Jouluaaton algebraa ammattilaisille. ;-)

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Todista, että kaikille a, b, c > 0, pätee epäyhtälö

sqrt(a^2 - ab + b^2) + sqrt(b^2 -bc + c^2) >sqrt(a^2 + ab + c^2)

Edit: poistettu = -merkki kun piti olla vain > -merkki.

Kommentit (10)

L2K2
Seuraa 
Viestejä150
Liittynyt27.10.2006
morjens!
Todista, että kaikille a, b, c > 0, pätee epäyhtälö

sqrt(a^2 - ab + b^2) + sqrt(b^2 -bc + c^2) >=sqrt(a^2 + ab + c^2)

Tuohan pätee myös kun a=b=c=0.

Vierailija
L2K2
morjens!
Todista, että kaikille a, b, c > 0, pätee epäyhtälö

sqrt(a^2 - ab + b^2) + sqrt(b^2 -bc + c^2) >=sqrt(a^2 + ab + c^2)




Tuohan pätee myös kun a=b=c=0.

SORRY! Ei pitänytkään olla tuota yhtäsuuruus merkkiä.
Editoin ekaa viestiä hieman.

ps. Ja tämä vaikuttaa oikeasti aika hankalalta?

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Veikkaisin, että tehtävässä on virhe. Epäyhtälö sqrt(a^2 - ab + b^2) + sqrt(b^2 - bc + c^2) >=sqrt(a^2 + ac + c^2) on nimittäin voimassa kaikilla a,b,c>0. (eräs) Todistus perustuu geometriaan. Olkoon koordinaatistossa pisteet A, B, C ja origo O siten, että |OA|=a, |OB|=b, |OC|=c ja kulma AOB=kulma BOC=60 astetta. Sovelletaan kosinilausetta ja epäyhtälö seuraa helposti.

Vierailija
Regel
Puuhikki
Ei päde kun a=5, b=1, c=1/3.
Eikö päde? Minä saan pätemään =)

Ett saa!

Merkitään

F(a,b,c) = sqrt(a^2-a*b+b^2) + sqrt(b^2-b*c+c^2) - sqrt(a^2+a*b+c^2)

Sijoittamalla tähän

F(5,1,1/3)=21^(1/2)+1/3*7^(1/2)-1/3*271^(1/2)=

=likimain=-0.022866410 <0

Q.E.D.

Vierailija

Sitäpaitsi tehtävässä ilmeisesti virhe, kuten puuhikki epäili.
Pitäisi nähtävästi olla:

-------------------------------------------------------------------------

Todista, että kaikille a, b, c > 0, pätee epäyhtälö

sqrt(a^2 - ab + b^2) + sqrt(b^2 -bc + c^2) >=sqrt(a^2[size=200:h9o91nwz] - [/size:h9o91nwz]ab + c^2)

Vierailija

sqrt(a^2+b^2-ab)+sqrt(b^2+c^2-bc)=sqrt(1/2)(sqrt(a^2+b^2+(a-b)^2)+sqrt(c^2+(c-b)^2+b^2)>sqrt(1/2)sqrt((a+c)^2+a^2+c^2)=sqrt(a^2+c^2+ac)

Vierailija
morjens!
21^(1/2)+1/3*7^(1/2)-1/3*271^(1/2)=

=likimain=-0.022866410 <0

Q.E.D.


Tuossa on tullut pientä pyöristysvirhettä. Minusta 21^(1/2)+1/3*7^(1/2)-1/3*271^(1/2) on noin -0.022866412.

Uusimmat

Suosituimmat