Osoita/todista/perustele Taylorin polynomit

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Heippa matikkahirmut ja muutkin!

Olen jo jonkun aikaa etsinyt yksinkertaista todistusta/perustelua Taylorin polynomien oikeellisuudesta.
Hienointa olisi saada jonkinlainen graafinen, helppotajuinen perustelu tähän päättymättömään sarjaan. En oikein jaksa uskoa etteikö sellaista olisi, koska kokemukseni mukaan näihin perusmatikkajutuihin tuppaa aina olemaan jokin yksinkertainen perustelu/todistus/johtaminen.

Kahden ensimmäisen termin johtaminen tuskin on yrittäjille ylivoimainen, mutta miten tämän jälkeen?

Kommentit (4)

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Taylorin polynomit ovat muotoa P_{n,a}(x)=sum_{k=0}^n f^{(n)}(a)/{k!}(x-a)^k. Tällainen on selvästi olemassa, kunhan f on n:sti derivoituva. Nyt voidaan määrittää jäännöstermi asettamalla R_{n,a}(x)=f(x)-P_{n,a}(x). Tämäkin on selvästi olemassa, joten pitää vain osoittaa, että tämä suppenee, kun n kasvaa rajatta. Taylorin lauseen mukaan jäännöstermille saadaan haluttu muoto ja tämän suppeneminen lähellä x_0, jonka ympärille polynomi on kehitetty, nähdään siitä, että kun (x-x_0)<1, (x-x_0)^n->0, joten myös (x-x_0)^n/n! ->0, kun n -> infty, sillä kertoma kasvaa nopeammin kuin potenssi.

Vai haetko kenties jotain muuta? Taylorin polynomi voidaan kehittää myös useamman muuttujan riittävän säännöllisille funktioille.

Vierailija

Perustellaanpas vielä maanläheisemmin. Tarkastellaan esimerkiksi n. asteen Taylorin polynomia P(x), joka on kehitetty funktiolle f(x) origon suhteen. Tällöinhän polynomi on muotoa

P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +... a_n x^n.

Taylorin polynomi määritellään siten, että funktion ja polynomin derivaatat yhtyvät origossa n. kertalukuun saakka, toisin sanoen täytyy olla D^n P(0) = D^n f(0). Tämä derivaattojen yhtäsuuruus takaa sen, että polynomi käyttäytyy juuri funktion f tavoin.

Oletetaan että haluat tietää Taylorin polynomin kolmannen asteen termin kertoimen a_3. Tällöin kolmesti polynomia derivoimalla ja sitten sijoituksen x=0 tekemällä (juuri tässä järjestyksessä!) saat P'''(0) = 3! a_3. Kaikki muut termit siis katoavat. Koska tämän derivaatan täytyi olla yhtä suuri kuin alkuperäisen funktion kolmas derivaatta origossa, saadaan kertoimeksi

a_3 = f'''(0) / 3!.

Yleisemmin n. asteen termin kerroin on

a_n = D^n f(0) / n!

Origo kehityskeskuksena muodostettua Taylorin sarjaa kutsutaan monasti Maclaurinin sarjaksi.

EDIT: kysymyksesi ilmeisesti koski lähinnä päättymätöntä Taylorin polynomia, jota siis kutsutaan Taylorin sarjaksi. Matemaatikkojen hienot lauseet sanovat, että sellainen polynomi on olemassa ainakin jossain alueessa, joten meille riittää muodostaa sellainen yllämainitulla algoritmilla. Muilutetaan n (eli viedään rajalle n=ääretön), jolloin tuloksena on päättymätön polynomi, jonka kaikki derivaatat yhtyvät alkuperäiseen funktioon kehityskeskuksessa. Tällainen hieman abstrakti polynomi kuvaa sileän funktion käyttäytymistä "täydellisesti".

Vierailija

Tankkes vastauksista!

Molemmat vastaukset olivat ihan valaisevia, tosin vieläkin mietin sen graafisen osoituksen/todistuksen olemassaoloa... ehkäpä se vain odottaa poimijaansa jossakin matematiikka-avaruudessa

Vierailija

Taylorin sarjojen johdon voi varmaan tehdä helpollakin tavalla. Itse olen kuitenkin nähnyt vain johdon kompleksianalyysissä Gaussin integraalikaavaa käyttäen. Ihan järkeenkäypä oli, mutta ei jäänyt mieleen niin hyvin, että osaisin itse tehdä vastaavaa. Lisäksi pitäisi ensin todistaa Gaussin integraalikaava ennen kuin sitä voi lähteä soveltelemaan.

Ettei unohdu, kompleksianalyysissä todistettu kaavahan pätee myös reaaliluvuille, koska nekin voidaan tulkita kompleksiluvuiksi. Tarkalleen ottaen siis niille reaaliluvuille, jotka suppenemiskiekolle osuvat.

Uusimmat

Suosituimmat