KILPAILU: Pallon pinnan täyttäminen tasasivuisillakolmioilla

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Eli tehtävänä pallon pinnan täyttäminen tasasivuisten kolmioiden kärkipisteillä aukottomasti. Kuinka monella tasasivuisella kolmiolla tai siis kolmioiden kärkipisteillä pallon pinnan voi täyttää aukottomasti? Pienimmästä mahdollisesta määrästä kärkipisteiden rajaamia kolmioita saa yhden pisteen ja seuraavista 2,3,4.. jne pistettä. Onko helppo, vai eikö kukaan osaa?

Sivut

Kommentit (18)

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Kuinka monellako tasasivuisella kolmiolla...

Jos kolmioiden on oltava samankokoisia, vastaan kahdellakymmenellä kolmiolla.

Kolmion kärkipisteitä mahtuu kaksitoista pallon pinnalle.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija
Radius
Eli tehtävänä pallon pinnan täyttäminen tasasivuisten kolmioiden kärkipisteillä aukottomasti. Kuinka monella tasasivuisella kolmiolla tai siis kolmioiden kärkipisteillä pallon pinnan voi täyttää aukottomasti? Pienimmästä mahdollisesta määrästä kärkipisteiden rajaamia kolmioita saa yhden pisteen ja seuraavista 2,3,4.. jne pistettä. Onko helppo, vai eikö kukaan osaa?

1. Neljällä kolmiolla vähimmillään. Neljä kärkipistettä
2. Kahdellakymmenellä kolmiolla seuraavaksi. 12 kärkipistettä.
Enempää en jaksa tai osaa laskea.
Oliko oikein?

Vierailija

Tälläisen kysymyksen aiheesta löysin muuten Googlella, josta tuon minimimäärän eli neljän kärkipisteen ja kolmion löysin;)

"Osaisiko joku laittaa tänne ensimmäiset kolme pienintä
kärkipistejoukkoa/tasasivuisten kolmioiden määrää joilla pallon pinnan
pystyy täyttämään säännöllisesti ilman aukkoja tasasivuisilla kolmioilla.
Tetraedri pallon sisällä jonka kärkipisteet ovat pallon pinnalla
toteuttavat ilmeisesti yksinkertaisimmin tämän neljällä kärkipisteellä
ja neljällä kolmiolla, mutta mitkä ovat seuraavat kolme pienintä
kärkipiste/kolmiomäärää jotka pallon pinnan täyttävät säännöllisesti
ilman aukkoja?"

Lienee aika vaikeaa kun sfnet.matematiikka ryhmässä vastauksia ei ole tullut yhtään. No täällä lienee paljon viisaampaa väkeä.

Vierailija
Armando

Lienee aika vaikeaa kun sfnet.matematiikka ryhmässä vastauksia ei ole tullut yhtään. No täällä lienee paljon viisaampaa väkeä.

Vitut nää pellet mitään tiedä.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Ikosaedri on monitahoisin säännöllinen monitahokas.

Jos kolmioiden kärjet halutaan pallolle tasaisin välein, ei taida olla enempää mahdollista saada sopimaan kuin nuo mainitut kaksikymmentä kolmiota (kaksitoista kärkipistettä).

Johtuu yksinkertaisesti siitä että jos laitetaan kuudelle tasasivuiselle kolmiolle yksi yhteinen piste, kolmiot muodostavat tason, jolloin kolmioiden kärkiä ei voi sijoittaa pallon sisälle. Näin siis euklidisessa avaruudessa...

Viiden kolmion yksi yhteinen piste toimii vielä, ja tällöin syntyy siis ikosaedri.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija

Jos siihen pallon pinnalle piirtää kolme pistettä säännöllisten välimatkojen päähän toisistaan ja piirtää näistä viivan ensimmäisestä toisen ja kolmannen kautta takaisin ensimmäiseen, muodostuu molemmille puolille kolmio, joten vastaus on, että kahdella kolmiolla.

Yhden kolmion kulmien summaksi tosin tulee 540 astetta ja ne näyttävät perspektiivistä riippuen ympyröiltä tai äärettömän pitkiltä suorilta, mutta pikkuvikoja. Kulmia ne on oikokulmatkin. Samalla periaatteella voikin sitten laskea saman kaksikulmioille, yksikulmioille ja n-kulmioille.

Tämmöinen tuli kotitehtäväksi:
Lineaarikuvausta L:R^3->R^3 kannassa U vastaa matriisi M. Määrää L(x,y,z).

Tehtävässä on annettu kanta U ja lineaarikuvauksen L matriisi M kannassa U, muttei kerrota missä kannassa L(x,y,z) pitää määrätä. Pitääkö se tällaisissa tilanteissa laskea esim. ortonormaalissa kannassa vai voiko olettaa, että tarkoitetaan kantaa U, mistä oli puhetta koko tehtävän ajan?

Vierailija

Jos nyt jotain asiaakin yrittäisi kirjoittaa välillä...
Jos tasasivuisen kolmion kannan puolesta välistä piirtää janan vastakkaisen kulmaan, tuloksena on kaksi kolmiota, jotka ovat identtiset ja kooltaan puolet alkuperäisestä, eli eikös niitä kolmioita mahdu siten erottelukyvyn rajoissa äärettömästi?

mattile71
Seuraa 
Viestejä198
Liittynyt6.9.2006

Helpoimmin onnistuu 4 kolmiolla.
seuraavaksi helpoiten 16 kolmiota.
sitten 64 kolmiota.
sitten 256 kolmiota.
sitten 1024 kolmiota.

Tein tuosta noin 1.5 vuotta sitten tietokoneohjelman,
voin laittaa nettiin pyydettäessä.

M

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
mattile71
Helpoimmin onnistuu 4 kolmiolla.
seuraavaksi helpoiten 16 kolmiota.
sitten 64 kolmiota.
sitten 256 kolmiota.
sitten 1024 kolmiota.

Tein tuosta noin 1.5 vuotta sitten tietokoneohjelman,
voin laittaa nettiin pyydettäessä.

Aloitit tetraedristä ja jaoit sitten aina kolmiot neljään osaan niin että sivujen keskipisteisiin tuli uudet kärjet. Siirsit uudet kärjet pallon pinnalle. Ainakin ikosaedristä lähtien tuolla tavalla saa visuaalisesti erinomaisia pallon approksimaatioita, mutta kolmiot eivät ole tasasivuisia.

Mikäli alkuperäisessä tehtävässä vaaditaan aidosti kolmiulotteista monitahokasta, vaihtoehdot ovat tetraedri, oktaedri ja ikosaedri. Oktaedriä en huomannut mainitun keskustelussa. Se on kaksi neliöpohjaista pyramidia pohjistaan yhteenliitettynä.

mattile71
Seuraa 
Viestejä198
Liittynyt6.9.2006
Neutroni

Aloitit tetraedristä ja jaoit sitten aina kolmiot neljään osaan niin että sivujen keskipisteisiin tuli uudet kärjet. Siirsit uudet kärjet pallon pinnalle. Ainakin ikosaedristä lähtien tuolla tavalla saa visuaalisesti erinomaisia pallon approksimaatioita, mutta kolmiot eivät ole tasasivuisia.

neliöpohjaista pyramidia pohjistaan yhteenliitettynä.

Jep tetraedri nimenomaan.
Sivut ovat väkisinkin tasasivuisia.Huomaa missä kohtaa
on pallon keskipiste !.
Siirtyminen 2-uloitteisesta 3-uloitteeseen ei muuta sitä tosiseikkaa,että
sivujen pituudet ovat saman pituisia.

(Muistin väärin, tietokoneohjelmani aloitusmuoto ei ollut tetraedri,
vaan oktasaedri.Laitan nettiin tulemaan tetraedri-version,jos innostun
koodaamaan.*Vain* tetraedri aloitusmuotona saa tasasivuisia kolmioita
loputtomiin)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
mattile71

Siirtyminen 2-uloitteisesta 3-uloitteeseen ei muuta sitä tosiseikkaa,että
sivujen pituudet ovat saman pituisia.

Kyllä se muuttaa. Kun jaetaan yksi kolmio neljäksi ja siirretään uudet kärjet pallopinnalle, kolmen ooden kolmioin yksi kärki pysyy paikallaan, mutta kaksi liikkuu. Kaksi sivua pysyvät siis yhtä pitkinä (toisiinsa verrattuna), mutta kolmannen pituus muuttuu eri tavalla. Keskelle jäävä uusi kolmio pysyy tasasivuisena.

Asian voi hahmottaa myös geometrisesti. Tasasivuisen kolmion kulma on 60 astetta. Jos yhdistetään kuusi tasasivuista kolmiota kärjestä, yhteinen kulma on 360 astetta. Se on täysi ympyrä ja kolmiot sijoittuvat tasolle. Tasoa voidaan täyttää äärettömiin tasasivuisilla kolmioilla, mutta kaareva pinta vaarii kulmien muuttamista kolmea poikkeusta lukuunottamatta. Yhdistämällä 5 tasasivuista kolmiota kärjestään ja toistamalla rakennetta saadaan ikosaedri, neljällä kolmiolla vastaavasti oktaedri ja kolmella tetraedri. Kaksi kolmiota menevät päällekkäin eivätkä enää muodosta rakennetta.

Vierailija

Tehtävänannossa ei sanottu, tuleeko lopputuloksen muistuttaa palloa. Riittävän iso tetraedri, niin peittyy pallo kuin pallo. Siis neljä kolmiota, neljä kärkipistettä.

Vierailija

Neljällä kolmiolla saa peitettyä vasta puolipallon pinta-alan. Koko pallon peitoksi tarvitaan siis kahdeksan tasasivuista kolmiota.

Ja jokaisen kolmion kulmien summa on 270 astetta. Jos ei pidä paikkaansa niin oikaiskaa mielellään.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005

Ei tässä pallokolmioista mitään puhuttu. Mutta jos niitä silti tarkoitettiin, neljä taitaa olla riittävä määrä siihenkin. Projisoi vaan tetraedrin pallolle, niin saa neljä pallokolmiota, joiden kulmien summa on 360 astetta.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat