Yhtälön kokonaisluku ratkaisut?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tulisi etsiä yhtälön

[size=150:lc4ezk1f]2*x^3 + 385*x^2 + 256*x - 58195 = 3*y^2[/size:lc4ezk1f]

kokonaisluku ratkaisut?

Jääneekö muuta vaihtoehtoa kuin pc:n avulla kokeilemalla
etsiä luvut? Mutta mistä voi silloin tietää, että on löydetty
kaikki mahdolliset ratkaisut?

Olen onnistunut löytämään osan ratkaisuista

Edit: Siis anteeksi. Nämä löytämäni lukuparit tietysti pätevät
yhtälön Weierstrassin muodolle

[size=150:lc4ezk1f]y^2 = x^3 - 440067*x + 106074110[/size:lc4ezk1f]

mm.lukuparit

(-761,504),
(-745, 4520),
(91, 8172),
(227, 4228),
(247, 3528),
(271, 2592),
(455, 200),
(499, 3276),
(523, 4356),
(530, 4660),
(599, 7576)

mutta tämä siis testaamalla alue I(x,y)I<10^4

Täytynee parantaa menetelmää jotta voisi testata isomman alueen.

edit: Korjattu huolimattomuus.
edit2: Korjattu x^2:n kerroin 386->385 kuten piti ollakin.

Sivut

Kommentit (33)

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Ääh. Elliptinen yhtälö. Nämä ovat yleensä sen verran hankalia, että näihin olisi hyvä käyttää tietokonetta, esimerkiksi MWrank-ohjelmaa. Sen avulla voisi koittaa etsiä käyrän asteen ja torsioryhmän, mutta minä en ole koskaan onnistunut kääntämään kyseistä ohjelmaa. http://www.maths.nott.ac.uk/personal/jec/ftp/progs/

Onkohan sinun ohjelmassa pyörähtänyt muuttujat ympäri? Maplen avulla katsottuna x=91, y=8172 ei ole ratkaisu, ei myöskään x=-761, y=504. Muita en kokeillut.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
Gödel
Tulisi etsiä yhtälön

[size=150:33ztecug]2*x^3 + 386*x^2 + 256*x - 58195 = 3*y^2[/size:33ztecug]

kokonaisluku ratkaisut?

Jääneekö muuta vaihtoehtoa kuin pc:n avulla kokeilemalla
etsiä luvut? Mutta mistä voi silloin tietää, että on löydetty
kaikki mahdolliset ratkaisut?


Yhtälön voi kirjoittaa muotoon

2*x^3 + 386*x^2 + 256*x - 58195 - 3*y^2 = 0

Se on 3. asteen polynomi eli juuret löytyy, jolloin saadaan

(x-a(y))*(x-b(y))*(x-c(y)) = 0

Tekijöiden nollakohtien tutkiminen olisi varmaan helpompaa kuin koko yhtälön. Ainakin ratkaisujen määrän olisi helpompi määrittää.

Vierailija
Gödel
Tulisi etsiä yhtälön
[size=150:1mlek065]2*x^3 + 386*x^2 + 256*x - 58195 = 3*y^2
[/size:1mlek065]
kokonaisluku ratkaisut?

Edit: Siis anteeksi. Nämä löytämäni lukuparit tietysti pätevät
yhtälön Weierstrassin muodolle

[size=150:1mlek065]y^2 = x^3 - 440067*x + 106074110[/size:1mlek065]

Käsitellään yhtälön Weierstrassin muotoa

[size=150:1mlek065]x^3 - 440067*x + 106074110 = y^2[/size:1mlek065]

Jos lasketaan vasemman puolen nollakohdat saadaan

x1=-761.1957368, x2=306.4170909, x3=454.7786459

Tuntemalla hieman kolmannen asteen polynomifunktion käytöstä
tai ihan vain piirtämällä vasemman puolen polynomin kuvaaja,
voidaan päätellä, että

x1<=x<=x2 tai x>=x3 tällöin siis oikea puoli >=0.

Laskemalla vielä oikean puolen derivaatan nollakohdat saadaan

xd1=-383 ja xd2=383 joista vain ensimmäinen

säilyttää y:n reaalialueella.

Tällä arvolla y saa arvon y=14779.64424

Voidaan siis päätellä, että kyseeseen tulee
vain kokonaisluvut, joille

-762454 ja y=]0,inf[

ensimmäiseltä alueelta lienee siis "helppoa" hakea kaikki ratkaisut.

alue x>454 onkin jo toinen juttu.

Vierailija
calculator

Käsitellään yhtälön Weierstrassin muotoa

[size=150:12uq13yo]x^3 - 440067*x + 106074110 = y^2[/size:12uq13yo]

-762454 ja y=]0,inf[

ensimmäiseltä alueelta lienee siis "helppoa" hakea kaikki ratkaisut.

alue x>454 onkin jo toinen juttu.

käytin rajaustasi ja muutenkin rajasin laskenta-aluetta alueella
454

(-557, 13356),
(-446, 14616),
(-17, 10656),
(751, 14112),
(1003, 25956),
(1862, 75778)

Nyt ratkaisupareja on jo 17 kpl.. Kuinkahan paljon niitä oikein yhteensä
onkaan.

Alkuperäisestä Weierstrassin muotoon päästään sijoituksella

x->x/6-385/6 ja y->y/18

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Gödel
Nyt ratkaisupareja on jo 17 kpl.. Kuinkahan paljon niitä oikein yhteensä onkaan.

Kyselin ongelmasta muualta, ja sain vastauksen, jonka mukaan tietokoneella olisi löydetty ratkaisut (alkuperäinen, Weierstassiton yhtälö)

(x,y)=
(817, 21196)
(-157, -742)
(10687, -910154)
(23, 242)
(-23, -196)
(-49, 454)
(19, -182)
(103, -1442)
(61, -784)
(-19, 144)
(-67, 592)
(276251, 118593646)
(-191, -28)
(521, -11364)
(3857, 200404)
(3857, -200404)
(521, 11364)
(-191, 28)
(276251, -118593646)
(-67, -592)
(-19, -144)
(61, 784)
(103, 1442)
(19, 182)
(-49, -454)
(-23, 196)
(23, -242)
(10687, 910154)
(-157, 742)
(817, -21196)

Tässä on käytetty logaritmin lineaaristen muotojen algoritmia.

Yhälön voi syöttää GNU Pari -nimiseen ohjelmaan ja antaa jollekin vakiolle yhä suurempia arvoja. Kuulemma jonkun teorian mukaan jos vakio on riittävän iso, se antaa käyrän kaikki kokonaislukupisteet. Arvoilla 5 ja 8 tulee kuulemma samat tulokset, joten tässä on mahdollisesti kaikki ratkaisut.

Vierailija
Puuhikki
Gödel
Nyt ratkaisupareja on jo 17 kpl.. Kuinkahan paljon niitä oikein yhteensä onkaan.



Kyselin ongelmasta muualta, ja sain vastauksen, jonka mukaan tietokoneella olisi löydetty ratkaisut (alkuperäinen, Weierstassiton yhtälö)

(x,y)=
(817, 21196)
(-157, -742)
(10687, -910154)
(23, 242)
(-23, -196)
(-49, 454)
(19, -182)
(103, -1442)
(61, -784)
(-19, 144)
(-67, 592)
(276251, 118593646)
(-191, -28)
(521, -11364)
(3857, 200404)
(3857, -200404)
(521, 11364)
(-191, 28)
(276251, -118593646)
(-67, -592)
(-19, -144)
(61, 784)
(103, 1442)
(19, 182)
(-49, -454)
(-23, 196)
(23, -242)
(10687, 910154)
(-157, 742)
(817, -21196)

Tässä on käytetty logaritmin lineaaristen muotojen algoritmia.

Yhälön voi syöttää GNU Pari -nimiseen ohjelmaan ja antaa jollekin vakiolle yhä suurempia arvoja. Kuulemma jonkun teorian mukaan jos vakio on riittävän iso, se antaa käyrän kaikki kokonaislukupisteet. Arvoilla 5 ja 8 tulee kuulemma samat tulokset, joten tässä on mahdollisesti kaikki ratkaisut.

Onko kyseessä ratkaisut yhtälöön

[size=150:2y6j7d0t]2*x^3 + 385*x^2 + 256*x - 58195 = 3*y^2 [/size:2y6j7d0t]

vai

[size=150:2y6j7d0t]2*x^3 + 386*x^2 + 256*x - 58195 = 3*y^2 [/size:2y6j7d0t]

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Gödel
Onko kyseessä ratkaisut yhtälöön

[size=150:39gdzx5q]2*x^3 + 385*x^2 + 256*x - 58195 = 3*y^2 [/size:39gdzx5q]

vai

[size=150:39gdzx5q]2*x^3 + 386*x^2 + 256*x - 58195 = 3*y^2 [/size:39gdzx5q]


Tapaus 385. Tapauksella 386 ei ole ratkaisuja, mikä nähdään, kun tarkastellaan yhtälöä modulo 4.

Vierailija
Puuhikki
Gödel
Onko kyseessä ratkaisut yhtälöön

[size=150:177nyqwe]2*x^3 + 385*x^2 + 256*x - 58195 = 3*y^2 [/size:177nyqwe]

vai

[size=150:177nyqwe]2*x^3 + 386*x^2 + 256*x - 58195 = 3*y^2 [/size:177nyqwe]


Tapaus 385. Tapauksella 386 ei ole ratkaisuja, mikä nähdään, kun tarkastellaan yhtälöä modulo 4.

No kysymykseni johtui nyt vain alkuperäiseen ensimmäiseen viestiini
tulleesta huolimattomasta kirjoittamisesta.

Minäkin olen tutkinut asiaa ja yhtälöllä on tasan 23 ratkaisu lukuparia.
Ei enempää ei vähempää, joten omat kyselysi ovat tuottaneet liikaa
ratkaisuja.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Gödel
Minäkin olen tutkinut asiaa ja yhtälöllä on tasan 23 ratkaisu lukuparia. Ei enempää ei vähempää, joten omat kyselysi ovat tuottaneet liikaa ratkaisuja.

Ei kai. Yhtälöllä ei laskujeni mukaan ole ratkaisua muotoa (x,0). Jos (x,y) on yhtälön ratkaisu, on myös (x,-y) ratkaisu. Siten ratkaisupareja on parillinen määrä.

Vierailija
Puuhikki
Gödel
Minäkin olen tutkinut asiaa ja yhtälöllä on tasan 23 ratkaisu lukuparia. Ei enempää ei vähempää, joten omat kyselysi ovat tuottaneet liikaa ratkaisuja.



Ei kai. Yhtälöllä ei laskujeni mukaan ole ratkaisua muotoa (x,0). Jos (x,y) on yhtälön ratkaisu, on myös (x,-y) ratkaisu. Siten ratkaisupareja on parillinen määrä.

Joo. No sorry. Siis 23 ratkaisua (x,y), kun y>0. Eli yhteensä
tietysti 46 ratkaisua. Osa ratkaisuista siis puuttuu.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Tuo esimerkki on listan ensimmäinen ja viimeinen. Viitsisitkö postittaa oman listasi ratkaisuista, niin katselen sitten, kun pääsen taas Maplen ääreen.

Vierailija
Puuhikki
Tuo esimerkki on listan ensimmäinen ja viimeinen. Viitsisitkö postittaa oman listasi ratkaisuista, niin katselen sitten, kun pääsen taas Maplen ääreen.

Ohhoh. Olinpas sokea. Yhtälön muunnellun muodon

(x,y)->(x/6-385/6,y/18 ) ratkaisuiksi pitäisi tulla.

(-761,504)
(-745, 4520),
(91, 8172),
(227, 4228),
(247, 3528),

(271, 2592),
(455, 200),
(499, 3276),
(523, 4356),
(530, 4660),

(599, 7576),
(-557, 13356),
(-446, 14616),
(-17, 10656),
(751, 14112),

(1003, 25956),
(1862, 75778),
(3511, 204552),
(5287, 381528),
(23527, 3607272),

(64507, 16382772),
(100102, 31670478),
(1657891, 2134685628)

Ja samat vielä uudestaan, siten että (x,y)->(x,-y)

Vierailija

Tämän yhtälön juurien optimoidussa seulonnassa olisi vähän sama idea, kuin suurien lukujen tekijöiden etsimisessä (ex. väitetyn alkuluvun tekijöiden etsiminen). Funktiosta pitäisi ensin vääntää joitain yleisiä faktoja, muun muassa tarpeellinen minimiaskellus, yms.

Mutta erittäin mielenkiintoinen tehtävä!

Kun vain voisi revetä kahtia, että toinen puoli saisi jäädä kotiin tutkimaan matematiikkaa, ja se toinen puoli kävisi sitten töissä koodaamassa automaatiota ja muita hömppäalgoritmeja.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat