Seuraa 
Viestejä45973

Nyt iski eteen varsin pirullinen raja-arvo tehtävä.
Pitäisi laskea raja-arvo lausekkeelle

(1/x*arcsin(x))^(1/x^2)

kun x lähestyy nollaa.

Vastauskin on tiedossa ( e^(1/6) likimain 1.18136 )
mutta millä ihmeellä siihen pääsisi?

Kommentit (5)

Tep
Seuraa 
Viestejä827

Riippuu miten tarkkaan pitää laskea. Jos ottaa arcsin x sarjasta 2 ensimmäistä termiä x +x³/6 ja sijoittaa lausekkeeseen 6x² = 1/y, niin löytyy e:n määritelmä, kun y menee äärettömiin. Jos kuitenkin pitää näyttää, ettei sarjan loppuosa vaikuta, niin tulee enemmän töitä.

Tep
Riippuu miten tarkkaan pitää laskea. Jos ottaa arcsin x sarjasta 2 ensimmäistä termiä x +x³/6 ja sijoittaa lausekkeeseen 6x² = 1/y, niin löytyy e:n määritelmä, kun y menee äärettömiin. Jos kuitenkin pitää näyttää, ettei sarjan loppuosa vaikuta, niin tulee enemmän töitä.

(1/x)*(x+(1/6)x^3+q)^(1/x^2),jossa q=loput termit

(q=3/40*x^5+5/112*x^7+.....)

sij. 6x^2=1/y=>

(1+(1/6)x^2+p)^(1/x^2) = (1+(1/36)(1/y)+p)^(6y) ja

nyt siis y->ääretöntä ja p=(3/40)(1/36)/y^2+(5/112)(1/216)/y^3.....

siis p->nollaa eli voitaneen ajatella ettei vaikuta.

=> lim(y->inf)(1+(1/36)/y)^(6y) ja mitenkä sitten??

Tästä tosin tulee tuo e^(1/6),ainakin tietokoneella, mutta vielä toinenkin sijoitus tai jonkinlainen muu pyörittely lienee tarpeen.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
hmk
Seuraa 
Viestejä1086
Gödel

=> lim(y->inf)(1+(1/36)/y)^(6y) ja mitenkä sitten??

Tästä tosin tulee tuo e^(1/6),ainakin tietokoneella, mutta vielä toinenkin sijoitus tai jonkinlainen muu pyörittely lienee tarpeen.

Eksponenttifunktion määritelmä on:

Vertaa tuota saamaasi lausekkeeseen, niin huomaat varmaan mikä sijoitus pitää tehdä.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Hospitaali
Seuraa 
Viestejä76
Gödel
Nyt iski eteen varsin pirullinen raja-arvo tehtävä.
Pitäisi laskea raja-arvo lausekkeelle

(1/x*arcsin(x))^(1/x^2)

kun x lähestyy nollaa.

Vastauskin on tiedossa ( e^(1/6) likimain 1.18136 )
mutta millä ihmeellä siihen pääsisi?

Yksi keino on käyttää tuttua ja turvallista l'Hospitalin sääntöä. Otat ensin
logaritmin lausekkeesta. Seuraavaksi tarkistat, että l'Hospitalin säännön oletukset ovat voimassa. Alat sinnikkäästi derivoimaan osoittajaa ja nimittäjää. Iteroit muutaman kerran ja saat lopulta vastaukseksi 1/6.
Alkuperäisen lausekkeen raja-arvo on silloin e^(1/6).
Menetelmän laillisuus lepää huteralla pohjalla, mutta veikkaan, että kaikki välivaihteet pystyy perustelmaan, jos näkee vaivaa.

hmk
Gödel

=> lim(y->inf)(1+(1/36)/y)^(6y) ja mitenkä sitten??

Tästä tosin tulee tuo e^(1/6),ainakin tietokoneella, mutta vielä toinenkin sijoitus tai jonkinlainen muu pyörittely lienee tarpeen.




Eksponenttifunktion määritelmä on:

Vertaa tuota saamaasi lausekkeeseen, niin huomaat varmaan mikä sijoitus pitää tehdä.

Jep. Olisi jo aluksi voinut sijoittaa y=1/x^2 eikä mitään kuutosta
tuonne sotkemaan.

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat