritelmiä älkääkä sekoittako niitä lauseisiin, apulauseisiin, lemmoihin, teoreemoihin tai muihin vastaaviin, jotka johdetaan määritelmistä.

Miksi sanasta kissa tulee mieleen karvainen kotieläin, jolla on kyky kiivetä puuhun ja sanoo "miau"? Koska niin on suomen kielessä määritelty! Jos et hyväksy määritelmää, vaan haluat sanoa tällaista eläintä sanalla "koira", niin ympäristön ja sinun välisessä kommunikoinnissa tulee hankaluuksia.

David
Snaut
Tuo potenssiin nolla (kolmas potenssisääntö) voidaan myös "johtaa" edeltäjistään, siis ihan triviaalisti:

x^0 = x^(y-y) = x^y/x^y = 1




No niin, löytyihän se analyyttinenkin ratkaisu, eli tuota kautta päästään kiinni niihin yhteenlaskujen erikoistapauksiin, joita ajoin takaa. Ongelmaksi jää vain sitten se nollalla jakaminen, joka on jo lähtökohtaisesti on kielletty.

Oli miten oli, tyhjästä on huono nyhjästä - määritellään asioita sitten miten vain - määrittely laittoman toiminnon kautta määrittelemättömäksi ei tunnu ihan oikealta toimenpiteeltä.


Tuo Snautin esitys pitää paikkansa, kunhan x>0. Myös niissä tapauksissa esitys voidaan katsoa olevan voimassa, joissa x<0 JA y on kokonaisluku. Tässä jälkimmäisessäkin tapauksessa voidaan halutessa järjestellä ristiriitoja, joten varovainen täytyy olla.

Samuli
Snaut
x^0 = x^(y-y) = x^y/x^y = 1



Toistan nyt itseäni, mutta menköön: Miksi laskusääntö a^m/a^n = a^(m-n) olisi voimassa, kun m = n?

Tutustupa aihealueen aksiomatikkaan ja mieti sitten uudestaan! Jutska on todellakin triviaali!

Snaut
Samuli
Snaut
x^0 = x^(y-y) = x^y/x^y = 1



Toistan nyt itseäni, mutta menköön: Miksi laskusääntö a^m/a^n = a^(m-n) olisi voimassa, kun m = n?



Tutustupa aihealueen aksiomatikkaan ja mieti sitten uudestaan! Jutska on todellakin triviaali!

Jaahas. Asia ei olekaan vielä loppuun käsitelty?
Voidaanko sittenkin sitovasti osoittaa,että

x^0=1

Mitä sanoo tähän Samuli? Entä Snaut?

Snaut
Tutustupa aihealueen aksiomatikkaan ja mieti sitten uudestaan! Jutska on todellakin triviaali!

Voi hyvänen aika! Kokeilen vielä rautalangan kanssa kolmannen kerran: Todista, että laskusääntö a^m : a^n = a^(m-n) pätee, kun m > n. Todista sitten, että sama laskusääntö pätee, kun m = n.

Edellinen todistus on triviaali, mutta jälkimmäinen vaatii, että _sovimme_ eli _määrittelemme,_ että a^0 = 1. Ts. et voi käyttää kyseistä laskusääntöä todistaaksesi yhtälöä a^0 = 1 todeksi, sillä kyseistä yhtäsuuruutta on käytetty laskusäännön todistuksessa!

Tietenkin, jos todistamatta _sovitaan,_ että a^m : a^m = a^(m-m), voi asian osoittaa kuten Snaut esitti. Makuasiahan se tietenkin on, mitkä tulokset otetaan lähtökohdiksi.

Samuli
Snaut
Tutustupa aihealueen aksiomatikkaan ja mieti sitten uudestaan! Jutska on todellakin triviaali!



Voi hyvänen aika! Kokeilen vielä rautalangan kanssa kolmannen kerran: Todista, että laskusääntö a^m : a^n = a^(m-n) pätee, kun m > n. Todista sitten, että sama laskusääntö pätee, kun m = n.

Edellinen todistus on triviaali, mutta jälkimmäinen vaatii, että _sovimme_ eli _määrittelemme,_ että a^0 = 1. Ts. et voi käyttää kyseistä laskusääntöä todistaaksesi yhtälöä a^0 = 1 todeksi, sillä kyseistä yhtäsuuruutta on käytetty laskusäännön todistuksessa!

Tietenkin, jos todistamatta _sovitaan,_ että a^m : a^m = a^(m-m), voi asian osoittaa kuten Snaut esitti. Makuasiahan se tietenkin on, mitkä tulokset otetaan lähtökohdiksi.

No niin. Jokohan asia nyt on selvä?

David
Seuraa 
Viestejä8877

Tämä asia liittyy enemmän jakolaskun luonteeseen ja sitä kautta myös tähän aiheeseen noiden potenssien erotusten kautta. Kertolaskussahan nolla ei tuota periaattessa koskaan mitään ongelmia. Jakolaksun kohdalla ongelmia syntyy periaatteessa siitä, että nollaan osaan ei voida mitään jakaa. Toisaalta nollaakin voidaan kyllä vähentää jostain luvusta äärettömän monta kertaa.

Jakolaskut pitäisikin mielestäni jakaa kahteen gatekoriaan eili niihin joissa lasketaan osuus kokonaisuudesta, kun tiedetään kuinka moneen osaan joku jaetaan ja toisaalta niihin tapauksiin, joissa ositetaan kokonaisuutta vähentämällä siitä määrätyn suuruisia osia.

Näin vältettäisiin ristiriidat, jotka aiheutuvat siitä kumman käsitteen kautta asiaa tarkastellaan. Kyseessä on siis jakolaskun kannalta eri tapaukset, jotka olisi järkevää myöskin nimetä niin, että ne tulevat eritellysti ilmi.

Toisaalta ristiriitojahan tulee vain tämän kaltaisissa juupas eipäs väittelyissä, joissa voi joku taho sitten aina vedota viralliseen kantaan ja piste. Pitäisiköhän virallisia määrityksiä tarkentaa kahden erityyppisen jakolaskun osalta, sille tuntuisi olevan tarvetta.

Jos nolla potenssiin jotakin on yleensä nolla ja näin ollen tulisi olla myös nollannen potenssin kohdalla, koska kyseessä ei ole periaatteessa laiton tulkinta. Nollas potenssi aiheuttaa kuitenkin Snautin esimerkissä nollalla jaettaessa laittoman tapauksen, joten se ei ainakaan kelpaa vastaukseksi. Nolla tässä yhteydessä edustaa nimenomaan sitä kuinka moneen osaan nimittäjä jaetaan, kun nolla määränä on ei mitään niin ratkaisu on kelvoton.

Eli "laillisempi" tulkinta antaisi vastaukseksi nollan, mutta minun ja varmaan muidenkin puolesta ratkaisu saa olla määrittelemätön, koska sellaista tapausta ei pitäisi koskaan esiintyä.

Samuli
Tietenkin, jos todistamatta _sovitaan,_ että a^m : a^m = a^(m-m), voi asian osoittaa kuten Snaut esitti. Makuasiahan se tietenkin on, mitkä tulokset otetaan lähtökohdiksi.

Huomasit varmaankin, että viestissäni sana "johtaa" oli heittomerkeissä. Eli sopimuksesta eli aksiomatiikasta on tietenkin kyse (potenssisäännöstö).

David
Jakolaskut pitäisikin mielestäni jakaa kahteen gatekoriaan eili niihin joissa lasketaan osuus kokonaisuudesta, kun tiedetään kuinka moneen osaan joku jaetaan ja toisaalta niihin tapauksiin, joissa ositetaan kokonaisuutta vähentämällä siitä määrätyn suuruisia osia.

Mitähän tuokin sitten muka tarkoittaa Minun mielestäni mitään eri kategorioita ei tarvita. Lisämääritykset ovat aina loogisia laajennuksia, jotka eivät (tietenkään) ole ristiriidassa aikasemman kanssa.

David
Toisaalta ristiriitojahan tulee vain tämän kaltaisissa juupas eipäs väittelyissä, joissa voi joku taho sitten aina vedota viralliseen kantaan ja piste. Pitäisiköhän virallisia määrityksiä tarkentaa kahden erityyppisen jakolaskun osalta, sille tuntuisi olevan tarvetta.

Juupas eipäs väittelyjä syntyy yleensä vain silloin, kun mutumaatikot eivät suostu uskomaan matemaatikkojen selityksiä. Ja kyllä ne tahot, jotka ovat määritelleet eri laskutoimitusten aksioomat ovat tarkkaan miettineet, mitä mistäkin määritelmästä seuraa tai jää seuraamatta. En usko yhdenkään muutoksen näihin määritelmiin parantavan tilannetta kokonaisuudessaan.

David
Jos nolla potenssiin jotakin on yleensä nolla ja näin ollen tulisi olla myös nollannen potenssin kohdalla, koska kyseessä ei ole periaatteessa laiton tulkinta. Nollas potenssi aiheuttaa kuitenkin Snautin esimerkissä nollalla jaettaessa laittoman tapauksen, joten se ei ainakaan kelpaa vastaukseksi. Nolla tässä yhteydessä edustaa nimenomaan sitä kuinka moneen osaan nimittäjä jaetaan, kun nolla määränä on ei mitään niin ratkaisu on kelvoton.

Jostakin kumman syystä asetat tapauksen 0^x arvokkaammaksi kuin tapauksen x^0. En näe tälle perusteita. Eikä muuten näe muutkaan matemaatikot. Sen tosin ymmärrän, että se saattaa tuntua luonnollisemmalta näin äkkituntumalla, mutta kun sitä pitempään pohtii, niin ei siinä ole eroja.

David
Eli "laillisempi" tulkinta antaisi vastaukseksi nollan, mutta minun ja varmaan muidenkin puolesta ratkaisu saa olla määrittelemätön, koska sellaista tapausta ei pitäisi koskaan esiintyä.

Kyllä esim. raja-arvotarkasteluissa voi tilanne hyvinkin tulla vastaan. Ja monessa muussakin tarkastelussa.

David
Seuraa 
Viestejä8877
Kale

Juupas eipäs väittelyjä syntyy yleensä vain silloin, kun mutumaatikot eivät suostu uskomaan matemaatikkojen selityksiä. Ja kyllä ne tahot, jotka ovat määritelleet eri laskutoimitusten aksioomat ovat tarkkaan miettineet, mitä mistäkin määritelmästä seuraa tai jää seuraamatta. En usko yhdenkään muutoksen näihin määritelmiin parantavan tilannetta kokonaisuudessaan.

Niin, ihmisiä ne matemaatikotkin kuitenkin ovat ja olenhan minäkin koettanut kohtuullisen tarkkaan miettiä kannanottojani. Siitä olemme samaa mieltä, että tilanne ei sinällään miksikään muutu. Aikansa kuluksi näitä "pähkinöitä"voi tietysti mietiskellä, jos vaikka löytäisi asioihin uusia mielenkiintoisia näkökulmia.

Olen kuitenkin kantani perustellut, olkoot se sitten matemaattisesti kelvollinen näkemys tai ei. Voi olla, että jollain toisella tavalla perustellen joudun muuttamaan näkökantaani. En ole fakkiutunut johonkin tiettyyn näkökulmaan ja siksi yritän yleensä selvittää itselleni asioiden perimmäisen "totuuden", mikäli se vain on kohtuullisessa ajassa mahdollista.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat