Luonollist luvut

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Niin,kummalla on enemmän luonollisia lukuja eurooppalaisilla vai amerikkalaisilla? Eräs heppu mietti tätä (en muista nimeä) niin paljon ja lopulta joutui mielisairaalaan. Euroopalaisillahan on luonn.luvut: 0,1,2,3,4,...
Amerikkalaislla on: 1,2,3,4,...
Mutta luonn.lukuja on loputun määrä,kummalla on silti enemmän?

Sivut

Kommentit (20)

Vierailija

Yhtä paljon niitä on.

Euroopalaisillahan on luonn.luvut: 0,1,2,3,4,...

Täälläpäin luonnolliset luvut kyllä alkavat yhdestä. En muusta Euroopasta tai Amerikasta osaa sanoa.

Vierailija

Nollan kuuluminen luonnollisiin lukuihin on ihan sopimusasia. Välistä luonnolliset luvut määritellään positiivisten kokonaislukujen joukkona ja toisinaan taas ei negatiivisten kokonaislukujen joukkona. Molemmissa tapauksissa niitä on "yhtä paljon", eli mahtavuus on joukoilla sama aleph0.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005

Kuten Snaut ja zat sanoivat.

Ei tämä ole mikään äänestyskysymys. Joukko-opissa joukkojen kokoa mitataan niiden mahtavuudella, joka on sama sekä positiivisille että ei-negatiivisille kokonaisluvuille. Mitäs jos jollain "amerikkalaisella" olisi vaikkapa ongelmia oikeinkirjoituksen kanssa, ja hän käyttäisi ykköselle symbolia 0, kakkoselle symbolia 1, jne? Tällöinhän hän kirjoittaisi joukon {1, 2, 3, 4, ...} muodossa {0, 1, 2, 3, ...}. Koska joukon alkioiden lukumäärä ei riipu siitä, millä "fontilla" alkiot kirjoitetaan, on selvää, että molemmissa joukoissa on yhtä paljon alkioita.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26853
Liittynyt16.3.2005
-minelle-
Pakkohan niitä on samanverran olla, ääretön kummallakin.



Tässä tapauksessa lukuja on saman verran. Luvut nollasta alkaen voidaan tosiaan uudelleennimetä niin, että nollasta tulee ykkönen, ykkösestä kakkonen ja niin edelleen. Jokaiselle luvulle n löytyy luku n+1 ja ongelmaa ei ole.

Kaikki äärettömän monta alkiota sisältävät joukot eivät kuitenkaan ole yhtä mahtavia. Esimerkiksi reaalilukuja ei voi vastaavalla tavalla numeroida, eli liittää jokaiseen reaalilukuun joku luonnollinen luku. Reaalilukujen joukko on siis mahtavampi (eli siinä on enemmän alkioita) kuin luonnollistenlukujen.

teini
Ei ääretön voi olla isompi kuin ääretön+1

Ei ääreton ole mikään luku, jolla voi laskea laskutoimituksia. Milloin äärettömiä laskutoimituksissa esiintyy, tarkoitetaan raja-arvoja mutta jätetään vain se kirjoittamatta.

Vierailija
Neutroni
Ei ääreton ole mikään luku, jolla voi laskea laskutoimituksia. Milloin äärettömiä laskutoimituksissa esiintyy, tarkoitetaan raja-arvoja mutta jätetään vain se kirjoittamatta.

Paitsi laajennetulla reaalilukualueella, siis R∪{−∞,+∞}. Siellä on määritelty joitan aritmeettisiä operaatioita kuten a/±∞=0 kun −∞

Vierailija
Snaut
[quote author="Neutroni"]Ei ääreton ole mikään luku, jolla voi laskea laskutoimituksia. Milloin äärettömiä laskutoimituksissa esiintyy, tarkoitetaan raja-arvoja mutta jätetään vain se kirjoittamatta.



Paitsi laajennetulla reaalilukualueella, siis R∪{−∞,+∞}. Siellä on määritelty joitan aritmeettisiä operaatioita kuten a/±∞=0 kun −∞
Ovatko ne silloin määritelty ihan suoraan, että ei tarvitse laittaa sitä lim-merkintää?

Vierailija
Massi^-
Snaut
[quote author="Neutroni"]Ei ääreton ole mikään luku, jolla voi laskea laskutoimituksia. Milloin äärettömiä laskutoimituksissa esiintyy, tarkoitetaan raja-arvoja mutta jätetään vain se kirjoittamatta.



Paitsi laajennetulla reaalilukualueella, siis R∪{−∞,+∞}. Siellä on määritelty joitan aritmeettisiä operaatioita kuten a/±∞=0 kun −∞
Ovatko ne silloin määritelty ihan suoraan, että ei tarvitse laittaa sitä lim-merkintää?

Kyllä vain. Täältä voit katsoa mitä operaatioita äärettömyyksille laajennetussa reaalilukujoukossa yleensä määritellään: http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line

Huomaa, että tässäkin joukossa a/0 on määrittelemätön, se ei siis ole yhtä kuin ∞.

Vierailija
Snaut
Huomaa, että tässäkin joukossa a/0 on määrittelemätön, se ei siis ole yhtä kuin ∞.

Niin sitähän ei voida määritellä, koska se voisi yhtä hyvin olla -∞. a/0 voitaisiin varmaan määritellä laajennetussa ei-negatiivisten reaalilukujen joukossa. Tai vastaavasti ei-positiivisten.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
Snaut
Huomaa, että tässäkin joukossa a/0 on määrittelemätön, se ei siis ole yhtä kuin ∞.

Yleensä reaalililuvut laajennetaan siten, että a/0=∞, kun a>0 ja a/0=-∞, kun a<0. 0/0 ei ole määritelty. Lähde: Ilkka Holopainen: Mitta ja integraali.

Vierailija
Puuhikki
Snaut
Huomaa, että tässäkin joukossa a/0 on määrittelemätön, se ei siis ole yhtä kuin ∞.

Yleensä reaalililuvut laajennetaan siten, että a/0=∞, kun a>0 ja a/0=-∞, kun a<0. 0/0 ei ole määritelty. Lähde: Ilkka Holopainen: Mitta ja integraali.

Tuo on yksi tapa mutta en kyllä sanoisi sitä kovin yleiseksi. Yleensä asia nimittäin jätetään määrittelemättä. Muitakin laajentamistapoja on tämän ja sen Wikipediassa mainitun lisäksi, mutta tuo Wikipediassa mainittu on kyllä ehdottomasti käytetyin.

Vierailija
Snaut
Puuhikki
Snaut
Huomaa, että tässäkin joukossa a/0 on määrittelemätön, se ei siis ole yhtä kuin ∞.

Yleensä reaalililuvut laajennetaan siten, että a/0=∞, kun a>0 ja a/0=-∞, kun a<0. 0/0 ei ole määritelty. Lähde: Ilkka Holopainen: Mitta ja integraali.



Tuo on yksi tapa mutta en kyllä sanoisi sitä kovin yleiseksi. Yleensä asia nimittäin jätetään määrittelemättä. Muitakin laajentamistapoja on tämän ja sen Wikipediassa mainitun lisäksi, mutta tuo Wikipediassa mainittu on kyllä ehdottomasti käytetyin.

Eikös tämä nyt mene saivarteluksi, kun intellään mikä on yleisin ja mikä ei ole yleisin tapa. Jokainen katsoo asiaa oman työnsä vinkkelistä ja tutustuu siihen osaan matematiikkaa parhaiten. Silloin saa herkästi vaikutelman, että itselle tutuin tapa on se yleisin, vaikkei näin aina välttämättä ole.

Vierailija
Kale
Snaut
Puuhikki
Snaut
Huomaa, että tässäkin joukossa a/0 on määrittelemätön, se ei siis ole yhtä kuin ∞.

Yleensä reaalililuvut laajennetaan siten, että a/0=∞, kun a>0 ja a/0=-∞, kun a<0. 0/0 ei ole määritelty. Lähde: Ilkka Holopainen: Mitta ja integraali.



Tuo on yksi tapa mutta en kyllä sanoisi sitä kovin yleiseksi. Yleensä asia nimittäin jätetään määrittelemättä. Muitakin laajentamistapoja on tämän ja sen Wikipediassa mainitun lisäksi, mutta tuo Wikipediassa mainittu on kyllä ehdottomasti käytetyin.

Eikös tämä nyt mene saivarteluksi, kun intellään mikä on yleisin ja mikä ei ole yleisin tapa. Jokainen katsoo asiaa oman työnsä vinkkelistä ja tutustuu siihen osaan matematiikkaa parhaiten. Silloin saa herkästi vaikutelman, että itselle tutuin tapa on se yleisin, vaikkei näin aina välttämättä ole.

Matematiikka tuntuukin usein jopa saivartelulta, mutta ei tämä laajennusasia ja sen yleisyys täysin toisarvoinen ole. Nimittäin eri tavat laajentaa reaalilukujen joukkoa antavat sille eri ominaisuudet, ja useimmiten kun laajennettua joukkoa vain merkitään R yläviivalla, niin pahaakin sekaannusta voi tulla. Tässä mielessä se a/0 on ehkäpä se vaarallisin.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat