Apua logiikan ongelmaan

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Osoita, että lg3 on irrationaaliluku.

Tuo ei oikein aukea.. Jos joku voisi alulle laitta nii eiköhän se siitä sitten lähde. Epäilisin, että vasta oletust pitää tehdä?

Sivut

Kommentit (17)

Vierailija

Taisit olla matematiikkakilpailun avoimessa sarjassa tänään?
Enpä itsekään tuota uskaltanut lähteä edes yrittämään, mutta jälkikäteen harmittaa, kun kaveri näytti oman ratkaisunsa, joka oli tosi yksinkertainen. Helpot pisteet meni sivu suun.
Eiköhän joku matemaatikko tarjoa oikean vastauksen pikapuoliin.

Vierailija
Hjpt
Taisit olla matematiikkakilpailun avoimessa sarjassa tänään?
Enpä itsekään tuota uskaltanut lähteä edes yrittämään, mutta jälkikäteen harmittaa, kun kaveri näytti oman ratkaisunsa, joka oli tosi yksinkertainen. Helpot pisteet meni sivu suun.
Eiköhän joku matemaatikko tarjoa oikean vastauksen pikapuoliin.

Tuo oli ainoa kysymysmerkki kokeessa. Muuten koe oli aika peruskamaa. Ihmettytti vain miksi olivat niin helpon tehtävän niistä ympyröistä laittaneet.

Vierailija

Tehdään vastaoletus lg 3 = m/n, tällöin
10 ^ m/n = 3
10^m = 3^n
Ei ole mahdollista, voidaan osoittaa jaollisuudella (10^n ei ole jaollinen luvulla 3).

Vierailija
Matalasen Jussi
Hjpt
Taisit olla matematiikkakilpailun avoimessa sarjassa tänään?
Enpä itsekään tuota uskaltanut lähteä edes yrittämään, mutta jälkikäteen harmittaa, kun kaveri näytti oman ratkaisunsa, joka oli tosi yksinkertainen. Helpot pisteet meni sivu suun.
Eiköhän joku matemaatikko tarjoa oikean vastauksen pikapuoliin.



Tuo oli ainoa kysymysmerkki kokeessa. Muuten koe oli aika peruskamaa. Ihmettytti vain miksi olivat niin helpon tehtävän niistä ympyröistä laittaneet.

No kerroppa miten se vika meni. x^2+y^2+z^2=1, osoita, että 8xyz<(4/3)Pii

Vierailija
Massi^-

No kerroppa miten se vika meni. x^2+y^2+z^2=1, osoita, että 8xyz<(4/3)Pii

Tuohan oikein huutaa pallokoordinaatistoon siirtymistä, mutta niitäpä ei tainnut lukiossa olla. Eikä kyllä Lagrangen kertoimiakaan. Nooh kyllä ne fiksuimmat keinot keksii ilmankin.

Vierailija
deriva
Massi^-

No kerroppa miten se vika meni. x^2+y^2+z^2=1, osoita, että 8xyz<(4/3)Pii



Tuohan oikein huutaa pallokoordinaatistoon siirtymistä, mutta niitäpä ei tainnut lukiossa olla. Eikä kyllä Lagrangen kertoimiakaan. Nooh kyllä ne fiksuimmat keinot keksii ilmankin.

Kyllähän minä nyt sen tajusin, että kyseessä on pallon yhtälö. En ole niin fiksu, että keksisin keinoja. Kerro ne keinot siis.

Vierailija
Massi^-
deriva
Massi^-

No kerroppa miten se vika meni. x^2+y^2+z^2=1, osoita, että 8xyz<(4/3)Pii



Tuohan oikein huutaa pallokoordinaatistoon siirtymistä, mutta niitäpä ei tainnut lukiossa olla. Eikä kyllä Lagrangen kertoimiakaan. Nooh kyllä ne fiksuimmat keinot keksii ilmankin.

Kyllähän minä nyt sen tajusin, että kyseessä on pallon yhtälö. En ole niin fiksu, että keksisin keinoja. Kerro ne keinot siis.

Itse en heti hoksi miten tuo menee lukion tiedoilla, enkä jaksa alkaa sitä nyt yrittämäänkään. Enkä todellakaan väittänytkään ettet tajuaisi kyseessä olevan pallon yhtälö. Pallokoordinaatistoon siirtyminen tarkoittaa muuttujanvaihdoksia x=r sin(u)cos(v), y=r sin(u)sin(v) ja z=r cos(u). Sitten vain sijoitetaan noi funktioon, hoksataan että r=1 ja pienellä päättelyllä sekä tarvittaessa derivoimalla saadaan funktion arvo maksimoitua, kun u kuuluu välille [0,pi] ja v välille [0,2 pi]. Joku muu kertokoon miten toi menee lukion tiedoilla.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Jos yksikköpalloon x^2+y^2+z^2=1 sijoittaa laatikon, jonkä kärjet ovat (+-x,+-y,+-z), on laatikon tilavuus 8xyz, ja se on selvästi pienempi kuin pallon tilavuus 4/3 pii.

Vierailija
Puuhikki
Jos yksikköpalloon x^2+y^2+z^2=1 sijoittaa laatikon, jonkä kärjet ovat (+-x,+-y,+-z), on laatikon tilavuus 8xyz, ja se on selvästi pienempi kuin pallon tilavuus 4/3 pii.

Varsin ovelaa, hienoa

Vierailija
Puuhikki
Jos yksikköpalloon x^2+y^2+z^2=1 sijoittaa laatikon, jonkä kärjet ovat (+-x,+-y,+-z), on laatikon tilavuus 8xyz, ja se on selvästi pienempi kuin pallon tilavuus 4/3 pii.

Eikö tässä pitänyt osoittaa, että pallon pinnan joka pisteessä pätee seuraava ehto?

8xyz<(4/3)Pii

Siirrytään pallokoordinaatteihin, kuten joku ehdotti.

x = r * cos(a) * sin(b)
y = r * sin(a) * sin(b)
z = r * cos(b)

x^2 + y^2 + z^2 = 1
=> r^2 * (cos(a)^2 * sin(b)^2 + sin(a)^2 * sin(b)^2 + cos(b)^2)
= r^2 * (sin(b)^2 * (cos(a)^2 + sin(a)^2) + cos(b)^2)
= r^2 * (sinb(b)^2 + cos(b)^2)
= r^2 = 1 => r = 1

( sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1 )

8*x*y*z = 8*cos(a)*sin(b)*sin(a)*sin(b)*cos(b)
= 4 * sin(2a) * sin(b)^2 * cos(b)

( sin(2x) = 2sin(x)*cos(x) )

-1 <= sin(2a) <= 1
-1 <= sin(b)^2 <= 1
-1 <= cos(b) <= 1

Täten 8*x*y*z on korkeintaan 4. Onko se pienempi kuin (4/3)Pii?
Edit: Paremmin sanottuna se ei voi mitenkään olla suurempi kuin 4.

4 < (4/3)Pii
<=> 3 < Pii

Tiedetään, että pii on suurempi kuin kolme. Täten tehtävä on ratkaistu. Enkä käyttänyt kuin MAOL:n kaavoja. Edit: Saisi helpolla myös paljon tarkemman arvon.

Vierailija
zat
Puuhikki
8xyz<=8((x^2+y^2+z^2)/3)^(3/2)=8/(3 sqrt 3)<4 pii/3.



Toi on kyllä nätti ratkaisu.

Mutta pahasti puutteellinen, sori vaan Puuhikki. Ensimmäisen epäyhtälön perusteleminen on ratkaisutavassasi koko homman juju, ja se juju jäi nyt tekemättä. Ajatus ilmeisesti oli, että sellaisista suorakulmaisista särmiöistä, joilla on yhtä pitkä avaruuslävistäjä, suurimman tilavuuden saa kuutiolla. Edes tämän maininta ei riitä, vaan se pitää perustella. Menee ääriarvo-ongelmaksi. Lisäksi esitetyn ratkaisun yhtäsuuruusmerkkikin pitäisi perustella vähintään sanoilla "oletuksen nojalla", mutta tämä nyt on lillukan varsia epäyhtälön perustelemiseen verrattuna. Lisäksi välivaiheita saisi olla enemmän näkyvissä.

Ajatuksen kulkuna ratkaisu kylläkin on hieno, kunhan puutteet olisi korjattu.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat