Yhtälöryhmä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Hieno palsta, voitte kaikki olla ylpeitä itsestänne. Minua ei enää kiinnosta tieteestä puhuminen tällä palstalla, arvatkaa kaksi kertaa, miksi?

Sivut

Kommentit (47)

Vierailija

Hieno palsta, voitte kaikki olla ylpeitä itsestänne. Minua ei enää kiinnosta tieteestä puhuminen tällä palstalla, arvatkaa kaksi kertaa, miksi?

Vierailija
Joonas74
Jaahas, katsotaanpas tämän palstan matematiikan osaajien taso. Oletteko pelkkiä vellihousuja vai todellisia taitajia. On ratkaistava neljän tuntemattoman yhtälöryhmä:

[code:9lwn0mjt]ln(a+b+c+d) - cos(a-b+c-d) + sin(ab-cd) = a^(bcd)

exp(cos(a)/(a+b+cd)) - ln(a-b-c-d) + b^(a+c+d) = -1717*sin(c)

cos(a+b+c+d) = a^5 - 4b^4 + (abcd)^3 + 1717

sin(a+b+c+d) = c^3 - 2d^2 - 1717[/code:9lwn0mjt]
Tulos saa olla reaalinen tai kompleksinen (tavallisen laskimen desimaalitarkkuudella). Jos rahkeet riittävät, esitä kaikki ratkaisut.




Yhtälöryhmälläsi ei ole mitään tekemistä matemaattisten kykyjen
kanssa. Jopa "Erkkikin" voi havaita analyyttisen ratkaisun mahdottomuuden.

Numeerinen ratkaisu taas perustuu joka tapauksessa enemmän tai
vähemmän valmiiden matemaattisten ohjelmistojen tai oman ohjelmointi
taidon käyttöön. Se taas ei kerro mitään matematiikan tietämyksestä.

Jos taitajia kaipaat niin kannattaa tutustua vaikka näiden ukkojen
toimintaan.

http://en.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles

Andrew Wiles (syntynyt 11. huhtikuuta 1953) on brittiläinen Yhdysvalloissa vaikuttava matemaatikko, jonka suurin saavutus on Fermat'n suuren lauseen todistus.

Wiles todisti lausetta monta vuotta ja vihdoin julkisti sen vuonna 1993. Todistuksesta löytyi kuitenkin virhe. Wiles sulkeutui taloonsa kahdeksi vuodeksi ja sai lauseen todistettua 1995. Fermat'n lauseesta oli jo todistettu osia, joten Wilesin tarvitsi todistaa se vain lauseen parittomille alkulukueksponenteille. Todistus pohjautui keksinnöille, joita ei ollut vielä Fermat'n aikana.




http://fi.wikipedia.org/wiki/Grigori_Perelman

Grigori Jakovlevitš Perelman (ven. Григорий Яковлевич Перельман, s. 13. kesäkuuta 1966, Leningrad, Neuvostoliitto) on yksi maailman arvostetuimmista matemaatikoista, joka on tehnyt uraa uurtavia tutkimuksia Riemannin geometriaan ja ratkaissut Poincarén konjektuurin.

Perelman voitti 16-vuotiaana vuoden 1982 kansainvälisten matematiikkaolympialaisten kultamitalin täysillä pisteillä.




Tässä vielä tehtävät IMO-1982, jotka Perelman siis ratkaisi täysin
oikein jo 16-vuotiaana. Pystyykö joku palstalainen muka samaan.
Tuskin.

A1. The function f(n) is defined on the positive integers and takes non-negative integer values. f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333 and for all m, n:
f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 or 1.

Determine f(1982).

A2. A non-isosceles triangle A1A2A3 has sides a1, a2, a3 with ai opposite Ai. Mi is the midpoint of side ai and Ti is the point where the incircle touches side ai. Denote by Si the reflection of Ti in the interior bisector of angle Ai. Prove that the lines M1S1, M2S2 and M3S3 are concurrent.

A3. Consider infinite sequences {xn} of positive reals such that x0 = 1 and x0 ≥ x1 ≥ x2 ≥ ... .
(a) Prove that for every such sequence there is an n ≥ 1 such that:

x0^2/x1 + x1^2/x2 + ... + xn-1^2/xn ≥ 3.999.

(b) Find such a sequence for which:

x0^2/x1 + x1^2/x2 + ... + xn-1^2/xn < 4 for all n.

B1. Prove that if n is a positive integer such that the equation
x^3 - 3xy^2 + y^3 = n

has a solution in integers x, y, then it has at least three such solutions. Show that the equation has no solutions in integers for n = 2891.

B2. The diagonals AC and CE of the regular hexagon ABCDEF are divided by inner points M and N respectively, so that:
AM/AC = CN/CE = r.

Determine r if B, M and N are collinear.

B3. Let S be a square with sides length 100. Let L be a path within S which does not meet itself and which is composed of line segments A0A1, A1A2, A2A3, ... , An-1An with A0 = An. Suppose that for every point P on the boundary of S there is a point of L at a distance from P no greater than 1/2. Prove that there are two points X and Y of L such that the distance between X and Y is not greater than 1 and the length of the part of L which lies between X and Y is not smaller than 198.

Vierailija

Kyllä numeerinen analyysikin on aivan oikeaa matematiikkaa, nykypäivän laskentaohjelmistojen nopeus perustuu aivan yhtä paljon niin matemaatikkojen kehittämien algoritmien kuin prosessorien nopeudenkin parantumiseen. Siihen en ota kantaa mitä taitoja Joonaksen ongelma mittaa, eihän tuollainen mikään perinteinen matemaattinen ongelma kyllä ole. Ja kyllähän noita matematiikkaolympialaisissa pärjänneitä löytyy hurjasti Suomestakin, yliopisto-opiskelijoiden matikkakisat ovat sitten vielä asia erikseen.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
deriva
Ja kyllähän noita matematiikkaolympialaisissa pärjänneitä löytyy hurjasti Suomestakin

Vaan eipä taida Suomesta löytyä yhtään henkilöä, joka olisi saanut 42 pistettä.

Vierailija
deriva
Kyllä numeerinen analyysikin on aivan oikeaa matematiikkaa, nykypäivän laskentaohjelmistojen nopeus perustuu aivan yhtä paljon niin matemaatikkojen kehittämien algoritmien kuin prosessorien nopeudenkin parantumiseen. Siihen en ota kantaa mitä taitoja Joonaksen ongelma mittaa, eihän tuollainen mikään perinteinen matemaattinen ongelma kyllä ole. Ja kyllähän noita matematiikkaolympialaisissa pärjänneitä löytyy hurjasti Suomestakin, yliopisto-opiskelijoiden matikkakisat ovat sitten vielä asia erikseen.

No voi Tsiisus sentään.

Wiles! ja Perelman!

Fermatin lause ja Poincaren konjecktuuri

Maailman parhaimpia matemaatikkoja ja kehtaatkin mainita
Suomalaiset.

Ja mikä siinä on niin vaikea myöntää, että alkuperäinen yhtälöryhmä
ei mittaa mitään muuta kuin tietokoneen käyttö taitoa.

Vierailija
Gödel
Wiles sulkeutui taloonsa kahdeksi vuodeksi ja sai lauseen todistettua 1995.

voiko olla säälittävämpää... Kaikki kunnia hänelle.

Vierailija
boner
Gödel
Wiles sulkeutui taloonsa kahdeksi vuodeksi ja sai lauseen todistettua 1995.

voiko olla säälittävämpää... Kaikki kunnia hänelle.

No säälittävältä tuo kylläkin vaikuttaa ja sitä onkin mutta
mieletön matemaatikko joka tapauksessa.

ps. Avatarini ja nimimerkkini mukainen tunnettu matemaatikkokin
häälyi lähes koko aikuisikänsä hulluuden rajamailla ja oli äärettömän
vainoharhainen. Kaikesta on näemmä maksettava hintansa.

Vierailija
Gödel

Maailman parhaimpia matemaatikkoja ja kehtaatkin mainita
Suomalaiset.

Itsepäs otit puheeksi matikkaolympialaiset, oma vikasi. Olisit pitäytynyt vaan niissä Poincaren konjunktuureissa ja Fermat'ssa. Halusin vain tuoda esiin sen faktan, ettei matikkaolympialaiset ole niin suurta ja mahtavaa etteivät niissä muutkin kuin hullut ja/tai supernerot voisi varsin mainiosti pärjätä. Arvostan kyllä suuresti nimeämiäsi matemaatikoita, älä käsitä väärin.

Ja nyt on pakko ihan periaatteestakin olla sitä mieltä, että tuo alkuperäinen Joonas74:n ongelma on aito matemaattinen ongelma jonka ratkaisu koodaamalla vaatii oikeasti matemaattisia taitoja. Ja luotamme siihen että Joonas74 ratkaisunsa vielä esittää, jos sellainen olemassa on.

Vierailija
deriva
Gödel

Maailman parhaimpia matemaatikkoja ja kehtaatkin mainita
Suomalaiset.

Itsepäs otit puheeksi matikkaolympialaiset, oma vikasi. Olisit pitäytynyt vaan niissä Poincaren konjunktuureissa ja Fermat'ssa. Halusin vain tuoda esiin sen faktan, ettei matikkaolympialaiset ole niin suurta ja mahtavaa etteivät niissä muutkin kuin hullut ja/tai supernerot voisi varsin mainiosti pärjätä. Arvostan kyllä suuresti nimeämiäsi matemaatikoita, älä käsitä väärin.



Hei haloo! 16-vuotiaana täydet pojot!

deriva

Ja nyt on pakko ihan periaatteestakin olla sitä mieltä, että tuo alkuperäinen Joonas74:n ongelma on aito matemaattinen ongelma jonka ratkaisu koodaamalla vaatii oikeasti matemaattisia taitoja. Ja luotamme siihen että Joonas74 ratkaisunsa vielä esittää, jos sellainen olemassa on.

Kopioin yhtälöt matlabiin ja se pukkas alta puolen minuutin ulos

{d = 12.570675430579028867-7.0649894270656250131*I,

a = .22759232195905688680-.28426245194306170490*I,

b = .45374606802125848702+.78464447375491544360*I,

c = -2.4261470481079073974-1.7063680021570677669*I}

Joten onpa todella vaikeaa.

ps. Koodaus on koodausta ja matematiikka matematiikkaa.
Vai itsekö olet tuo Joonas74:n, kun niin kovasti pidät hänen
puoliaan.

Vierailija
Gödel

Kopioin yhtälöt matlabiin ja se pukkas alta puolen minuutin ulos

{d = 12.570675430579028867-7.0649894270656250131*I,

a = .22759232195905688680-.28426245194306170490*I,

b = .45374606802125848702+.78464447375491544360*I,

c = -2.4261470481079073974-1.7063680021570677669*I}

Joten onpa todella vaikeaa.

ps. Koodaus on koodausta ja matematiikka matematiikkaa.
Vai itsekö olet tuo Joonas74:n, kun niin kovasti pidät hänen
puoliaan.


Seuraavaksi voit selvittää, onko saamasi ratkaisu ainoa laatuaan. Ja Joonas74:n puolia pidän nyt siksi, että huomasin jossain vaiheessa olevani hänen ajatuksiaan ja ratkaisujaan vastaan lähes luonnostaan jostain syystä. Kenties Joonas74:n liiallinen itsevarmuus ja jopa omahyväisyys sen aiheutti. Päätinkin siis että annan Joonas74:lle mahdollisuuden näyttää mikä on miehiään. Enkä väitä millään muotoa olevani Joonasta tai ketään muitakaan parempi matematiikassa, korkeakouluopinnot vasta alkuvaiheessa.

Vierailija
deriva
Gödel

Kopioin yhtälöt matlabiin ja se pukkas alta puolen minuutin ulos

{d = 12.570675430579028867-7.0649894270656250131*I,

a = .22759232195905688680-.28426245194306170490*I,

b = .45374606802125848702+.78464447375491544360*I,

c = -2.4261470481079073974-1.7063680021570677669*I}

Joten onpa todella vaikeaa.

ps. Koodaus on koodausta ja matematiikka matematiikkaa.
Vai itsekö olet tuo Joonas74:n, kun niin kovasti pidät hänen
puoliaan.


Seuraavaksi voit selvittää, onko saamasi ratkaisu ainoa laatuaan. Ja Joonas74:n puolia pidän nyt siksi, että huomasin jossain vaiheessa olevani hänen ajatuksiaan ja ratkaisujaan vastaan lähes luonnostaan jostain syystä. Kenties Joonas74:n liiallinen itsevarmuus ja jopa omahyväisyys sen aiheutti. Päätinkin siis että annan Joonas74:lle mahdollisuuden näyttää mikä on miehiään. Enkä väitä millään muotoa olevani Joonasta tai ketään muitakaan parempi matematiikassa, korkeakouluopinnot vasta alkuvaiheessa.

Ja tietokoneellako sekin pitäisi selvittää? Tietokone todistukset
harvoin ovat matemaattisesti päteviä varsinkaan, jos on kyse
ns. numeronmurskauksesta.

Tämä alkuperäinen hemmo Joonas74:nhan oikein pyytämällä pyytää
jonkinlaista "koodaus ratkaisua". Mutta sanon vielä kerran.

Kokeilemalla saatujen yhtälön juurien avulla ei voida todistaa juurten
kokonaismäärää ainakaan matemaattisen pitävästi. Kokeilua, kun
ei voida suorittaa äärettömyyksiin asti.

Tässä vaiheessa kuvioihin astuu varsinainen "oikea" matematiikka,
jonka avulla joskus voidaan todistaakin jotain. Useinmiten ei voida.

Vierailija
Gödel

Ja tietokoneellako sekin pitäisi selvittää? Tietokone todistukset
harvoin ovat matemaattisesti päteviä varsinkaan, jos on kyse
ns. numeronmurskauksesta.

Tämä alkuperäinen hemmo Joonas74:nhan oikein pyytämällä pyytää
jonkinlaista "koodaus ratkaisua". Mutta sanon vielä kerran.

Kokeilemalla saatujen yhtälön juurien avulla ei voida todistaa juurten
kokonaismäärää ainakaan matemaattisen pitävästi. Kokeilua, kun
ei voida suorittaa äärettömyyksiin asti.

Tässä vaiheessa kuvioihin astuu varsinainen "oikea" matematiikka,
jonka avulla joskus voidaan todistaakin jotain. Useinmiten ei voida.


Jokainen ymmärtää, että alkuperäisellä yhtälöryhmällä ei ole analyyttistä ratkaisua, joten numeriikasta tässä on koko ajan puhe ollutkin. Hypätäänpäs vaikka diffisyhtälöiden maailmaan. Suurimmalla osalla luonnossa/insinöörityössä eteen tulevista diffiksista ei ole analyyttista ratkaisua. Oletetaan että tässä ollaan kehittämässä jotain Matlabin algoritmia. Ainoa mahdollisuus etsiä numeerista ratkaisua analyyttisesti ratkeamattomalle diffikselle on diskretoida ongelma. Matemaatikon ongelmiin kuuluu nyt
1) etsiä oikeanlainen askelmenetelmä
2) valita askelpituuden suuruus siten että saadaan sekä riittävä tarkkuus että siedettävä laskenta-aika, ja säätää askelpituutta algoritmin edetessä
3) olla täysin varma, että koneen ulos pukkaama ratkaisu kuvaa alkuperäisen ongelman ratkaisua.
Joku ihminen ne Matlabinkin käyttämät algoritmit on kehittänyt, ja ihan oikeaa matematiikkaa se kuule vaatii.

Yhtälöryhmän tapauksessa matemaatikon ongelma olisi tutkia ratkaisuja, esim. yrittää rajata ratkaisut joihinkin C^4:n osajoukkoihin (ei kovin helppoa kyllä nyt). Näissä osajoukoissa yhtälöryhmää voisi sitten lähteä ratkomaan numeerisesti, kun alkuarvaus tai vastaava saadaan muodostettua fiksusti. Ja ihan oikeaa matematiikkaa sekin vaatii, sanot mitä sanot.
Edit: typo.

Vierailija
deriva
Gödel

Ja tietokoneellako sekin pitäisi selvittää? Tietokone todistukset
harvoin ovat matemaattisesti päteviä varsinkaan, jos on kyse
ns. numeronmurskauksesta.

Tämä alkuperäinen hemmo Joonas74:nhan oikein pyytämällä pyytää
jonkinlaista "koodaus ratkaisua". Mutta sanon vielä kerran.

Kokeilemalla saatujen yhtälön juurien avulla ei voida todistaa juurten
kokonaismäärää ainakaan matemaattisen pitävästi. Kokeilua, kun
ei voida suorittaa äärettömyyksiin asti.

Tässä vaiheessa kuvioihin astuu varsinainen "oikea" matematiikka,
jonka avulla joskus voidaan todistaakin jotain. Useinmiten ei voida.


Jokainen ymmärtää, että alkuperäisellä yhtälöryhmällä ei ole analyyttistä ratkaisua, joten numeriikasta tässä on koko ajan puhe ollutkin. Hypätäänpäs vaikka diffisyhtälöiden maailmaan. Suurimmalla osalla luonnossa/insinöörityössä eteen tulevista diffiksista ei ole analyyttista ratkaisua. Oletetaan että tässä ollaan kehittämässä jotain Matlabin algoritmia. Ainoa mahdollisuus etsiä numeerista ratkaisua analyyttisesti ratkeamattomalle diffikselle on diskretoida ongelma. Matemaatikon ongelmiin kuuluu nyt
1) etsiä oikeanlainen askelmenetelmä
2) valita askelpituuden suuruus siten että saadaan sekä riittävä tarkkuus että siedettävä laskenta-aika, ja säätää askelpituutta algoritmin edetessä
3) olla täysin varma, että koneen ulos pukkaama ratkaisu kuvaa alkuperäisen ongelman ratkaisua.
Joku ihminen ne Matlabinkin käyttämät algoritmit on kehittänyt, ja ihan oikeaa matematiikkaa se kuule vaatii.

Yhtälöryhmän tapauksessa matemaatikon ongelma olisi tutkia ratkaisuja, esim. yrittää rajata ratkaisut joihinkin C^4:n osajoukkoihin (ei kovin helppoa kyllä nyt). Näissä osajoukoissa yhtälöryhmää voisi sitten lähteä ratkomaan numeerisesti, kun alkuarvaus tai vastaava saadaan muodostettua fiksusti. Ja ihan oikeaa matematiikkaa sekin vaatii, sanot mitä sanot.
Edit: typo.




Täytynee vain toistaa muutama viimeinen lauseeni edellisestä viestistä.

Gödel

Kokeilemalla saatujen yhtälön juurien avulla ei voida todistaa juurten
kokonaismäärää ainakaan matemaattisen pitävästi.
Kokeilua, kun
ei voida suorittaa äärettömyyksiin asti.

Tässä vaiheessa kuvioihin astuu varsinainen "oikea" matematiikka,
jonka avulla joskus voidaan todistaakin jotain. Useinmiten ei voida.

Joten mistä tässä nyt ollaan erimieltä.

Vierailija
Gödel

Täytynee vain toistaa muutama viimeinen lauseeni edellisestä viestistä.

Gödel

Kokeilemalla saatujen yhtälön juurien avulla ei voida todistaa juurten
kokonaismäärää ainakaan matemaattisen pitävästi.
Kokeilua, kun
ei voida suorittaa äärettömyyksiin asti.

Tässä vaiheessa kuvioihin astuu varsinainen "oikea" matematiikka,
jonka avulla joskus voidaan todistaakin jotain. Useinmiten ei voida.




Joten missä tästä nyt ollaan erimieltä.

Huoh, en minä tiedä. Sitä vain yritän sanoa, että alkuperäisen yhtälöryhmän ratkaisujen tutkiminen on aito ja todellinen matemaattinen ongelma. Jos tuollainen yhtälö teollisuudessa työskentelevälle matemaatikolle jostain ihmeen syystä joskus eteen tulisi, pitäisi sille osata tehdä muutakin kuin heittää Matlabiin ja sanoa pomolle että "en tiiä tosta yhtälöstä mittään muuta ku et tollanen ratkaisu ainakin on olemassa, kaikki muu on turhaa koodausta." Raa'an datan käsittelyyn käytetään tietokoneita, mutta matemaatikon tehtävä on sitten tulkita tulos ja tietää mitä kone teki ja miksi.

EDIT: ja näin aamutuimaan katsottuna toi alkuperäinen yhtälöryhmä näyttää omiinkin silmiin aika vitsikkäältä. Ehkäpä Joonas vielä meille ratkaisunsa esittää. Aika matemaattinen esitys saa olla, että uskomme kaikkien juurien varmasti löytyneen.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat