Seuraa 
Viestejä45973

Niin,kummalla on enemmän luonollisia lukuja eurooppalaisilla vai amerikkalaisilla? Eräs heppu mietti tätä (en muista nimeä) niin paljon ja lopulta joutui mielisairaalaan. Euroopalaisillahan on luonn.luvut: 0,1,2,3,4,...
Amerikkalaislla on: 1,2,3,4,...
Mutta luonn.lukuja on loputun määrä,kummalla on silti enemmän?

Kommentit (20)

Yhtä paljon niitä on.

Euroopalaisillahan on luonn.luvut: 0,1,2,3,4,...

Täälläpäin luonnolliset luvut kyllä alkavat yhdestä. En muusta Euroopasta tai Amerikasta osaa sanoa.

Nollan kuuluminen luonnollisiin lukuihin on ihan sopimusasia. Välistä luonnolliset luvut määritellään positiivisten kokonaislukujen joukkona ja toisinaan taas ei negatiivisten kokonaislukujen joukkona. Molemmissa tapauksissa niitä on "yhtä paljon", eli mahtavuus on joukoilla sama aleph0.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
hmk
Seuraa 
Viestejä1081

Kuten Snaut ja zat sanoivat.

Ei tämä ole mikään äänestyskysymys. Joukko-opissa joukkojen kokoa mitataan niiden mahtavuudella, joka on sama sekä positiivisille että ei-negatiivisille kokonaisluvuille. Mitäs jos jollain "amerikkalaisella" olisi vaikkapa ongelmia oikeinkirjoituksen kanssa, ja hän käyttäisi ykköselle symbolia 0, kakkoselle symbolia 1, jne? Tällöinhän hän kirjoittaisi joukon {1, 2, 3, 4, ...} muodossa {0, 1, 2, 3, ...}. Koska joukon alkioiden lukumäärä ei riipu siitä, millä "fontilla" alkiot kirjoitetaan, on selvää, että molemmissa joukoissa on yhtä paljon alkioita.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Neutroni
Seuraa 
Viestejä33695
-minelle-
Pakkohan niitä on samanverran olla, ääretön kummallakin.



Tässä tapauksessa lukuja on saman verran. Luvut nollasta alkaen voidaan tosiaan uudelleennimetä niin, että nollasta tulee ykkönen, ykkösestä kakkonen ja niin edelleen. Jokaiselle luvulle n löytyy luku n+1 ja ongelmaa ei ole.

Kaikki äärettömän monta alkiota sisältävät joukot eivät kuitenkaan ole yhtä mahtavia. Esimerkiksi reaalilukuja ei voi vastaavalla tavalla numeroida, eli liittää jokaiseen reaalilukuun joku luonnollinen luku. Reaalilukujen joukko on siis mahtavampi (eli siinä on enemmän alkioita) kuin luonnollistenlukujen.

teini
Ei ääretön voi olla isompi kuin ääretön+1

Ei ääreton ole mikään luku, jolla voi laskea laskutoimituksia. Milloin äärettömiä laskutoimituksissa esiintyy, tarkoitetaan raja-arvoja mutta jätetään vain se kirjoittamatta.

Neutroni
Ei ääreton ole mikään luku, jolla voi laskea laskutoimituksia. Milloin äärettömiä laskutoimituksissa esiintyy, tarkoitetaan raja-arvoja mutta jätetään vain se kirjoittamatta.

Paitsi laajennetulla reaalilukualueella, siis R∪{−∞,+∞}. Siellä on määritelty joitan aritmeettisiä operaatioita kuten a/±∞=0 kun −∞

Snaut
[quote author="Neutroni"]Ei ääreton ole mikään luku, jolla voi laskea laskutoimituksia. Milloin äärettömiä laskutoimituksissa esiintyy, tarkoitetaan raja-arvoja mutta jätetään vain se kirjoittamatta.



Paitsi laajennetulla reaalilukualueella, siis R∪{−∞,+∞}. Siellä on määritelty joitan aritmeettisiä operaatioita kuten a/±∞=0 kun −∞
Ovatko ne silloin määritelty ihan suoraan, että ei tarvitse laittaa sitä lim-merkintää?

Massi^-
Snaut
[quote author="Neutroni"]Ei ääreton ole mikään luku, jolla voi laskea laskutoimituksia. Milloin äärettömiä laskutoimituksissa esiintyy, tarkoitetaan raja-arvoja mutta jätetään vain se kirjoittamatta.



Paitsi laajennetulla reaalilukualueella, siis R∪{−∞,+∞}. Siellä on määritelty joitan aritmeettisiä operaatioita kuten a/±∞=0 kun −∞
Ovatko ne silloin määritelty ihan suoraan, että ei tarvitse laittaa sitä lim-merkintää?

Kyllä vain. Täältä voit katsoa mitä operaatioita äärettömyyksille laajennetussa reaalilukujoukossa yleensä määritellään: http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line

Huomaa, että tässäkin joukossa a/0 on määrittelemätön, se ei siis ole yhtä kuin ∞.

Snaut
Huomaa, että tässäkin joukossa a/0 on määrittelemätön, se ei siis ole yhtä kuin ∞.

Niin sitähän ei voida määritellä, koska se voisi yhtä hyvin olla -∞. a/0 voitaisiin varmaan määritellä laajennetussa ei-negatiivisten reaalilukujen joukossa. Tai vastaavasti ei-positiivisten.

pöhl
Seuraa 
Viestejä956
Snaut
Huomaa, että tässäkin joukossa a/0 on määrittelemätön, se ei siis ole yhtä kuin ∞.

Yleensä reaalililuvut laajennetaan siten, että a/0=∞, kun a>0 ja a/0=-∞, kun a<0. 0/0 ei ole määritelty. Lähde: Ilkka Holopainen: Mitta ja integraali.

Puuhikki
Snaut
Huomaa, että tässäkin joukossa a/0 on määrittelemätön, se ei siis ole yhtä kuin ∞.

Yleensä reaalililuvut laajennetaan siten, että a/0=∞, kun a>0 ja a/0=-∞, kun a<0. 0/0 ei ole määritelty. Lähde: Ilkka Holopainen: Mitta ja integraali.

Tuo on yksi tapa mutta en kyllä sanoisi sitä kovin yleiseksi. Yleensä asia nimittäin jätetään määrittelemättä. Muitakin laajentamistapoja on tämän ja sen Wikipediassa mainitun lisäksi, mutta tuo Wikipediassa mainittu on kyllä ehdottomasti käytetyin.

Snaut
Puuhikki
Snaut
Huomaa, että tässäkin joukossa a/0 on määrittelemätön, se ei siis ole yhtä kuin ∞.

Yleensä reaalililuvut laajennetaan siten, että a/0=∞, kun a>0 ja a/0=-∞, kun a<0. 0/0 ei ole määritelty. Lähde: Ilkka Holopainen: Mitta ja integraali.



Tuo on yksi tapa mutta en kyllä sanoisi sitä kovin yleiseksi. Yleensä asia nimittäin jätetään määrittelemättä. Muitakin laajentamistapoja on tämän ja sen Wikipediassa mainitun lisäksi, mutta tuo Wikipediassa mainittu on kyllä ehdottomasti käytetyin.

Eikös tämä nyt mene saivarteluksi, kun intellään mikä on yleisin ja mikä ei ole yleisin tapa. Jokainen katsoo asiaa oman työnsä vinkkelistä ja tutustuu siihen osaan matematiikkaa parhaiten. Silloin saa herkästi vaikutelman, että itselle tutuin tapa on se yleisin, vaikkei näin aina välttämättä ole.

Kale
Snaut
Puuhikki
Snaut
Huomaa, että tässäkin joukossa a/0 on määrittelemätön, se ei siis ole yhtä kuin ∞.

Yleensä reaalililuvut laajennetaan siten, että a/0=∞, kun a>0 ja a/0=-∞, kun a<0. 0/0 ei ole määritelty. Lähde: Ilkka Holopainen: Mitta ja integraali.



Tuo on yksi tapa mutta en kyllä sanoisi sitä kovin yleiseksi. Yleensä asia nimittäin jätetään määrittelemättä. Muitakin laajentamistapoja on tämän ja sen Wikipediassa mainitun lisäksi, mutta tuo Wikipediassa mainittu on kyllä ehdottomasti käytetyin.

Eikös tämä nyt mene saivarteluksi, kun intellään mikä on yleisin ja mikä ei ole yleisin tapa. Jokainen katsoo asiaa oman työnsä vinkkelistä ja tutustuu siihen osaan matematiikkaa parhaiten. Silloin saa herkästi vaikutelman, että itselle tutuin tapa on se yleisin, vaikkei näin aina välttämättä ole.

Matematiikka tuntuukin usein jopa saivartelulta, mutta ei tämä laajennusasia ja sen yleisyys täysin toisarvoinen ole. Nimittäin eri tavat laajentaa reaalilukujen joukkoa antavat sille eri ominaisuudet, ja useimmiten kun laajennettua joukkoa vain merkitään R yläviivalla, niin pahaakin sekaannusta voi tulla. Tässä mielessä se a/0 on ehkäpä se vaarallisin.

Snaut
Matematiikka tuntuukin usein jopa saivartelulta, mutta ei tämä laajennusasia ja sen yleisyys täysin toisarvoinen ole. Nimittäin eri tavat laajentaa reaalilukujen joukkoa antavat sille eri ominaisuudet, ja useimmiten kun laajennettua joukkoa vain merkitään R yläviivalla, niin pahaakin sekaannusta voi tulla. Tässä mielessä se a/0 on ehkäpä se vaarallisin.

Ei tietenkään se ole toisarvoista, enkä minä sitä tarkoittanutkaan. Olen jopa samaa mieltä kanssasi tämän a/0 -tapauksen määritelmästä. En tosin tiedä onko se kaikkein vaarallisin - saattaa olla - mutta samaan kategoriaan kuuluu myös 0·∞, joka useimmiten (vaaralinen sana) jätetään määrittelemättömäksi, mutta toisinaan määritellään nollaksi.

Kale
Snaut
Matematiikka tuntuukin usein jopa saivartelulta, mutta ei tämä laajennusasia ja sen yleisyys täysin toisarvoinen ole. Nimittäin eri tavat laajentaa reaalilukujen joukkoa antavat sille eri ominaisuudet, ja useimmiten kun laajennettua joukkoa vain merkitään R yläviivalla, niin pahaakin sekaannusta voi tulla. Tässä mielessä se a/0 on ehkäpä se vaarallisin.

Ei tietenkään se ole toisarvoista, enkä minä sitä tarkoittanutkaan. Olen jopa samaa mieltä kanssasi tämän a/0 -tapauksen määritelmästä. En tosin tiedä onko se kaikkein vaarallisin - saattaa olla - mutta samaan kategoriaan kuuluu myös 0·∞, joka useimmiten (vaaralinen sana) jätetään määrittelemättömäksi, mutta toisinaan määritellään nollaksi.

Niin, kyllähän tuo ilmaisu "useimmiten" voi harhaanjohtava olla, ihan mittausteknisistäkin syistä. Tuo 0.∞=0 kuuluu tosiaankin samaan kategoriaan ja itse en ole tavannut kyseistä määritystä muualla kuin stokastisten prosessien yhteydessä mittateoriassa.

...Ja sitten on tietenkin laajennettu komplilukitaso. Siihen kuuluvat tietenkin kaikki kompleksiluvut ja alkio 'ääretön'. Siis ainoastaan yksi ääretön...

Snaut
Niin, kyllähän tuo ilmaisu "useimmiten" voi harhaanjohtava olla, ihan mittausteknisistäkin syistä. Tuo 0.∞=0 kuuluu tosiaankin samaan kategoriaan ja itse en ole tavannut kyseistä määritystä muualla kuin stokastisten prosessien yhteydessä mittateoriassa.

Sielläpä siellä!

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat