Probleema L1-avaruudessa

Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Juutuin jumiin seuraavan tehtävän kanssa: Avaruutena reaaliluvut. Olkoon f L1-funktio. Tällöin lim_{h -> 0} 1/(2h) int_{x-h}^{x+h} f(t) dt = f(x) melkein kaikkialla.

Yritin kirjoittaa f:n muotoon f=g+g', missä g on jatkuva. Miten voisin todistaa, että g':n normi saadaan mielivaltaisen lähelle nollaa? Kokeilin Hardy-Littlewoodia, mutta laskujeni mukaan se approksimoi normia väärään suuntaan.

Kommentit (13)

Vierailija
Puuhikki
Juutuin jumiin seuraavan tehtävän kanssa: Avaruutena reaaliluvut. Olkoon f L1-funktio.

Et varmaan enää ole jumissa, mutta ihan vaan kiinnostuksesta: mikä tuo L1-funktio on? Integroituu äärelliseksi L1-normin suhteen? Eikö tuohon tehtävääsi tarvita jotain jatkuvuusoletuksia?

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

L1-funktiolla f tarkoitin mitallista funktiota f, jolle integraali |f| yli reaaliakselin on äärellinen.

En kyllä ole miettinyt enää vähään aikaan ongelmaa, mutta luulen, että viestissäni kuvattu hajotelma on mahdollista löytää. Pitäisi pystyä osoittamaan, että g':n normi saadaan mielivaltaisen lähelle nollaa.

Jatkuvuusoletus ei ole tarpeen. Lause on käsittääkseni voimassa ihan yleiselle L1-funktiolle.

Vierailija
Puuhikki
Jatkuvuusoletus ei ole tarpeen. Lause on käsittääkseni voimassa ihan yleiselle L1-funktiolle.

Entä jos funktio on joka paikassa epäjatkuva? Määritellään vaikka h: R -> [0, 1] siten, että h(x) on vähän kuin "satunnaisluku" eli h(x) saa mille tahansa välille tasaisesti kaikkia arvoja nollan ja ykkösen välillä. Keskiarvo voisi olla vaikkapa 1/2 Lebesgue-integraalin mielessä. h(x) ei tietysti olisi L1-funktio, mutta f(x) = h(x) k(x) on L1-funktio, ainakin jos k(x) on jatkuva L1-funktio (voidaan valita joku sopiva), ja f(x) "perii" h(x):ltä kurjan käyttäytymisensä, eli f(x):n arvo on ihan mitä sattuu eikä kerro paljon mitään integraalin arvosta, joka riippuu vain k(x):stä.

Menikö joku pieleen?

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Päivystävä dosentti
h(x) ei tietysti olisi L1-funktio, mutta f(x) = h(x) k(x) on L1-funktio, ainakin jos k(x) on jatkuva L1-funktio (voidaan valita joku sopiva), ja f(x) "perii" h(x):ltä kurjan käyttäytymisensä

En nyt heti keksi, miten voit valita kyseisen funktion. Jos h pomppii villisti jonkin luvun x lähimaastossa ja k on jatkuva, eri kuin nolla x:n lähellä, eikös h(x)k(x) käyttäydy kanssa melko villisti x:n lähellä? Ei vaikuta mitenkään helpolta tehtävältä löytää jokaiselle h:lle sellaista jatkuvaa, nollasta poikkeavaa funktiota k, että hk oli L1-funktio.

Vierailija
Puuhikki
Päivystävä dosentti
h(x) ei tietysti olisi L1-funktio, mutta f(x) = h(x) k(x) on L1-funktio, ainakin jos k(x) on jatkuva L1-funktio (voidaan valita joku sopiva), ja f(x) "perii" h(x):ltä kurjan käyttäytymisensä

En nyt heti keksi, miten voit valita kyseisen funktion. Jos h pomppii villisti jonkin luvun x lähimaastossa ja k on jatkuva, eri kuin nolla x:n lähellä, eikös h(x)k(x) käyttäydy kanssa melko villisti x:n lähellä? Ei vaikuta mitenkään helpolta tehtävältä löytää jokaiselle h:lle sellaista jatkuvaa, nollasta poikkeavaa funktiota k, että hk oli L1-funktio.

Jos h(x) saa millä tahansa äärellisellä välillä tasaisesti kaikkia arvoja nollan ja yhden välillä keskiarvon ollessa 1/2, h(x)k(x) on L1-funktio aina, kun k(x) on jatkuva L1-funktio. k(x):ksi siis kelpaa melkein mikä vain. h(x):n voi konstruoida vaikka aloittamalla h_0(x) = x välillä nollasta yhteen. h_(i+1)(x) = h_i(3x) välillä 0 -- 1/3, h_i(2-3x) välillä 1/3 -- 2/3 ja h_i(3x-2) välillä 2/3 -- 1. h(x) = h_infty(x) välillä 0 -- 1. Muut välit saadaan sitten analogisesti.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Päivystävä dosentti
Jos h(x) saa millä tahansa äärellisellä välillä tasaisesti kaikkia arvoja nollan ja yhden välillä keskiarvon ollessa 1/2

h(x):n voi konstruoida vaikka aloittamalla h_0(x) = x välillä nollasta yhteen. h_(i+1)(x) = h_i(3x) välillä 0 -- 1/3, h_i(2-3x) välillä 1/3 -- 2/3 ja h_i(3x-2) välillä 2/3 -- 1. h(x) = h_infty(x) välillä 0 -- 1. Muut välit saadaan sitten analogisesti.


Eikös tuo ensimmäinen ehto h:lle tarkoita, että h=1/2 melkein kaikkialla?

Vierailija
Puuhikki
Päivystävä dosentti
Jos h(x) saa millä tahansa äärellisellä välillä tasaisesti kaikkia arvoja nollan ja yhden välillä keskiarvon ollessa 1/2

Eikös tuo ensimmäinen ehto h:lle tarkoita, että h=1/2 melkein kaikkialla?

Funktio h_0(x) = x saa kaikki arvon nollan ja ykkösen välillä, kun x on nollan ja ykkösen välillä. Keskiarvo on 1/2, mutta eihän siitä mitenkään seuraa, että h_0(x) = 1/2 melkein kaikkialla. Yritin tuollaista kauli-ja-käännä -konstruktiota varmistaakseni, että kaikki arvot esiintyvät yhtä usein. En tiedä onnistuuko tuo, eli voiko funktiota h_∞(x) määritellä noin. Ainakaan sitä ei voi laskea... Kuvittelisin kuitenkin, että on olemassa jotain eksoottisia funktioita, joilla tuo ominaisuus on. Ainakin on mistä valita: funktioita h: R -> [0, 1] on enemmän kuin reaalilukuja (mahtavuus on luokkaa 2^R). Ei kai jatkuvia tai edes melkein kaikkialla jatkuvia funktioita ole tuosta kuin häviävän pieni osa. Kuitenkin int_-∞^∞ |h(x) k(x)| dx <= int_-∞^∞ |k(x)| dx varsin triviaalisti, kun 0 <= h(x) <= 1 kaikilla x.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Päivystävä dosentti
Funktio h_0(x) = x saa kaikki arvon nollan ja ykkösen välillä, kun x on nollan ja ykkösen välillä. Keskiarvo on 1/2

Joo, mutta kirjoitit aikaisemmin, että h(x) saa millä tahansa äärellisellä välillä tasaisesti kaikkia arvoja nollan ja yhden välillä keskiarvon ollessa 1/2. Jos h:n keskiarvo millä tahansa välillä on 1/2, on h=1/2 melkein kaikkialla. h_0(x)=x keskiarvo välillä [0,1/2] on 1/4, ei 1/2.

Vierailija
Puuhikki
Päivystävä dosentti
Funktio h_0(x) = x saa kaikki arvon nollan ja ykkösen välillä, kun x on nollan ja ykkösen välillä. Keskiarvo on 1/2



Joo, mutta kirjoitit aikaisemmin, että h(x) saa millä tahansa äärellisellä välillä tasaisesti kaikkia arvoja nollan ja yhden välillä keskiarvon ollessa 1/2.



Aivan, niin oli tarkoitus.

Puuhikki
Jos h:n keskiarvo millä tahansa välillä on 1/2, on h=1/2 melkein kaikkialla.



Olihan h_0(x):nkin keskiarvo 1/2 (välillä 0--1), mutta h_0(x) = 1/2 vain kun x = 1/2. Eli ei melkein missään.

Puuhikki
h_0(x)=x keskiarvo välillä [0,1/2] on 1/4, ei 1/2.

Niin, mutta eihän h_0(x) saakaan välillä [0,1/2] tasaisesti kaikkia arvoja nollan ja ykkösen välillä. h_0(x) on kaikkialla jatkuva kun taas h(x) (ja ylipäätään melkein kaikki funktiot) ovat kaikkialla epäjatkuvia. Millä tahansa äärellisellä välillä on ylinumeroituvasti ääretön määrä reaalilukuja ja siinä on enemmän kuin kylliksi takaamaan, että suurten lukujen laki pätee. Numeroituvastikin ääretön määrä olisi riittänyt. Toisin sanoen funktion h(x) arvo jollain tietyllä x:n arvolla on vain yksi luku (nollamittainen) eikä sillä ole mitään vaikutusta keskiarvoon x:n ympäristössä, jos ympäristön mitta on suurempi kuin nolla. Otin esimerkiksi h_0(x):n välillä [0, 1], koska silläkin välillä on yhtä monta (ylinumeroituvasti ääretön määrä) reaalilukua kuin millä tahansa muulla äärellisellä välillä ja funktion arvot ovat selvästi jakautuneet tasan.

Luultavasti tarkoittamaani h(x):ää ei oikeastaan voi konstruoida ainakaan niin, että olisi mahdollista antaa h(x):n arvo äärellisessä ajassa mille tahansa x:lle. Se ei kuitenkaan tarkoita, etteikö h(x):ää voisi olla olemassa. Ongelma taitaa seurata siitä, että 2^R on niin tolkuttoman iso joukko... Ne funktiot, jotka pystymme määrittelemään, ovat harvinaisia erikoistapauksia, koska niitä ei taida voida olla enempää kuin numeroituvasti ääretön määrä.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Taitaapi olla niin, että näköjään tuollainen funktio on tosiaan olemassa. Joka tapauksessa kyseinen hajotelma f=g+g', missä g on jatkuva ja ||g'|| on pieni, on voimassa kaikille L1-funktiolle f. Tässä hahmotelma (en keksinyt tätä itse), tarkka todistus tulisi olemaan melko pitkä.

f voidaan olettaa positiiviseksi. Approksimoidaan nyt f:ää yksinkertaisilla funktioilla, joiden muodostama jono suppenee kohti f:ää. Integroituva yksinkertainen funktio on äärellinen lineaarikombinaatio karakteristisista funktioista. Jokaiselle äärellismittaiselle joukolle voidaan löytää äärellinen yhdiste välejä, joiden symmetrinen erotus alkuperäisen joukon kanssa on mitaltaan mielivaltaisen lähellä nollaa. Siten L1-funktiota voidaan approksimoida mielivaltaisen tarkasti porrasfunktioilla.

Porrasfunktio on äärellinen lineaarinen kombinaatio välien karakteristisista funktioista. Korvataan jokainen karakteristinen funktio jatkuvalla funktiolla, jonka L1-normi on lähellä karakteristisen funktion L1-normia. Siten jokaista L1-funktiota voidaan approksimoida mielivaltaisen tarkasti jatkuvalla funktiolla.

Vierailija
Puuhikki
Taitaapi olla niin, että näköjään tuollainen funktio on tosiaan olemassa. Joka tapauksessa kyseinen hajotelma f=g+g', missä g on jatkuva ja ||g'|| on pieni, on voimassa kaikille L1-funktiolle f.

Anteeksi, mutta väännätkö vielä rautalangasta? Onko se h(x) k(x) siis L1-funktio? Jos sille tekisi tuon hajotelman, olisi kai mielekästä valita g=k(x)/2, mutta ei g' sitten olisi pieni, koska se olisi g'(x) = h(x) k(x) - k(x) / 2 = k(x) [h(x) - 1/2]. Nyt ongelmana on h(x)-1/2, joka saa arvoja -1/2:n ja 1/2:n välillä. ||g'(x)|| ei siis ole mitenkään pieni.

Jos h(x) k(x):ää lähtee approksimoimaan jatkuvilla funktiolla niin homma tökkää siihen, että pienin yläraja on k(x) ja suurin alaraja 0 (oletetaan k(x) positiiviseksi).

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Päivystävä dosentti
Onko se h(x) k(x) siis L1-funktio?

Meinaapi mennä jo taitojeni ylärajoille, kun en ole vielä lukenut paljoakaan reaalianalyysiä. h:n keskiarvo mitallisessa joukossa A on 1/m(A) ||h|| =1/2, eli ||h||= m(A)/2. Nyt en ole varma, mutta luulen, että koska k on jatkuva, on ||hk||=||h|| ||k||=m(A)/2 ||k||. k:n normin joukossa A tulee vähetä nopeammin kuin A:n mitan (mutta suuruusluokkaa O(1) oleva väheneminen riittää), jotta h(x)k(x) olisi L1-funktio.

Jos yhtälö ||hk||=||h|| ||k|| ei päde, voidaan käyttää Schwarzin epäyhtälöä, jollon ||hk||_1<= ||h||_2||k||_2. Siten jos funktioiden L2-normien tulo suppenee, myös ||hk||_1 suppenee. Saiskohan konvoluution avulla jotain tarkempia ehtoja suppenemiselle?

Vierailija
Puuhikki
Päivystävä dosentti
Onko se h(x) k(x) siis L1-funktio?

Meinaapi mennä jo taitojeni ylärajoille, kun en ole vielä lukenut paljoakaan reaalianalyysiä. h:n keskiarvo mitallisessa joukossa A on 1/m(A) ||h|| =1/2, eli ||h||= m(A)/2. Nyt en ole varma, mutta luulen, että koska k on jatkuva, on ||hk||=||h|| ||k||=m(A)/2 ||k||.



Minulla reaalianalyysi on ruosteessa eikä se koskaan kovin vahva ole ollut... Onneksi nykyään on niin helppo selvitellä netistä, mikä on esimerkiksi yksinkertainen funktio. Muuten olisi ollut täyttä hepreaa se aiempi vastauksesi.

h:n keskiarvo on 1/2 äärellisillä väleillä, mikä ei vielä tarkoita että se olisi 1/2 mille tahansa mitalliselle joukolle. Voidaanhan esimerkiksi valita A = {x | h(x) >= 0,9 ja 0 <= x =< 1}. Nyt h:lle asetetuista ehdoista seuraa, että m(A) = 0,1 ja h:n keskiarvo joukossa A = 0,95. (Viittaan tähän samaan joukkoon myöhemmin.)

Tuossa edellä ||hk|| tarkoitti sinulla siis ilmeisesti integraalia hk:n yli, vai kuinka? Silloin tuo ||hk|| = ||h|| ||k|| ei kyllä mitenkään päde... Jos vaikka h(x) olisi 1 kaikille x, silloin ||k|| = ||hk||, mutta ||h|| olisi ääretön, eli ||hk|| ei voi olla ||h|| ||k||.

Puuhikki
f voidaan olettaa positiiviseksi. Approksimoidaan nyt f:ää yksinkertaisilla funktioilla, joiden muodostama jono suppenee kohti f:ää. Integroituva yksinkertainen funktio on äärellinen lineaarikombinaatio karakteristisista funktioista.



Tämän uskon ymmärtäneeni, kiitos netin.

Puuhikki
Jokaiselle äärellismittaiselle joukolle voidaan löytää äärellinen yhdiste välejä, joiden symmetrinen erotus alkuperäisen joukon kanssa on mitaltaan mielivaltaisen lähellä nollaa. Siten L1-funktiota voidaan approksimoida mielivaltaisen tarkasti porrasfunktioilla.

Symmetrinen erotus löytyi taas netin avulla, mutta en silti ymmärtänyt seuraavaa askelta.

h:n määritelmästä seuraa, että esimerkiksi tuo yllä määritelty A (joukko, jossa h(x) >= 0,9) on tasaisesti levinnyt välille [0, 1], mutta sen mitta on vain 0,1. Siksi en ymmärrä, miten joukolle A voisi löytää äärellisen yhdisteen välejä niin, että symmetrisen erotuksen mitta olisi lähellä nollaa.

h(x) on käsittääkseni L1-funktio, jos määritellään se nollaksi välin [0, 1] ulkopuolella (silloin ||h|| = 1/2). En usko, että sitä kuitenkaan voi approksimoida porrasfunktioilla. Riippuu kai vähän miten approksimaatio on määritelty, mutta jos tarkoitus olisi saada vaikkapa ||h - h'|| pieneksi minkä tahansa äärellismittaisen joukon yli niin silloin ei kyllä toimi. Voin taas valita joukoksi tuon edellä määritellyn A:n, jolloin approksimaatio on lähellä h:ta vain jos h'(x) = 0,95. Jos taas joukoksi otetaan koko väli [0, 1], silloin vain h'(x) = 0,5 antaa pienen virheen.

Melkein kaikkialla jatkuvien funktioiden joukossa pienin yläraja h(x):lle on h'(x) = 1 ja suurin alaraja on h'(x) = 0.

Uusimmat

Suosituimmat