Miksi todellisuus noudattaa normaalijakaumaa?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Miksi monet asiat noudattavat juuri normaalijakaumaa? Näin luonnontieteisiin syvällisesti perehtymättömän mielestä normaalijakauma vaikuttaa jopa epäloogiselta, koska todennäköisyys saada odotusarvosta yhä poikkeavampia arvoja ei pienene lineaarisesti, vaan käyrä kaareutuu kahdesti päinvastaisiin suuntiin.

Tuon kauimmaisen kaareutumisen ymmärrän, eli todennäköisyys ei saavuta koskaan nollaa, mutta miksi käyrä kaareutuu myös lähellä odotusarvoa?

Sivut

Kommentit (17)

Vierailija
Juha
Miksi monet asiat noudattavat juuri normaalijakaumaa? Näin luonnontieteisiin syvällisesti perehtymättömän mielestä normaalijakauma vaikuttaa jopa epäloogiselta, koska todennäköisyys saada odotusarvosta yhä poikkeavampia arvoja ei pienene lineaarisesti, vaan käyrä kaareutuu kahdesti päinvastaisiin suuntiin.

Jos jakauman muoto olisi lineaarinen, sittenhän siinä pitäisi olla jyrkkä kulma huipulla. Sehän se vasta epäluonnollista on.

Vierailija

Miksi? Todennäköisyys saada odotusarvo on suurin ja mitä kauemmaksi odotusarvosta mennään, sitä epätodennäköisempää on saada tällainen havainto.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Eiköhän tuo selity ihan sillä, että suurien poikkeamien määrä vähenee lähetessä kumpaakin ääripäätä ja vastaavasti pienten poikkeamin määrä lisääntyy lähestyttäessä keskimääräistä arvoa.

Vierailija
David
Eiköhän tuo selity ihan sillä, että suurien poikkeamien määrä vähenee lähetessä kumpaakin ääripäätä ja vastaavasti pienten poikkeamin määrä lisääntyy lähestyttäessä keskimääräistä arvoa.

Tuokaan ei mielestäni selitä sitä, miksi muutos ei ole tasaista. Alussa kaareutuu, sitten muutos on lineaarista ja sitten taas kaareutuu.

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005
Juha

Tuon kauimmaisen kaareutumisen ymmärrän, eli todennäköisyys ei saavuta koskaan nollaa, mutta miksi käyrä kaareutuu myös lähellä odotusarvoa?

Normaalijaukauman tiheysfunktiolla

on vain yksi maksimikohta, joka on sen derivaatan (kulmakertoimen) ainoa nollakohta. Kuvaajan perusteella se on kohdassa [x = 0], koska siinä kohdassa funktion kulmakerroin = 0.
Ts. se kaareutuu lähellä odotusarvoa, koska siinä kohdassa todennäköisyys saada odotusarvo on suurin (ja koska funktio on jatkuva).

∞ = ω^(1/Ω)

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Juha
David
Eiköhän tuo selity ihan sillä, että suurien poikkeamien määrä vähenee lähetessä kumpaakin ääripäätä ja vastaavasti pienten poikkeamin määrä lisääntyy lähestyttäessä keskimääräistä arvoa.



Tuokaan ei mielestäni selitä sitä, miksi muutos ei ole tasaista. Alussa kaareutuu, sitten muutos on lineaarista ja sitten taas kaareutuu.

Kyllä se niin käsittääkseni menee, lähellä keskimääräistä arvoa on paljon arvoja, jotka poikkeavat vain vähän keskimääräisestä arvosta. Käyrä lähestyy kummastakin suunnasta vaakatasoa. Välialueilla muutos on suhteellisen lineaarista.

Joku palstan matemaatikoista voisi tietysti johtaa tuon käyrän muodostuksen. Käsittääkseni sen pitäisi pohjautua jonkuntyyppiseen sarja-analyysiiin.

Tokihan tuo normaalijakauman käyrä on vain abroksimaatio todelliseen tilanteeseen nähden.

Edit: Näköjään Derz jo ehtikin antamaan hieman tarkempaa tietoa.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26848
Liittynyt16.3.2005

Luonnossa johonkin satunnaiseen tekijään vaikuttaa lukuisia tekijöitä. Vaikka nyt ihmisen pituuteen. Siihen vaikuttaa suuri joukko eri geenejä, ravitsemustila kasvun eri vaiheissa ja niin edelleen. Jokainen noista vaikuttaa erikseen omalla jakaumallaan, ja lopputulos on noiden jakaumien summa.

Matemaattisesti osoittautuu, että jos summataan toisistaan riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden jakauma on mikä tahansa, summan jakauma on sitä lähempänä normaalijakaumaa mitä enemmän summattavia tekijöitä on. Itse en osaa tuota lausetta johtaa, enkä edes muista nähneeni johtoa, mutta edistyksellisemmistä todennäköisyyslaksennan oppikirjoista johto luullakseni löytyy.

Vierailija
Juha
Miksi monet asiat noudattavat juuri normaalijakaumaa?

Sentapaisilla hauilla kuin "Golden mean in nature" saadaan runsaasti aineistoa, joka osoittaa, että luonnon muotojen rakentumista hallitsee kultaisen leikkauksen periaate. Se taas on yhteydessä Fibonaccin lukuihin. Ja nämä taas "kätkeytyvät" binomijakauman perustana olevaan Pascalin kolmioon. Ja hyvin suurella otantamäärällä binomijakauma voi approksimoida Gaussin käyrää.

Lukujen lait hallitsevat siis materiassa ja jollain mekanismilla pakottavat asiat tapahtumaan tietynsuuntaisesti, tässä tapauksessa siis kultaisen leikkauksen ja sille sukua olevien todennäköisyysjakaumien mukaisesti.

Mikä tuo mekanismi on, lienee toistaiseksi hämärän peitossa, mutta veikkaisin "syylliseksi" vakuumissa tapahtuvaa "suunnattua" Brownin liikkeen kaltaista, mutta luonnollisesti paljon komplisoidumpaa, vakuumin mikrodefektitason tekijää (defekteistä hyviä kuvia esim. haulla "liquid crystals defect pictures" yms.)

Vierailija

noniin. pitkästä aikaa linjoilla.

Normaalijakauma on "aproksimaatio" binomijakaumasta. Tätä aproksimaatiota käytetään sen takia, että se on huomattavasi ripeämpi laskea kuin tavalliset binomitodennäköisyydet. Varsinkin kun luvut ovat isoja. Oma casio-laskimeni ei esimerkiksi selviydy 69 kertomaa suuremmista kertomista.

Vierailija
Neutroni
Matemaattisesti osoittautuu, että jos summataan toisistaan riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden jakauma on mikä tahansa, summan jakauma on sitä lähempänä normaalijakaumaa mitä enemmän summattavia tekijöitä on. Itse en osaa tuota lausetta johtaa, enkä edes muista nähneeni johtoa, mutta edistyksellisemmistä todennäköisyyslaksennan oppikirjoista johto luullakseni löytyy.

Keskeiselle raja-arvolauseelle löytyy yleistajuinen selitys esim. täältä:

http://elonen.iki.fi/articles/centralli ... .html#demo

Vierailija

Täällä tulikin jo paljon hyviä vastauksia. Haluan vielä esittää yhden yksinkertaisen esimerkin Juhalle, miksi jakauma ei voi olla lineaarinen; esität, että odotusarvosta lähtien tiheysfunktion arvo pienenisi lineaarisesti. Silloinhan tämä suora leikkaa x-akselin eli nollatason jossakin vaiheessa. Jos odotusarvo (korkein kohta) olisi vaikkapa y-akselilla korkeudella b>0, niin tämä olisi tiheysfunktiosuorien y=kx+b ja y=-kx+b (k>0) leikkauspiste. Silloin x-akselin leikkauspisteet saataisiin yhtälöistä kx+b=0 ja -kx+b=0 ja leikkauspisteet olisivat x=±b/k. Kun vielä käytetään hyväksi tietoa, että tiheysfunktio rajaa pinta-alan yksi (siis puolikas pinta-alan puoli) niin saadaan puolikas kolmion pinta-alana ½·b/k·b = ½ => k=b². Siis x-akselin leikkauspisteet ovat x = ±b/k = ±b/b² = ±1/b. Itsekin jo totesit, että on luonnollista, ettei tiheysfunktio koskaan saavuta x-akselia, joten ei se malli silloin voi olla lineaarinen.

o_turunen
Seuraa 
Viestejä10604
Liittynyt16.3.2005

Luonto noudattaa täsmälleen normaalijakaumaa. Tällä tavalla on luonto
helpottaa tilastonikkareiden töitä. Tilastonikkareiden ei edes tarvitse yrittää
selittää sitä, miksi on olemassa ihmisiä, joiden pituus tai älykkyysosamäärä
on negatiivinen, tai vaikkapa 2^11.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.
Korant: Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Vierailija
P.S.V.
Juha
Miksi monet asiat noudattavat juuri normaalijakaumaa?



Sentapaisilla hauilla kuin "Golden mean in nature" saadaan runsaasti aineistoa, joka osoittaa, että luonnon muotojen rakentumista hallitsee kultaisen leikkauksen periaate. Se taas on yhteydessä Fibonaccin lukuihin. Ja nämä taas "kätkeytyvät" binomijakauman perustana olevaan Pascalin kolmioon. Ja hyvin suurella otantamäärällä binomijakauma voi approksimoida Gaussin käyrää.

Lukujen lait hallitsevat siis materiassa ja jollain mekanismilla pakottavat asiat tapahtumaan tietynsuuntaisesti, tässä tapauksessa siis kultaisen leikkauksen ja sille sukua olevien todennäköisyysjakaumien mukaisesti.

Mikä tuo mekanismi on, lienee toistaiseksi hämärän peitossa, mutta veikkaisin "syylliseksi" vakuumissa tapahtuvaa "suunnattua" Brownin liikkeen kaltaista, mutta luonnollisesti paljon komplisoidumpaa, vakuumin mikrodefektitason tekijää (defekteistä hyviä kuvia esim. haulla "liquid crystals defect pictures" yms.)

"Vanha" Savolainen selitys selittää myös tämän ilimiön eli kaikkihan perustuu paineen vaihteluun.

Savor

;):)

Kosh
Seuraa 
Viestejä21228
Liittynyt16.3.2005
Savor

"Vanha" Savolainen selitys selittää myös tämän ilimiön eli kaikkihan perustuu paineen vaihteluun.

Selitys joka selittää aivan kaiken, ei selitäkään enää yhtään mitään. Koska sellaista kaipaat, usosittelen jotakin lyhyempää ja yksinkertaismepaa, sekä vileäkin selitysvoimaisempaa. Oma ehdotukseni on: trolli.

Se oli kivaa niin kauan kuin sitä kesti.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat