Matematiikan vanha kilpailutehtävä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

(x+2)^(1/3) + (x+3)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = 0

Tuli vähän sekavan näköinen, mutta en löytänyt juurimerkkiä. Tuosta tehtävästähän näkee tyhmempikin kaveri (minä) heti, että ratkaisu on x=-3 on ratkaisu. Minkälaisten välivaiheiden kautta siihen pitäisi päätyä?

Sivut

Kommentit (40)

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Sijoittamalla x=-3 lausekkeeseen ja perustelemalla, miksi funktio f(x)=(x+2)^(1/3) + (x+3)^(1/3) + (x+4)^(1/3) on aidosti kasvava.

Vierailija

helppo nakki!

(x+2)^(1/3) + (x+3)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = 0
(x+2)^(1/3) + (x+3)-(x+3)^(1/3)=0
(1/3)-(1/3)+ (x+3)^(1/3)=0
[3-3=0]+(x+2)^(1/3)
3 x 1/3=3
^3+3=9
^9
=3

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
N.E.R.O

(x+2)^(1/3) + (x+3)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = 0
(x+2)^(1/3) + (x+3)-(x+3)^(1/3)=0
(1/3)-(1/3)+ (x+3)^(1/3)=0
[3-3=0]+(x+2)^(1/3)
3 x 1/3=3
^3+3=9
^9
=3

Tuosta nyt ei ota kukaan selvää. En tajua yhtään, mitä olet tekemässä. Jos tarkastaisin koetta, antaisin vastauksesta 0 pistettä. Ja muuten, 3 x 1/3=1.

Vierailija
Puuhikki
N.E.R.O

(x+2)^(1/3) + (x+3)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = 0
(x+2)^(1/3) + (x+3)-(x+3)^(1/3)=0
(1/3)-(1/3)+ (x+3)^(1/3)=0
[3-3=0]+(x+2)^(1/3)
3 x 1/3=3
^3+3=9
^9
=3

Tuosta nyt ei ota kukaan selvää. En tajua yhtään, mitä olet tekemässä. Jos tarkastaisin koetta, antaisin vastauksesta 0 pistettä. Ja muuten, 3 x 1/3=1.

3*x*(1/3)=3
Mutta tuosta tulee
x = 3 eikä x= -3

Vierailija

Tässä jotain pyörittelyä:

(x+2)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = -(x+3)^(1/3) || korotus ^3

=> ...pyöritystä (binomin kuution varmaan osaat) ja eikun tekijät ulos...

=> -(x+3) = ((x+2)^(1/3))((x+4)^(1/3))((x+2)^(1/3)+(x+4)^(1/3))

Tuollaiseen pääsee aika helposti. Nyt alkuperäisen lausekkeen mukaan
(x+2)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = -(x+3)^(1/3), eli

=> x+3 = ((x+2)(x+3)(x+4))^(1/3) || korotus ^3
=> (x+3)^3 = (x+2)(x+3)(x+4)

Nyt jos x=-3 saadaan 0=0, eli -3 on tehtävän ratkaisu
Jos x on erisuuri kuin -3 saadaan

(x+3)^2 = (x+2)(x+4)
x^2+6x+9 = x^2+6x+8
1=0 epätosi. Siis x = -3

Toivottavasti ei pahempia virheitä.

Jee. Eka viesti.

Vierailija
Enola Gay
Tässä jotain pyörittelyä:

(x+2)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = -(x+3)^(1/3) || korotus ^3

=> ...pyöritystä (binomin kuution varmaan osaat) ja eikun tekijät ulos...

=> -(x+3) = ((x+2)^(1/3))((x+4)^(1/3))((x+2)^(1/3)+(x+4)^(1/3))

Tuollaiseen pääsee aika helposti.

Ikävä puuttua asiaan mutta (a+b)^3 = a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3

siten tuo vahvistettu ei voi pitää paikkaansa.

Vierailija

Eikös tuota voi vain korottaa molempia puolia kolmanteen, sitten siirtää x:t toiselle puolelle ja vakiot toiselle ja laskee että
3x = -9
x = -3

vai?

Vierailija
Joza
Eikös tuota voi vain korottaa molempia puolia kolmanteen, sitten siirtää x:t toiselle puolelle ja vakiot toiselle ja laskee että
3x = -9
x = -3

vai?

Ei, ei, ei, ei .....

Voidaan kylläkin saattaa muotoon

-(x+3)^3=3*((x+3)^2-1)*(-(x+3)), josta edelleen

x=-3, x= -3+1/2*6^(1/2) tai x= -3-1/2*6^(1/2),

joista ainoastaan x=-3 toteuttaa alkuperäisen yhtälön.

Vierailija

"Ikävä puuttua asiaan mutta (a+b)^3 = a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3
siten tuo vahvistettu ei voi pitää paikkaansa."

Kyllä sen pitäis olla oikein:
(x+2)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = -(x+3)^(1/3) || ( ) ^3

=> (x+2) + (x+4) + 3((x+4)^(1/3))((x+2)^(1/3))^2) +
3((x+2)^(1/3)((x+4)^(1/3))^2) = -x-3

=> 3((x+2)^(1/3))((x+4)^(1/3))((x+2)^(1/3)+(x+4)^(1/3)) = -3(x+3)

Joka jaettuna kolmella on haluamamme yhtälö.

Vierailija
Enola Gay
Tässä jotain pyörittelyä:

(x+2)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = -(x+3)^(1/3) || korotus ^3

=> ...pyöritystä (binomin kuution varmaan osaat) ja eikun tekijät ulos...

=> -(x+3) = ((x+2)^(1/3)) * ((x+4)^(1/3)) *

((x+2)^(1/3)+(x+4)^(1/3))

Kommentti: Tuossa ylemmässä on ainakin jotain outoa.

Tuollaiseen pääsee aika helposti. Nyt alkuperäisen lausekkeen mukaan
(x+2)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = -(x+3)^(1/3), eli

=> x+3 = ((x+2)(x+3)(x+4))^(1/3) || korotus ^3
=> (x+3)^3 = (x+2)(x+3)(x+4)

Kommentti: Missä on kerroin 3 (3*a*b*(a+b))

Nyt jos x=-3 saadaan 0=0, eli -3 on tehtävän ratkaisu
Jos x on erisuuri kuin -3 saadaan

(x+3)^2 = (x+2)(x+4)
x^2+6x+9 = x^2+6x+8
1=0 epätosi. Siis x = -3

Toivottavasti ei pahempia virheitä.

Jee. Eka viesti.

Vahvennetusta puuttuu kokonaan kerroin 3.
Vaikka siitä oikea vastaus tuleekin. Mutta tulee
myös silloin, kun kerroin 3 on mukana.

ps. En alunperin huomannut kaikkia sulkumerkkejä
mutta siitä huolimatta kolmonen kertoimena puuttuu.

Vierailija
=> -(x+3) = ((x+2)^(1/3)) * ((x+4)^(1/3))*
((x+2)^(1/3)+(x+4)^(1/3))

Kommentti: Tuossa ylemmässä on ainakin jotain outoa.

Tuollaiseen pääsee aika helposti. Nyt alkuperäisen lausekkeen mukaan
(x+2)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = -(x+3)^(1/3), eli

=> x+3 = ((x+2)(x+3)(x+4))^(1/3) || korotus ^3
=> (x+3)^3 = (x+2)(x+3)(x+4)

Kommentti: Missä on kerroin 3 (3*a*b*(a+b))

Ei siinä ole mitään outoa, se on vain vähän sekava. Helpotetaan hommaa: (x+2)^(1/3) = a
ja (x+4)^(1/3) = b

korotuksen jälkeen saat -(x+3) = (x+2) + (x+4) + 3ba^2 + 3ab^2
On selvästi -3x-9 = 3ab(a+b) Mistä kolmonen supistuu. En sitä jaksanut alkuperäiseen postaukseen kirjoittaa.

Vierailija
Enola Gay
=> -(x+3) = ((x+2)^(1/3)) * ((x+4)^(1/3))*
((x+2)^(1/3)+(x+4)^(1/3))

Kommentti: Tuossa ylemmässä on ainakin jotain outoa.

Tuollaiseen pääsee aika helposti. Nyt alkuperäisen lausekkeen mukaan
(x+2)^(1/3) + (x+4)^(1/3) = -(x+3)^(1/3), eli

=> x+3 = ((x+2)(x+3)(x+4))^(1/3) || korotus ^3
=> (x+3)^3 = (x+2)(x+3)(x+4)

Kommentti: Missä on kerroin 3 (3*a*b*(a+b))




Ei siinä ole mitään outoa, se on vain vähän sekava. Helpotetaan hommaa: (x+2)^(1/3) = a
ja (x+4)^(1/3) = b

korotuksen jälkeen saat -(x+3) = (x+2) + (x+4) + 3ba^2 + 3ab^2
On selvästi -3x-9 = 3ab(a+b) Mistä kolmonen supistuu. En sitä jaksanut alkuperäiseen postaukseen kirjoittaa.

No juu, kyllähän se noin taitaakin mennä.

Anteeksi sekoiluni.

Vierailija
lasikatto
Joza
Eikös tuota voi vain korottaa molempia puolia kolmanteen, sitten siirtää x:t toiselle puolelle ja vakiot toiselle ja laskee että
3x = -9
x = -3

vai?




Ei, ei, ei, ei .....

Voidaan kylläkin saattaa muotoon

-(x+3)^3=3*((x+3)^2-1)*(-(x+3)), josta edelleen

x=-3, x= -3+1/2*6^(1/2) tai x= -3-1/2*6^(1/2),

joista ainoastaan x=-3 toteuttaa alkuperäisen yhtälön.

Ok, mutta minkä takia ei? Jos kaikille termeille tekee saman toimenpiteen niin eikös sen voi tehdä.. Vai oliko se siksi että juuren sisällä oleva lauseke voi olla negatiivinen? Toisaalta ei kai se kuutiojuuren tapauksessa haittaa, parillisissa potensseissa vaan..

Taidan olla tyhmä, mutta selittäkää kuitenkin. Yritän tajuta..

Vierailija
Joza
lasikatto
Joza
Eikös tuota voi vain korottaa molempia puolia kolmanteen, sitten siirtää x:t toiselle puolelle ja vakiot toiselle ja laskee että
3x = -9
x = -3

vai?




Ei, ei, ei, ei .....

Voidaan kylläkin saattaa muotoon

-(x+3)^3=3*((x+3)^2-1)*(-(x+3)), josta edelleen

x=-3, x= -3+1/2*6^(1/2) tai x= -3-1/2*6^(1/2),

joista ainoastaan x=-3 toteuttaa alkuperäisen yhtälön.




Ok, mutta minkä takia ei? Jos kaikille termeille tekee saman toimenpiteen niin eikös sen voi tehdä.. Vai oliko se siksi että juuren sisällä oleva lauseke voi olla negatiivinen? Toisaalta ei kai se kuutiojuuren tapauksessa haittaa, parillisissa potensseissa vaan..

Taidan olla tyhmä, mutta selittäkää kuitenkin. Yritän tajuta..


Koska et saa yksittäisiä termejä yhteenlaskusta korottaa kolmanteen erikseen.
Eli
(a+b+c)^3 ei ole sama kuin a^3+b^3+c^3
Näin siis jos ymmärsin kysymyksesi oikein.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat