Intergointitehtävä - miten lasketaan?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Yritin huvikseni laskea ympyrän pinta-alaa integroimalla. Olin nähnyt mallia vuosia sitten eräästä matikan kirjasta, mutta kirjastosta se oli sitten lainattu, joten kysyn mieluummin täältä.

x^2 + y^2 = r^2
y = sqrt(r^2-x^2)

4 ∫ sqrt(r^2-x^2)

Tuohon se sitten kaatui. miten jatkan?

Sivut

Kommentit (16)

Vierailija

Olen ymmärtänyt että tuo funktio ei ole integroituva, itsekin sitä pähkäilin joskus. Ympyrän alan voi kyllä integroida ainakin dx:n paksuisilla sisäkkäisillä ympyröillä.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Käytä napakoordinaatistoa, tai sitten integroi kahdessa osassa, ensin x-akselin yläpuoli ja kerro kahdella.

Edit: tai sitten ehdottamallasi tavalla lasket sen neljänneksen alan ja kerrot neljällä.
tuossa integroitaessa pitää tehdä muuttujan vaihto. Onko se tuttu käsite? Esim. korvaa muuttujan x/r sin(t):llä.

Voin näyttää, jos ei ole tuttua.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Tässä samalla kun integroitte niin voisiko joku antaa jonkun linkin hyvälle sivustolle jossa käydään läpi integrointi peruskoulumatematiikkapohjalta.

Ymmärrän integroinnin tarkoituksen jossain määrin mutten osaa integroida.

Vierailija

Joo sijoitusta vaan x=rsint jolloin dx=rcostdt

ja rajatkin muuttuu:

yläraja: x=r=rsint=>t=Pi/2
alaraja:x=0=rsint=>t=0

Siis I=4Int(Pi/2->0) r^2*sqrt(1-(sint)^2)*costdt

=4r^2*Int(Pi/2->0)(cost)^2dt.....jne.

Vierailija

Mutta miten tuo neliöjuurifunktio integroidaan? Ja tuossa x = r sin t, mikä kulma on t? Ja eihän sinillä tuu viereistä kateettia (x-akseli) vaan vastainen kateetti?

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
sakvaka
Mutta miten tuo neliöjuurifunktio integroidaan? Ja tuossa x = r sin t, mikä kulma on t? Ja eihän sinillä tuu viereistä kateettia (x-akseli) vaan vastainen kateetti?

Tuo neliöjuurifunktio ei integroidu ihan suoraan helposti. (ellei ole satumaisen hyvä arvaamaan) Siksi tuo muuttujanvaihtomenettely toimii tässä helpommin. Ei tuota t:n merkitystä tarvitse geometrisesti miettiä, vaan tuossa sijoitus on tehty vain siksi, että tuon sijoituksen tekemällä pääsee eroon tuosta neliöjuurifunktiosta ja tulee helpommin integroitava lauseke.

Tämä oli jo kirjoitettu, mutta kertaus ei varmaan haittaa.

Jos ei ole koskaan muuttujanvaihdosta kuullut, niin tuo voi vaikuttaa vähän oudolta.

sqrt(r²-x²) = r*sqrt(1-x²/r²) ja sijoituksella x/r=sin(t) tulee r*sqrt(1-sin²(t)) =r*cos(t)

Ja vielä tarvitaan se muunnos minkä suhteen integroidaan:

d(x/r)/dt = d(sin(t))/dt = cos(t)
=>dx = r*cos(t)dt

ja sijoitus lausekkeeseen dx*:n paikalle.

sitten vain vielä integrointirajojen tarkastelu, kuten Gödel kirjoitti ja integroimaan.

tulee lauseke Int(r²cos²(t))dt

ja vielä tuossa voi käyttää kaavaa cos²(t)= 1/2(1+cos(2t)) ja alkaa olla jo helppoa.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Ai niin, jos tuo muuttujanvaihto on hankalan oloista, niin sitten helppona ratkaisuna voi koittaa tuota Edun tarjoamaa menetelmää. Ei tarvitse muuttujanvaihtoja, eikä napakoordinaatistoja.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
sakvaka
Mutta miten tuo neliöjuurifunktio integroidaan? Ja tuossa x = r sin t, mikä kulma on t? Ja eihän sinillä tuu viereistä kateettia (x-akseli) vaan vastainen kateetti?

int(sqrt(r^2-x^2)dx = ½x*sqrt(r^2-x^2) + ½r^2*arcsin(x/r)

Vierailija

Rupesin äsken itsekin miettimään miten kyseisessä muuttujan vaihdossa rajat saa laskennallisesti kohdalleen.

Eli ongelmahan on selvittää integraali

A = ∫∫dydx

kun integroimisvälit ovat
y=-sqrt(R² -x²)...sqrt(R² -x²])
x = -R...R

Noh ongelmaa ei muodosta sijoitus
y = rsin(t)
x = rcos(t)

eikä differentiointi

dx = cos(t)dr - rsin(t)dt
dy = sin(t)dr + rcos(t)dt

eli [dx; dy] = [cos(t) -rsin(t); sin(t) rcos(t)][dr; dt]
eli [dx; dy] = [J][dr; dt]

ja että dxdy = det([J])drdt = ... = rdrdt

mutta sitten ongelmallinen kohta on se, että mistä saan laskettua integromisvälit r = 0..R ja t = 0..2pi.

Tottakain tiedän ne luonnostaan ja muutenkin asia on selvä jos vaikka kuvasta katsoo. Mutta entä jos tälläistä päätelmää jostain syystä ei tehtäisi. Mistä saataisiin rajat laskettua integraaliin

A = ∫∫det([J])drdt = ∫∫rdrdt

kun alkuperäsen integraalin rajat olivat

y1 = -sqrt(R² -x²)
y2 = sqrt(R² -x²)

x1 = -R
x2 = R

ja tehty muuttujan vaihto oli

y = rsin(t)
x = rcos(t)

???

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
boner
Rupesin äsken itsekin miettimään miten kyseisessä muuttujan vaihdossa rajat saa laskennallisesti kohdalleen.

Eli ongelmahan on selvittää integraali

A = ∫∫dydx

kun integroimisvälit ovat
y=-sqrt(R² -x²)...sqrt(R² -x²])
x = -R...R

Hmm, jos meinaat laskea integraalin kahden muuttujan suhteen, niin helpointa on suosiolla siirtyä napakoordinaatistoon. Mutta tuo avauksen lausekehan voidaan siis integroida pelkän yhden muuttujan integraalina. (kuvaajan sqrt(r²-x²) pinta-ala)

Edit: näköjään napakoordinaatistoon siirtohan tuossa sinulla olikin ajatuksena. Ei kai siinä ongelmaa synny...? Hmm, katsotaan.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
boner
Rupesin äsken itsekin miettimään miten kyseisessä muuttujan vaihdossa rajat saa laskennallisesti kohdalleen.

Eli ongelmahan on selvittää integraali

A = ∫∫dydx

kun integroimisvälit ovat
y=-sqrt(R² -x²)...sqrt(R² -x²])
x = -R...R

Tuossahan on ongelmana siis se, että jos lasket tuo integraalin karteesisessa koordinaatistossa, niin nuo integroimisrajat eivät ole tuollainen "kateesisen koordinaatiston laatikko" Tuo olisi neliön ala!

Edit: eipäs olekaan, kun y:n rajoina oli siis nuo neliöjuurilausekkeet. Sorry sekoilu.

Napakoordinaatistossa, jossa tuo kahden muuttujan integrinti onnistuu, kun integrointirajat ovat aidosti integraalissa A = ∫∫rdrdfii suoraan [0,R]x[0,2Pii]

Jospa mietin varsinaista kysymystäsi uudelleen.

Jollain konstilla pitäisi nähdä tuosta, että jokaista pistettä (r,fii) vastaa tuolla alueella [0,R] ja [pii,0] jokin (x,y) piste, joka voidaan ilmaista x:n funktiona...(kuten alkuperäisissä rajoissa)

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Juuh noinhan se on että r,t koordinaatistossa integrointialue on "laatikko". Kysymykseni oli kuitenkin että miten saan laskennallisesti määritettyä että x,y-koordinaatiston ympyrän kuva todella on laatikko tuossa koordinaatistossa ja että rajat todella ovar r = 0..R ja t = 0..2pi? Oletetaan siis että olen tehnyt "sokean" sijoituksen
x = rcos(t)
y = rsin(t)

eikä minulla olisi hajuakaan että r tarkoittaa etäisyyttä origosta tai t kyseisen paikkavektorin ja positiivisen x-akselin välistä kulmaa. Eli en siis omalla päättelyllä ohjaa tehtävää minnekään vaan matematiikan pitää selvitä hommasta ihan itse. Onnistuuko se? Vai onko tämä tälläinen "manuaaliohjattu" tehtävä.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Tuli vielä herättyä...

Jospa sitä voisi päätellä "sokean sijoituksen" jälkeen näin:

Voidaan varmaan pitää melko triviaalina, mitä karteesisessa koordinaatistossa etäisyydellä tarkoitetaan. Tuo integrointialueen reuna on joukko, jossa etäisyys origosta on R. Ja reunan sisään jäävät pisteet kuuluvat integrointialueelle. (reunan etäisyys origosta on siis helppo tarkistaa niistä integrointialueen rajoista)

Noh, kun tehdään tuo koordinaatiston muunnos rajaamalla r epänegatiiviseksi, ja todetaan, että tuo muunnos on bijektio (formaalisti, jos intoa riittää) lukuunottamatta fiin arvoa 0 tai 2Pii. (valitaan tuo alue sinin tunnettujen ominaisuuksien nojalla)Poistetaan 2Pii integrointialueelta, koska se on nollamittainen joukko. (Lebesguen mielessä).

Nyt katsotaan mitä tarkoittaa muunnetuissa koordinaatistoissa tuon integrointialueen reuna, joka koostuu pisteistä , joiden etäisyys on R origosta. Etäisyys on siis karteesisessa koordinaatistossa sqrt(x²+y²), joka muunnetuissa koordinaateissa on sijoittamalla r, joka pitää olla nyt siis R reunalla.

Mitä muita arvoja r saa tuon alueen sisällä? Ottamalla vaikka esimerkkinä tuo origon, niin nähdään, että r saa siellä arvon nolla, ja R:ää suurempia arvoja saa missään alueella, ja jatkuvana kuvauksena pitää olla kaikki arvot siltä väliltä.

Sitten tarkastellaan, mitä arvoja kulma fii saa vakiosäteellä r välillä (0,R]. Muunnoksesta suoraan nähdään, että kun y on negatiivinen, niin fii voi saada arvoja vain välillä [pii,2pii], kun y laitetaan pienenemään nollaan negatiiviselta puolelta x:n ollessa positiivinen saadaan raja-arvona kulma 2pii. Nyt etäisyyttä r muuttamatta pienennetään x:ää r:stä -r:ään, jolloin y saa arvon nolla ja kulma fii on pii. Koska kuvaus oli jatkuva, niin kulma sai myös kaikki arvot siltä väliltä.

Sama tarkastelu vielä kun y on positiivinen ja x menee -r:stä +r:ään.

Nyt siis kaikilla r kulma fii saa kaikki arvot väliltä [0,2Pii) ja koko integrointialue on saatu katettua.

Edit: korjattu vielä ajatusta kulman arvojen suhteen.

Tuossa kai se hahmotelma on kankeimman kautta, jollei täsmällisempiä todistuksia vielä kaivella...

Voi sisältää lipsahduksia ja mutkien oikomisia...

Sivuhuomiona: Ei tätä tarvitsisi näin vaikeaksi tehdä oikeasti. Tämä vaan aiheeseen liittyen hatarasti... Yleensä kahden muuttujan tapauksessa noita koordinaatistomuunnoksia tehdään, kun siitä heti nähdään jokin selkeä etu integrointialueen suhteen. Esim. napakoordinaatistoa käytetään ympyräsymmetrisessä tilanteessa ja pallokoordinaatistoa pallosymmetrisessä, jolloin ne ominaisuudet tunnetaan jo valmiiksi ilman tällaista erillistä tarkastelua. Muuten voidaan muuttujan vaihtoja suorittaa yhden muuttujan säännöin kahden muuttujan integraalin sisällä "sokeasti" tutuin säännöin, eikä ehkä tällaista tarkastelua tarvitse vääntää läpi erikseen.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

triviaali tehtävä kunhan käyttää I'Hospitaalin sääntöä!

Lukiossa eivät meinanneet opettajatkaan uskoa miten helppoa se on!

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat