Kysymys koskien aksioomia.

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Mitä tarkoittaa lause "Aksioomat ilmaisevat sellasia perusoletuksia, joita ei voi todistaa muiden oletusten avulla". Olisin kiitollinen, jos saisin jonkun selityksen tälle lauseelle, kun en oikein sitä ymmärrä.

Kommentit (12)

Vierailija

Matemaattisessa teoriassa aksioomat ovat usein yksinkertaisia peruslauseita joiden varaan koko teoria rakennetaan. Näiden perusoletuksien ja annettujen päättelysääntöjen avulla todistetaan sitten muita monimutakisempia lauseita (tuloksia) teoriassa. Aksioomeja ei siis todisteta, vaan ne ovat oletuksia.

Teorian aksioomat valitaan usein niin, että ne ovat intuitiivisesti oikeita ja järkeviä, eli tuntuvat "maalaisjärjellä" pitävän paikkansa. Aksioomien on lisäksi oltava keskenään ristiriidattomia ja myös toisistaan riippumattomia siten, että jokin aksiooma ei seuraa muista aksioomeista. Tunnetuin esimerkki yksinkertaisesta aksioomajoukosta on Eukleideen tasogeometria. Siinä on viisi aksioomaa, josta pari esimerkkinä:

1. kahden pisteen kautta voidaan piirtää suora.
5. Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää vain yksi annetun suoran kanssa yhdensuuntainen suora.

Lisättäköön vielä, että mikään aksiomaattinen järjestelmä ei ole täydellinen. Nimittäin Curt Gödel osoitti aikoinaan matemaatikoiden suureksi hämmästykseksi, että jokaisen aksiomaattisen järjestelmän puitteissa voidaan konstruoida totuusarvoltaan ratkaisemattomia väittämiä. Siis sellaisia väittämiä, joita ei aksioomien puitteissa pysty sen paremmin todistamaan oikeiksi tai vääriksikään. Tätä kutsutaan Gödelin epätäydellisyyslauseeksi.

Vierailija
Jaykkis
Kurt Gödel ja epätäydellisyysteoreema 8) .. no matematiikassa on tietysti omat perinteet nimetä..

Pilkunn...

Vierailija
Snaut

...
Lisättäköön vielä, että mikään aksiomaattinen järjestelmä ei ole täydellinen. Nimittäin Curt Gödel osoitti aikoinaan matemaatikoiden suureksi hämmästykseksi, että jokaisen aksiomaattisen järjestelmän puitteissa voidaan konstruoida totuusarvoltaan ratkaisemattomia väittämiä. Siis sellaisia väittämiä, joita ei aksioomien puitteissa pysty sen paremmin todistamaan oikeiksi tai vääriksikään. Tätä kutsutaan Gödelin epätäydellisyyslauseeksi.

LeCitroen:
Snaut terästi muistoja hyvin!

Olin työtön DI 90-luvun alussa ja vaimo sanoi, että rupea lukemaan matematiikkaa. Vastustellen niin tein ja huomasin, että sitä minun olisi alun alkaen pitänyt opiskella.

Syventävissä kursseissa suoritin matemaattisen logiikan ja nuo Gödelin epätäydellisyyslauseet jäivät kiehtovina mieleen! Oliko niitä vain yksi vai kaksi - niitä lauseita?

Vierailija

ArKoksen aksiooma:
"Jos laitostieteen teoreema ja ArKoksen teoreema ovat keskenään ristiriidassa, laitostieteen teoreema on metsässä!"

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
LeCitroen
Syventävissä kursseissa suoritin matemaattisen logiikan ja nuo Gödelin epätäydellisyyslauseet jäivät kiehtovina mieleen! Oliko niitä vain yksi vai kaksi - niitä lauseita?

No hyvinpä tosiaan jäänyt mieleen. Kaksihan niitä on, tai ainakaan minä en ole kuullut kolmannesta.

Vierailija

Russellin paradoksi on Bertrand Russellin vuonna 1901 keksimä paradoksi, joka todistaa Gottlob Fregen ja Georg Cantorin naiivin joukko-opin sisäisesti ristiriitaiseksi.
Paradoksin voi esittää konkreettisena esimerkkinä: oletetaan, että kylän parturi ajaa parran niiltä ja vain niiltä kylän miehiltä, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako hän tällöin oman partansa? Jos parturi ajaa oman partansa, hän ei aja omaa partaansa ja kääntäen.
Formaalimmin paradoksi määritellään siten, että joukon M alkioita ovat kaikki sellaiset (normaalit) alkiot, jotka eivät ole myös yhtenä joukkona itsessään. Joukko A on siis joukon M alkio vain, jos joukko A ei ole oma alkionsa. Paradoksi on: kuuluuko joukko M myös yhtenä alkiona itseensä? Jos kuuluu, niin ei kuulu, jos taas ei kuulu niin kuuluu.
Russellin paradoksin keksiminen johti aksiomaattisen joukko-opin keksimiseen.
Aksiomaattisen joukko-opin kehittämiseen vaikutti suuresti Kurt Gödel. Hän todisti epätäydellisyysteoreemansa todeksi ja todisti samalla, ettei matematiikka voi olla sisäisesti täysin ristiriidaton. Myös Alan Turing käytti Gödelin tulosta todistaessaan pysähtymisongelman ratkaisemattomuuden.

Lähde http://fi.wikipedia.org/wiki/Russellin_paradoksi

de Selby
Seuraa 
Viestejä1231
Liittynyt16.3.2005

Eikös aksiooman määrittely poikkea hieman riippuen siitä puhutuaanko aksioomasta matematiikan vai tiedon/tieteen kontekstissa...?

Mutta muuten aksioomista olen sitä mieltä että ovat tulkintoja nekin - vaikka kuinka määrittely kuuluisikin niin että ne joku tulkitsee "toden alkuaineiksi". Olisi kiva tietää mitä suuria aksioomia tiede on historiansa aikana purkanut useampaan ala-aksioomaan - siis käytännössä todistanut aksiooman vääräksi.

Gravity sucks.

Vierailija
Tarkkailija
Russellin paradoksi on Bertrand Russellin vuonna 1901 keksimä paradoksi, joka todistaa Gottlob Fregen ja Georg Cantorin naiivin joukko-opin sisäisesti ristiriitaiseksi.
Paradoksin voi esittää konkreettisena esimerkkinä: oletetaan, että kylän parturi ajaa parran niiltä ja vain niiltä kylän miehiltä, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako hän tällöin oman partansa? Jos parturi ajaa oman partansa, hän ei aja omaa partaansa ja kääntäen.
Formaalimmin paradoksi määritellään siten, että joukon M alkioita ovat kaikki sellaiset (normaalit) alkiot, jotka eivät ole myös yhtenä joukkona itsessään. Joukko A on siis joukon M alkio vain, jos joukko A ei ole oma alkionsa. Paradoksi on: kuuluuko joukko M myös yhtenä alkiona itseensä? Jos kuuluu, niin ei kuulu, jos taas ei kuulu niin kuuluu.
Russellin paradoksin keksiminen johti aksiomaattisen joukko-opin keksimiseen.
Aksiomaattisen joukko-opin kehittämiseen vaikutti suuresti Kurt Gödel. Hän todisti epätäydellisyysteoreemansa todeksi ja todisti samalla, ettei matematiikka voi olla sisäisesti täysin ristiriidaton. Myös Alan Turing käytti Gödelin tulosta todistaessaan pysähtymisongelman ratkaisemattomuuden.

Lähde http://fi.wikipedia.org/wiki/Russellin_paradoksi

Itse asiassa Russelin paradoksi osoitti Fregen aksiomaattisen joukko-opin ristiriitaiseksi ja tämän aiheutti lähinnä Fregen viides aksiooma. Tästä lähti sitten liikkeelle paremmin aksiomatisoidun joukko-opin kehittyminen, joka siis nyttemmin tunnetaan Zermelo–Fraenkelin aksiomatiikkana tai joukko-oppina.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
Tarkkailija
Formaalimmin paradoksi määritellään siten, että joukon M alkioita ovat kaikki sellaiset (normaalit) alkiot, jotka eivät ole myös yhtenä joukkona itsessään. Joukko A on siis joukon M alkio vain, jos joukko A ei ole oma alkionsa.

M on luokka, ei joukko.

Uusimmat

Suosituimmat