Pirullinen raja-arvo tehtävä.

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Nyt iski eteen varsin pirullinen raja-arvo tehtävä.
Pitäisi laskea raja-arvo lausekkeelle

(1/x*arcsin(x))^(1/x^2)

kun x lähestyy nollaa.

Vastauskin on tiedossa ( e^(1/6) likimain 1.18136 )
mutta millä ihmeellä siihen pääsisi?

Kommentit (5)

Tep
Seuraa 
Viestejä827
Liittynyt16.3.2005

Riippuu miten tarkkaan pitää laskea. Jos ottaa arcsin x sarjasta 2 ensimmäistä termiä x +x³/6 ja sijoittaa lausekkeeseen 6x² = 1/y, niin löytyy e:n määritelmä, kun y menee äärettömiin. Jos kuitenkin pitää näyttää, ettei sarjan loppuosa vaikuta, niin tulee enemmän töitä.

Vierailija
Tep
Riippuu miten tarkkaan pitää laskea. Jos ottaa arcsin x sarjasta 2 ensimmäistä termiä x +x³/6 ja sijoittaa lausekkeeseen 6x² = 1/y, niin löytyy e:n määritelmä, kun y menee äärettömiin. Jos kuitenkin pitää näyttää, ettei sarjan loppuosa vaikuta, niin tulee enemmän töitä.

(1/x)*(x+(1/6)x^3+q)^(1/x^2),jossa q=loput termit

(q=3/40*x^5+5/112*x^7+.....)

sij. 6x^2=1/y=>

(1+(1/6)x^2+p)^(1/x^2) = (1+(1/36)(1/y)+p)^(6y) ja

nyt siis y->ääretöntä ja p=(3/40)(1/36)/y^2+(5/112)(1/216)/y^3.....

siis p->nollaa eli voitaneen ajatella ettei vaikuta.

=> lim(y->inf)(1+(1/36)/y)^(6y) ja mitenkä sitten??

Tästä tosin tulee tuo e^(1/6),ainakin tietokoneella, mutta vielä toinenkin sijoitus tai jonkinlainen muu pyörittely lienee tarpeen.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
Gödel

=> lim(y->inf)(1+(1/36)/y)^(6y) ja mitenkä sitten??

Tästä tosin tulee tuo e^(1/6),ainakin tietokoneella, mutta vielä toinenkin sijoitus tai jonkinlainen muu pyörittely lienee tarpeen.

Eksponenttifunktion määritelmä on:

Vertaa tuota saamaasi lausekkeeseen, niin huomaat varmaan mikä sijoitus pitää tehdä.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Hospitaali
Seuraa 
Viestejä76
Liittynyt1.10.2006
Gödel
Nyt iski eteen varsin pirullinen raja-arvo tehtävä.
Pitäisi laskea raja-arvo lausekkeelle

(1/x*arcsin(x))^(1/x^2)

kun x lähestyy nollaa.

Vastauskin on tiedossa ( e^(1/6) likimain 1.18136 )
mutta millä ihmeellä siihen pääsisi?

Yksi keino on käyttää tuttua ja turvallista l'Hospitalin sääntöä. Otat ensin
logaritmin lausekkeesta. Seuraavaksi tarkistat, että l'Hospitalin säännön oletukset ovat voimassa. Alat sinnikkäästi derivoimaan osoittajaa ja nimittäjää. Iteroit muutaman kerran ja saat lopulta vastaukseksi 1/6.
Alkuperäisen lausekkeen raja-arvo on silloin e^(1/6).
Menetelmän laillisuus lepää huteralla pohjalla, mutta veikkaan, että kaikki välivaihteet pystyy perustelmaan, jos näkee vaivaa.

Vierailija
hmk
Gödel

=> lim(y->inf)(1+(1/36)/y)^(6y) ja mitenkä sitten??

Tästä tosin tulee tuo e^(1/6),ainakin tietokoneella, mutta vielä toinenkin sijoitus tai jonkinlainen muu pyörittely lienee tarpeen.




Eksponenttifunktion määritelmä on:

Vertaa tuota saamaasi lausekkeeseen, niin huomaat varmaan mikä sijoitus pitää tehdä.

Jep. Olisi jo aluksi voinut sijoittaa y=1/x^2 eikä mitään kuutosta
tuonne sotkemaan.

Uusimmat

Suosituimmat