Seuraa 
Viestejä45973

Osoita, että lg3 on irrationaaliluku.

Tuo ei oikein aukea.. Jos joku voisi alulle laitta nii eiköhän se siitä sitten lähde. Epäilisin, että vasta oletust pitää tehdä?

Kommentit (17)

Taisit olla matematiikkakilpailun avoimessa sarjassa tänään?
Enpä itsekään tuota uskaltanut lähteä edes yrittämään, mutta jälkikäteen harmittaa, kun kaveri näytti oman ratkaisunsa, joka oli tosi yksinkertainen. Helpot pisteet meni sivu suun.
Eiköhän joku matemaatikko tarjoa oikean vastauksen pikapuoliin.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Hjpt
Taisit olla matematiikkakilpailun avoimessa sarjassa tänään?
Enpä itsekään tuota uskaltanut lähteä edes yrittämään, mutta jälkikäteen harmittaa, kun kaveri näytti oman ratkaisunsa, joka oli tosi yksinkertainen. Helpot pisteet meni sivu suun.
Eiköhän joku matemaatikko tarjoa oikean vastauksen pikapuoliin.

Tuo oli ainoa kysymysmerkki kokeessa. Muuten koe oli aika peruskamaa. Ihmettytti vain miksi olivat niin helpon tehtävän niistä ympyröistä laittaneet.

Tehdään vastaoletus lg 3 = m/n, tällöin
10 ^ m/n = 3
10^m = 3^n
Ei ole mahdollista, voidaan osoittaa jaollisuudella (10^n ei ole jaollinen luvulla 3).

Matalasen Jussi
Hjpt
Taisit olla matematiikkakilpailun avoimessa sarjassa tänään?
Enpä itsekään tuota uskaltanut lähteä edes yrittämään, mutta jälkikäteen harmittaa, kun kaveri näytti oman ratkaisunsa, joka oli tosi yksinkertainen. Helpot pisteet meni sivu suun.
Eiköhän joku matemaatikko tarjoa oikean vastauksen pikapuoliin.



Tuo oli ainoa kysymysmerkki kokeessa. Muuten koe oli aika peruskamaa. Ihmettytti vain miksi olivat niin helpon tehtävän niistä ympyröistä laittaneet.

No kerroppa miten se vika meni. x^2+y^2+z^2=1, osoita, että 8xyz<(4/3)Pii

Massi^-

No kerroppa miten se vika meni. x^2+y^2+z^2=1, osoita, että 8xyz<(4/3)Pii

Tuohan oikein huutaa pallokoordinaatistoon siirtymistä, mutta niitäpä ei tainnut lukiossa olla. Eikä kyllä Lagrangen kertoimiakaan. Nooh kyllä ne fiksuimmat keinot keksii ilmankin.

deriva
Massi^-

No kerroppa miten se vika meni. x^2+y^2+z^2=1, osoita, että 8xyz<(4/3)Pii



Tuohan oikein huutaa pallokoordinaatistoon siirtymistä, mutta niitäpä ei tainnut lukiossa olla. Eikä kyllä Lagrangen kertoimiakaan. Nooh kyllä ne fiksuimmat keinot keksii ilmankin.

Kyllähän minä nyt sen tajusin, että kyseessä on pallon yhtälö. En ole niin fiksu, että keksisin keinoja. Kerro ne keinot siis.

Massi^-
deriva
Massi^-

No kerroppa miten se vika meni. x^2+y^2+z^2=1, osoita, että 8xyz<(4/3)Pii



Tuohan oikein huutaa pallokoordinaatistoon siirtymistä, mutta niitäpä ei tainnut lukiossa olla. Eikä kyllä Lagrangen kertoimiakaan. Nooh kyllä ne fiksuimmat keinot keksii ilmankin.

Kyllähän minä nyt sen tajusin, että kyseessä on pallon yhtälö. En ole niin fiksu, että keksisin keinoja. Kerro ne keinot siis.

Itse en heti hoksi miten tuo menee lukion tiedoilla, enkä jaksa alkaa sitä nyt yrittämäänkään. Enkä todellakaan väittänytkään ettet tajuaisi kyseessä olevan pallon yhtälö. Pallokoordinaatistoon siirtyminen tarkoittaa muuttujanvaihdoksia x=r sin(u)cos(v), y=r sin(u)sin(v) ja z=r cos(u). Sitten vain sijoitetaan noi funktioon, hoksataan että r=1 ja pienellä päättelyllä sekä tarvittaessa derivoimalla saadaan funktion arvo maksimoitua, kun u kuuluu välille [0,pi] ja v välille [0,2 pi]. Joku muu kertokoon miten toi menee lukion tiedoilla.

pöhl
Seuraa 
Viestejä964

Jos yksikköpalloon x^2+y^2+z^2=1 sijoittaa laatikon, jonkä kärjet ovat (+-x,+-y,+-z), on laatikon tilavuus 8xyz, ja se on selvästi pienempi kuin pallon tilavuus 4/3 pii.

Puuhikki
Jos yksikköpalloon x^2+y^2+z^2=1 sijoittaa laatikon, jonkä kärjet ovat (+-x,+-y,+-z), on laatikon tilavuus 8xyz, ja se on selvästi pienempi kuin pallon tilavuus 4/3 pii.

Varsin ovelaa, hienoa

Puuhikki
Jos yksikköpalloon x^2+y^2+z^2=1 sijoittaa laatikon, jonkä kärjet ovat (+-x,+-y,+-z), on laatikon tilavuus 8xyz, ja se on selvästi pienempi kuin pallon tilavuus 4/3 pii.

Eikö tässä pitänyt osoittaa, että pallon pinnan joka pisteessä pätee seuraava ehto?

8xyz<(4/3)Pii

Siirrytään pallokoordinaatteihin, kuten joku ehdotti.

x = r * cos(a) * sin(b)
y = r * sin(a) * sin(b)
z = r * cos(b)

x^2 + y^2 + z^2 = 1
=> r^2 * (cos(a)^2 * sin(b)^2 + sin(a)^2 * sin(b)^2 + cos(b)^2)
= r^2 * (sin(b)^2 * (cos(a)^2 + sin(a)^2) + cos(b)^2)
= r^2 * (sinb(b)^2 + cos(b)^2)
= r^2 = 1 => r = 1

( sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1 )

8*x*y*z = 8*cos(a)*sin(b)*sin(a)*sin(b)*cos(b)
= 4 * sin(2a) * sin(b)^2 * cos(b)

( sin(2x) = 2sin(x)*cos(x) )

-1 <= sin(2a) <= 1
-1 <= sin(b)^2 <= 1
-1 <= cos(b) <= 1

Täten 8*x*y*z on korkeintaan 4. Onko se pienempi kuin (4/3)Pii?
Edit: Paremmin sanottuna se ei voi mitenkään olla suurempi kuin 4.

4 < (4/3)Pii
<=> 3 < Pii

Tiedetään, että pii on suurempi kuin kolme. Täten tehtävä on ratkaistu. Enkä käyttänyt kuin MAOL:n kaavoja. Edit: Saisi helpolla myös paljon tarkemman arvon.

zat
Puuhikki
8xyz<=8((x^2+y^2+z^2)/3)^(3/2)=8/(3 sqrt 3)<4 pii/3.



Toi on kyllä nätti ratkaisu.

Mutta pahasti puutteellinen, sori vaan Puuhikki. Ensimmäisen epäyhtälön perusteleminen on ratkaisutavassasi koko homman juju, ja se juju jäi nyt tekemättä. Ajatus ilmeisesti oli, että sellaisista suorakulmaisista särmiöistä, joilla on yhtä pitkä avaruuslävistäjä, suurimman tilavuuden saa kuutiolla. Edes tämän maininta ei riitä, vaan se pitää perustella. Menee ääriarvo-ongelmaksi. Lisäksi esitetyn ratkaisun yhtäsuuruusmerkkikin pitäisi perustella vähintään sanoilla "oletuksen nojalla", mutta tämä nyt on lillukan varsia epäyhtälön perustelemiseen verrattuna. Lisäksi välivaiheita saisi olla enemmän näkyvissä.

Ajatuksen kulkuna ratkaisu kylläkin on hieno, kunhan puutteet olisi korjattu.

Puuhikki
Eikös tuo epäyhtälö seuraa suoraan Jensenin epäyhtälöstä?

No ei se ihan suoraan seuraa. Varmaan tuohon tulokseen on mahdollista päästä soveltamalla Jensenin epäyhtälöä useaan kertaan, mutta kuten sanottu, suoraan se ei siitä seuraa. Jensenin epäyhtälön mukaan

³√xyz ≤ (x+y+z)/3

ja siitä suoraan seuraa

xyz ≤ [(x+y+z)/3]³

mikä ei ole ekvivalentti oman versiosi

xyz ≤ √[(x²+y²+z²)/3]³

kanssa.

pöhl
Seuraa 
Viestejä964

Minä käytin ensiksi Jenseniä funktioon x^{3/2}. Tämä on konveksi kun x>=0. Sain

(l1x+l2y+l3z)^{3/2} <= l1x^{3/2}+l2y^{3/2}+l3z^{3/2}, missä l1+l2+l3=1. Kerrotaan molemmat puolet -1:llä:
l1x^{3/2}+l2y^{3/2}+l3z^{3/2}<=(l1x+l2y+l3z)^{3/2}. Valitaan l1=l2=l3=1/3, jolloin
1/3(x^{3/2}+y^{3/2}+z^{3/2})<=(1/3(x+y+z))^{3/2}. Olkoon x=x'^2, y=y'^2 ja z=z'^2. Nyt
1/3(x'^3+y'^3+z'^3)<=1/sqrt(27)(x'^2+y'^2+z'^2)^(3/2). Nyt kuitenkin aritmeettis-geometrisen epäyhtälön perusteella x'y'z'<=1/3(x'^3+y'^3+z'^3).

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat