Kuudennen asteen yhtälö!

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Todista että yhtälöllä

x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 2/5 = 0

ei ole reaalisia nollakohtia?

Edit: Muutettu virheellinen viimeinen termi.

Sivut

Kommentit (26)

Vierailija
morjens!
Todista että yhtälöllä

x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 3/4 = 0

ei ole reaalisia nollakohtia?

Voisi ehkä kokeilla saada yhtälö muotoon, jossa ei ole negatiivisia termejä (potenssiin kaksi). Sitten pitäisi vielä todistaa, että kaikki eivät voi olla nolla samanaikaisesti.

Ehkä toimii, ehkä ei..

Vierailija

Toisaalta yhtälössä on seuravat termit:

x^6 - x^5

x^4 - x^3

x^2 - x

Mahdolliset nollakohdat ovat siis korkeintaan välillä [0, 1]. Katso kuinka "paljon negatiivisia" yllä olevat termit voivat olla välillä [0, 1].

Mikäli summa on suurempi kuin -3/4, on tehtävä todistettu.

Edit:

Noinhan se menee aika helpostikin.

Vierailija

no kenties mutta tuli erheessä virhe tehtävän antoon.

Tuon viimeisen termin siis vakiotermin piti olla

2/5.

Siis

x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 2/5 = 0

Jolloin tuolla kahden termin "erissä" tarkastelulla
ei nähdäkseni päästä eteenpäin.

Vierailija
morjens!
Todista että yhtälöllä

x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 2/5 = 0

ei ole reaalisia nollakohtia?

Huh. Tämä menee aika kankeaksi.

Koska x = -1 ei ole juuri, on yhtälö on yhtäpitävä yhtälön

(x^7 + 1) / (x + 1) - 3/5 = 0

kanssa. Edellinen voidaan muokata muotoon

(5x^7 - 3x + 2) / (5(x + 1)) = 0.

Nimittäjän nollakohta ei ollut juuri, joten ainoat mahdolliset juuret ovat osoittajan juuret. Tässä vaiheessa huomataan jo, että osoittajalla on ainakin juuri x = -1 mutta sehän ei alkuperäiseen yhtälöön kelvannut.

Merkitään f(x) = 5x^7 - 3x + 2. Nyt f on jatkuva ja derivoituva funktio, jolle f'(x) = 35x^6 - 3. Derivaatalla on kaksi nollakohtaa, jotka ovat luvun 3/35 kuudes juuri ja tämän vastaluku. Merkitään näitä A ja -A.

Derivaatan merkkikaavion avulla nähdään, että f on aidosti kasvava väleillä x < -A ja x > A sekä aidosti vähenevä välillä -A < x < A. Koska lisäksi f(A) > 0, on f:llä nollakohtia korkeintaan välillä x < -A ja aidon kasvavuuden takia korkeintaan yksi sellainen. Edellä jo todettiin x = -1 nollakohdaksi, joten muita siis ei ole.

Siis f:llä ei ole nollakohtia, jotka kävisivät alkuperäisen yhtälön juuriksi. Siis tehtävänannon yhtälöllä ei ole juuria, mikä olikin osoitettavana.

Löytyyköhän elegantimpaa tapaa?

Vierailija

Enpä tiiä toimisko sellane, et kattoo derivaatal sen konkaaviuden ja konkaaliuden ja kattoo mis o minimi ja maksimi ja sit kelailee bolzanon merkinvaihtolauseel..

Vierailija

Hieno palsta, voitte kaikki olla ylpeitä itsestänne. Minua ei enää kiinnosta tieteestä puhuminen tällä palstalla, arvatkaa kaksi kertaa, miksi?

Vierailija
Joonas74
Voidaan myös ilman laskematta todetta, että x:n arvolla 0 saadaan pienin arvo, joka siis on 4/25.

Suosittelisin kuitenkin sitä laskemista, koska nollassa ei kyllä mielestäni ole pienin arvo. Ainakaan derivaatta ei siinä mene nollaksi. x=3/5 vaikka osuis jo lähemmäs, vaikka ei sekään pienin kai.

Vierailija
Joonas74
morjens!
Todista että yhtälöllä

x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 2/5 = 0

ei ole reaalisia nollakohtia?


No ei ole, sillä:

x^6 + x^4 + x^2 + 2/5 = x^5 + x^3 + x

Korotetaan kumpikin puoli toiseen:

(x^6 + x^4 + x^2 + 2/5)^2 = (x^5 + x^3 + x)^2

Havaitaan, että millä tahansa x:n arvolla vasen puoli on aina suurempi kuin oikea puoli. Edelleen kaikkien x termien korotus käy vain ja ainoastaan parillisiin potensseihin. Voidaan myös ilman laskematta todetta, että x:n arvolla 0 saadaan pienin arvo, joka siis on 4/25.

Edit: pidin vähän liikaa kiirettä tehtävän ratkaisussa. Tietenkin funktion pienin arvo on 2/5 eikä siis 4/25.


Hieno todistus kyllä. Toi "korotetaan kumpikin puoli toiseen" on toki validi temppu vain silloin kun x>0, mutta senhän tossa implisiittisesti taisit omalla tavallasi sanoakin. Pienin arvo on kyllä pahasti metsässä jos tarkoitat sillä ton alkuperäisen funktion pienintä arvoa. Nollassa funktion arvo on 2/5 ja derivaatta -1, joten 2/5 ei voi olla pienin arvo.

Vierailija

Hieno palsta, voitte kaikki olla ylpeitä itsestänne. Minua ei enää kiinnosta tieteestä puhuminen tällä palstalla, arvatkaa kaksi kertaa, miksi?

Vierailija
Joonas74

(x^6 + x^4 + x^2 + 2/5)^2 = (x^5 + x^3 + x)^2

Havaitaan, että millä tahansa x:n arvolla vasen puoli on aina suurempi kuin oikea puoli.

Öh... taidan olla vähän hidas: en millään keksi, miten tuosta huomaisi vasemman puolen aina olevan oikeaa suurempi. Selitä hieman.

Vierailija
morjens!
Todista että yhtälöllä

x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 2/5 = 0

ei ole reaalisia nollakohtia?

Edit: Muutettu virheellinen viimeinen termi.

Lähtisin muokkaamaan lauseketta binomin neliöiden summiksi,
koska on parillinen määrä peräkkäisten alenevien potenssien
termejä ja suurin termikin on parillinen.

Tiukan väännön jälkeen sainkin lausekkeen muotoon

x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 2/5 =

x^4(x - 1/2)^2+(3/4)*x^2*(x - 2/3)^2+(2/3)*(x - 3/4)^2+1/40≥1/40.

Mikä osoittaa että reaalijuuria ei ole.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
lasikatto

Lähtisin muokkaamaan lauseketta binomin neliöiden summiksi,
koska on parillinen määrä peräkkäisten alenevien potenssien
termejä ja suurin termikin on parillinen.

Tiukan väännön jälkeen sainkin lausekkeen muotoon

x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 2/5 =

x^4(x - 1/2)^2+(3/4)*x^2*(x - 2/3)^2+(2/3)*(x - 3/4)^2+1/40≥1/40.

Mikä osoittaa että reaalijuuria ei ole.


Tiukan? Tämähän on oikeastaan ihan tunnettu kikka. Itse olen todistanut monet epäyhtälöt kirjoittamalla ne neliöiden summana sopivin kertoimin. Tällä kertaa olin liian hidas.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
Samuli
Joonas74

(x^6 + x^4 + x^2 + 2/5)^2 = (x^5 + x^3 + x)^2

Havaitaan, että millä tahansa x:n arvolla vasen puoli on aina suurempi kuin oikea puoli.




Öh... taidan olla vähän hidas: en millään keksi, miten tuosta huomaisi vasemman puolen aina olevan oikeaa suurempi. Selitä hieman.

Niin minäkin. Newgatiivisilla arvoilla tuo on selvä. Samoin kun x > 1, mutta välillä [0,1] asia ei ole ollenkaan selvä.

Vierailija
Puuhikki
lasikatto

Lähtisin muokkaamaan lauseketta binomin neliöiden summiksi,
koska on parillinen määrä peräkkäisten alenevien potenssien
termejä ja suurin termikin on parillinen.

Tiukan väännön jälkeen sainkin lausekkeen muotoon

x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 2/5 =

x^4(x - 1/2)^2+(3/4)*x^2*(x - 2/3)^2+(2/3)*(x - 3/4)^2+1/40≥1/40.

Mikä osoittaa että reaalijuuria ei ole.


Tiukan? Tämähän on oikeastaan ihan tunnettu kikka. Itse olen todistanut monet epäyhtälöt kirjoittamalla ne neliöiden summana sopivin kertoimin. Tällä kertaa olin liian hidas.

No joo. Kunhan kiusaan teitä poikia. Sitäpaitsi lasikatto on kohta lähdössä
baariin helsingissä (vaikka asunkin Hollywoodissa ) mutta enpä kerro
teille pojille mihin baariin.

ps. En olettanutkaan, että kiusani menisi läpi puuhikille.

edit: Siis sen, että olisi ollut muka tiukka vääntö.

ps.2. Mitähän tuo Vastaaja hakee tuolla ohmin laki otsikollaan.
Pistäkääpäs jauhot suuhun tarvittaessa, kun minä en kohta pysty
enää keskittymään. Minkäs numeroisia kuninkaita niitä onkaan
Ruotsilla ollut tuon Kalle 16:sta lisäksi?

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Ratkaisu numero 3:

Epäyhtälö on yhtäpitävää epäyhtälön

2/5>x(1-x)(x^2+x+1)(x^2-x+1).

kanssa. Koska (x^2+x+1)(x^2-x+1)>0, on riittävää tarkastella tapausta x(1-x)>0.

Nyt aritmeettis-geometrisen epäyhtälön perusteella

x(1-x)(x^2+x+1)(x^2-x+1)=
1/12 (4x-4x^2)(x^2+x+1)(3x^2-3x+1)<= 1/12 ((2x+2)/3)^3<1/12 *64/27

Koska 1/12 * 64/27=16/81<1/5, on myös heikompi epäyhtälö voimassa.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat