Kompleksiluvuista

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tuon tapauksen 0^0 innoittamana (aasinsilta) nostan esille lukualueen, jossa oikeasti tulee laskutoimitusten yksikäsitteisyyden kanssa ongelmia, nimittäin kompleksiluvut. Otetaan esimerkki. Olkoon z ε C, z = r·(cosx + i·sinx), missä r ε R (merkki ε tarkoittaa nyt "kuuluu joukkoon"). de Moivren kaavaan perustuen z^n = r^n·[cos(nx) + i·sin(nx)], missä r = |z| ja n ε R. Lasketaan vaikkapa √i. Lasketaan se kahdessa tapauksessa, x = π/2 ja x = -3π/2. Korostan, että tapaukseen z = i päästään aina, kun r = 1 ja x = (4k+1)π/2, missä k ε Z.

Ensin x = π/2
√i = i^(1/2) = cos(π/4) + i·sin(π/4).

Sitten x = -3π/2
√i = i^(1/2) = cos(-3π/4) + i·sin(-3π/4).

Jokainen voi todeta, että nämä ovat eri lukuja. Ja kun vielä otetaan huomioon, että k saa olla mikä tahansa kokonaisluku, niin vastauksia laskutoimitukselle √i on ääretön määrä!

Kysymys: Mihin katosi laskutoimitusten yksikäsitteisyys?

EDIT: Nyt tosin käy äkkivilkaisulta niin, että kaikki loput laskun √i vastaukset palautuvat jo esitettyihin kahteen, joten tässä nimenomaisessa tapauksessa vastauksia on lopulta vain kaksi. Toinen tilanne syntyy esim laskettaessa i^i, joka johtaa äärettömään määrään vastauksia. Tämä on kuitenkin nyt vain sivuseikka.

Kommentit (12)

pöhl
Seuraa 
Viestejä876
Liittynyt19.3.2005
Kale
Ja kun vielä otetaan huomioon, että k saa olla mikä tahansa kokonaisluku, niin vastauksia laskutoimitukselle √i on ääretön määrä!

Ei, vaan kaksi eri vaihtoa. Kokeile parittomilla ja parillisilla erikseen, niin huomaat saavasi kahta eri vastausta. Syy tähän löytyy sinin ja kosinin jaksoista.
Kalle
Kysymys: Mihin katosi laskutoimitusten yksikäsitteisyys?

Määritelmään. Reaaliakselilla neliöjuuri on määritelty siten, että neliöjuuren toinen potenssi on itse alkuperäinen luku ja neliöjuuri epänegatiivisesta reaaliluvusta on epänegatiivinen. Kompleksilukuja ei voi laittaa suuruusjärjestykseen, joten tämä määritelmä ei kelpaa kompleksitasoon. Jos kompleksitasossa halutaan pelata juurilla, on aina muistettava tarkastaa juurten eri haarat.

Vierailija
Kale
Toinen tilanne syntyy esim laskettaessa i^i, joka johtaa äärettömään määrään vastauksia.

Ovatko vastaukset jollain tietyllä alueella vai voiko i^i olla mitä tahansa?

pöhl
Seuraa 
Viestejä876
Liittynyt19.3.2005
Massi^-
Ovatko vastaukset jollain tietyllä alueella vai voiko i^i olla mitä tahansa?

i^i=e^(i*ln i)=e^(i*(i arg i))=e^(-arg i)=e^(-(pi/2+2pi n))=e^(pi(2n-1/2)), missä n on kokonaisluku.

Vierailija
Puuhikki
Kale
Ja kun vielä otetaan huomioon, että k saa olla mikä tahansa kokonaisluku, niin vastauksia laskutoimitukselle √i on ääretön määrä!

Ei, vaan kaksi eri vaihtoa. Kokeile parittomilla ja parillisilla erikseen, niin huomaat saavasi kahta eri vastausta. Syy tähän löytyy sinin ja kosinin jaksoista.

Sinulta taisi jäädä edit-osio lukematta...

Puuhikki
Kale
Kysymys: Mihin katosi laskutoimitusten yksikäsitteisyys?

Määritelmään. Reaaliakselilla neliöjuuri on määritelty siten, että neliöjuuren toinen potenssi on itse alkuperäinen luku ja neliöjuuri epänegatiivisesta reaaliluvusta on epänegatiivinen. Kompleksilukuja ei voi laittaa suuruusjärjestykseen, joten tämä määritelmä ei kelpaa kompleksitasoon. Jos kompleksitasossa halutaan pelata juurilla, on aina muistettava tarkastaa juurten eri haarat.

Tiedän. Itse asiassa se, että valitsin nimen omaan neliöjuuren, on yhdentekevää. Samaan ongelmaan tullaan hyvin monessa laskutoimituksessa kompleksiavaruudessa. Sitä minä olen aina vähän ihmetellyt, miksei yleisesti olla määritelty, että argumentti valittaisiin jostakin 2π mittaisesta päähaarasta? Tosin joissakin lähteissä mainitaan, että argumentti olisi hyvä valita väliltä ]-π, π] (mainittu päähaara), jolloin palataan takaisin laskutoimitusten yksikäsitteisyyteen. Miksei näin ole määritelty yleisemminkin? Mitä siitä seuraa, jos näin määriteltäisiin? Missä (käytännön?) tilanteissa tarvitaan argumentin olevan tämän välin ulkopuolella?

Vierailija
Puuhikki
Kale

Sinulta taisi jäädä edit-osio lukematta...

Ja editoijalta joku kohta editoimatta.

Tämä nyt ajautuu sivuraiteille, mutta kuinka niin? Onko minulta jäänyt jotain huomaamatta?

Ja edelleen tärkeintä olisi keskustella itse aiheesta näiden meidän "sivuraidejuttujen" jälkeen.

pöhl
Seuraa 
Viestejä876
Liittynyt19.3.2005

Editoinnin jälkeenkin viestissä luki vielä: "Ja kun vielä otetaan huomioon, että k saa olla mikä tahansa kokonaisluku, niin vastauksia laskutoimitukselle √i on ääretön määrä!" Muokkaa kerralla kaikki kohdat kuntoon.

Vierailija
Puuhikki
Editoinnin jälkeenkin viestissä luki vielä: "Ja kun vielä otetaan huomioon, että k saa olla mikä tahansa kokonaisluku, niin vastauksia laskutoimitukselle √i on ääretön määrä!" Muokkaa kerralla kaikki kohdat kuntoon.

Tarkoitat siis, että editoinnin yhteydessä minun olisi pitänyt poistaa alkuperäisen viestin virheellinen osa ja korvata se uudella? Kävi kyllä mielessä, mutta arvelin monen ehtineen jo lukea viestini, joten ajattelin asian tulevan selväksi, kun kerron korjauksesta edit-osiossa. En ole kyllä ainoa, joka on toiminut tällä tavalla. Myönnän kyllä sen, etten ole ihan varma, kuinka editointi pitäisi oikeaoppisesti tehdä.

Vierailija

No nyt kun (toivottavasti) saatiin tuo sivuraideosio päätökseen, niin ei kun uudestaan. Siis

Puuhikki
Kale
Kysymys: Mihin katosi laskutoimitusten yksikäsitteisyys?

Määritelmään. Reaaliakselilla neliöjuuri on määritelty siten, että neliöjuuren toinen potenssi on itse alkuperäinen luku ja neliöjuuri epänegatiivisesta reaaliluvusta on epänegatiivinen. Kompleksilukuja ei voi laittaa suuruusjärjestykseen, joten tämä määritelmä ei kelpaa kompleksitasoon. Jos kompleksitasossa halutaan pelata juurilla, on aina muistettava tarkastaa juurten eri haarat.

Tiedän. Itse asiassa se, että valitsin nimen omaan neliöjuuren, on yhdentekevää. Samaan ongelmaan tullaan hyvin monessa laskutoimituksessa kompleksiavaruudessa. Sitä minä olen aina vähän ihmetellyt, miksei yleisesti olla määritelty, että argumentti valittaisiin jostakin 2π mittaisesta päähaarasta? Tosin joissakin lähteissä mainitaan, että argumentti olisi hyvä valita väliltä ]-π, π] (mainittu päähaara), jolloin palataan takaisin laskutoimitusten yksikäsitteisyyteen. Miksei näin ole määritelty yleisemminkin? Mitä siitä seuraa, jos näin määriteltäisiin? Missä (käytännön?) tilanteissa tarvitaan argumentin olevan tämän välin ulkopuolella?

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Kale

Tiedän. Itse asiassa se, että valitsin nimen omaan neliöjuuren, on yhdentekevää. Samaan ongelmaan tullaan hyvin monessa laskutoimituksessa kompleksiavaruudessa. Sitä minä olen aina vähän ihmetellyt, miksei yleisesti olla määritelty, että argumentti valittaisiin jostakin 2π mittaisesta päähaarasta?

Eikös tuosta seuraisi esimerkiksi se, että et saisi kaikkia juuria x:lle laskusta x^n=z? nehän ovat kuitenkin eri lukuja.

Jos pidät ne jaksot siellä, niin kaikki löytyy, mutta jos unohdat, niin tulee vain yksi juuri. tuossa laskussahan juuria voi olla n kappaletta.

esim. e^i(pi/2+n2pi) = x^3
=> x = e^i(pi/6+n2pi/3) = e^i(pi/6) tai exp(i5pi/6) tai exp(i9pi/6)

Nämä ovat yksikäsitteisiä juuria, vaikka tuo n pyörii vielä vastauksessa. Kuitenkin tuo luku on jaksottain nuo samat luvut, kun n:ää kasvatetaan vaikka kuinka suureksi.

(saman asian ajoi se neliöjuuriesimerkki, mutta yleisemminkin näin logaritmien kanssa tulee samantyyppisiä ongelmia helposti. tilanteesta riippuu, onko päähaaran käyttö pelkästään oikeutettua.)

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
bosoni
Kale
Sitä minä olen aina vähän ihmetellyt, miksei yleisesti olla määritelty, että argumentti valittaisiin jostakin 2π mittaisesta päähaarasta?



Eikös tuosta seuraisi esimerkiksi se, että et saisi kaikkia juuria x:lle laskusta x^n=z? nehän ovat kuitenkin eri lukuja.

Äkkiä tuntuisi, että ei seuraisi. Eihän reaalilukuavaruudessakaan ole ongelmia yhtälön x² = 9 kanssa, vaikka √9 = 3 yksikäsitteisesti. Samoin ei ole ongelmia esim. yhtälön sin2x = cosx kanssa, vaikka sin(a) voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Jaksollisuus voitaisiin ja PITÄISI ottaa huomioon yhtälöjä ratkaistaessa, mutta pelkkänä lausekkeen sieventämistehtävänä voitaisiin rajoittua esim. välille ]-π, π].

Minusta vain matematiikan kauneus särkyy näiden kompleksilukujen kohdalla, kun määritelmissä ei ole rajottauduttu johonkin päähaaraan, koska laskutoimitusten yksikäsitteisyys samalla menetetään. Yhtä hyvin voitaisiin määritellä, että 0^0 = 0 tai 0^0 = 1 jne. jos ei tarvitse pitää kiinni laskutoimitusten yksikäsitteisyydestä.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Kale
Jaksollisuus voitaisiin ja PITÄISI ottaa huomioon yhtälöjä ratkaistaessa, mutta pelkkänä lausekkeen sieventämistehtävänä voitaisiin rajoittua esim. välille ]-π, π].

Siihen kai sillä päähaaraan rajoittumisella siihen pyritäänkin. Ongelma kai on juuri samanlainen jaksollisten funktioiden kanssa reaalipuolella. Itse olen ymmärtänyt, että käytäntökin on aikalailla samanlainen. (tai sitten en vain ole kiinnittänyt asiaan niin paljoa huomiota)

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Uusimmat

Suosituimmat