Kaksosparadoksi

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tällä palstalla on useitakin kertoja kränätty kaksosparadoksin olemuksesta ja siitä onko se ristiriita suhteellisuusteoriassa vai ei. Nyt näin kevään kurssin kunniaksi yritän kirjoittaa siitä kansantajuisen selvityksen. Laskutkin voidaan laittaa jos kanssakeskustelijat tahtovat.

Paradoksin ideanahan on kaksoset joista toinen tekee avaruusmatkan nopeudella joka on hyvin lähellä valonnopeutta. Palatessaan hän huomaa että maahan jäänyt veljensä on häntä vanhempi. Paradoksi syntyy siitä että matkalle lähtenyt veljensä näkökulmasta näyttää että maassa ollut veljensä etääntyy hänestä ja tulee sitten takaisin, joten eikö tässä nyt pitäisi maassa ollut veli nähdä avaruusmatkalta tuleva vanhempana? Kumpi on oikeassa? Onko tässä ristiriita joka rikkoo suhteellisuusteorian?

Tarkastellaan ensin maassa olevan kannalta. Hänen mielestään veli ensin kiihdyttää ja sitten kääntyy parin valovuoden päästä takaisin. Hän laskee että koska veli liikkui hänen suhteen niin aika veljen koordinaatistossa on kulkenut hitaammin joten matkalaisen tulee olla häntä nuorempi palatessaan.

Sitten tarkastellaan veljen aluksen menomatkakoordinaatistosta. Eli ikäänkuin olisi kolmas matkalainen josta veli sitten irtaantuisi ja kääntyisi ympäri takaisin maata kohti. Tästä tarkasteltuna ensin maassa olevan veljen aika kulkee hitaammin. Mutta silloin kuin matkalainen kääntyy kotia kohti niin kolmannen osapuolen (joka jatkaa matkaansa) näkökulmasta tämä palaava veli liikkuu huomattavasti lujempaa kuin mitä maassa oleva veli. Eli aikadilataatio on paljon rajumpi. Tämän kolmannen osapuolen mielestä matkalla ollut veli on siis nuorempi kuin maassa ollut veli. Ja saman verran kuin maassa olevan näkökulmasta.

Itseasiassa jokaisen inertiaalikoordinaatiston mielestä (eli vakionopeudella liikkuva koordinaatisto) matkalainen on nuorempi kuin maahan jäänyt veljensä.

Seuraavaksi tarkastellaan matkalla olevan veljen näkökulmaa. Hänen näkökulmastansa maassa oleva veli ensin etääntyy hänestä ja sitten tulee häntä kohti. Ainoastaan tasaista liikettä tarkasteltaessa tulee tulokseen että nyt maassa olevan pitäisi olla nuorempi. Mutta tarkastelussa tulee ottaa huomioon se, että matkalla oleva veli joutuu kiihdyttämään rakettiaan päästäkseen takaisin maahan. Eli matkanopeus menomatkalle pitää saada pois ja vielä uusi matkanopeus.

Ekvivalenssiperiaatteen mukaisesti kiihdyttävä koordinaatisto vastaa samaa kuin homogeenisessä gravitaatiokentässä oleva koordinaatisto. Ja kellojen nopeutuminen painovoimakentässä lasketaan gravitaatiopotentiaalin erojen mukaan. Normaalilla massan aiheuttamalla kentällä tämän erotukset eivät ole kaukana oleville ihmeellinen. Mutta nyt on kyseessä homogeeninen eli tasainen kenttä. Potentiaali lasketaan siis yksinkertaisesti gh eli kiihtyvyys * etäisyys. Tässä etäisyys on nyt useita valovuosia ja g on maassa olevaan päin. Eli maassa oleva on korkeammassa potentiaalissa kuin matkalainen termin gh verran. Korkeammassa potentiaalissa kellot käyvät nopeammin. Maassa olevan veljen kellot siis käyvät nopeammin kuin matkalaisen. Tämä huomataan esim GPS satelliittien kelloista jotka käyvät nopeammin kuin maanpäällä. Tämä kiihtyvyyden aikainen aikadilataatio on yhtä suuri kuin mitä inertiaalikoordinaatistoissa olevat havaitsevat. Eikä se ole sattumaa.

Matkalla oleva veli on siis samaa mieltä kuin kaikki muutkin eli hän on matkan jälkeen nuorempi kuin maahan jäänyt veljensä. Ja jokainen on myös samaa mieltä kyseisen erotuksen suuruudesta. Loppu hyvin kaikki hyvin.

Edit. Korjattu. Onneksi kielipoliisi ei sakottanut paljoa.

Sivut

Kommentit (144)

salai
Seuraa 
Viestejä7264
Liittynyt17.3.2005

Eikö kukaan uskalla nostaa Schrödingerin kissaa pöydälle?
Se on kaksosparadoksi (engl. Twin paradox), jos puhutaan kaksosista.

Mitä tahansa edellä esitetyistä väitteistä saa epäillä ja ne voidaan muuttaa toisiksi ilman erillistä ilmoitusta. Kirjoittaja pyrkii kuitenkin toimimaan rehellisesti ja noudattamaan voimassa olevia lakeja.

ykskivi
Seuraa 
Viestejä1950
Liittynyt27.3.2006

Yksi tarkentava kysymys, johon on varmaan itsestäänselvä vastaus:

Mitä jos kääntymistä ei tehdäkään jarruttamalla ja uudelleen kiihdyttämällä vaan se hoidetaan suuren massan avulla, eli matkalainen kiertää esim. mustan aukon sillä tavalla, että hän säilyttää matkanopeutensa, mutta kääntyy ympäri? Tällöin matkalainen on koko ajan vapaassa pudotuksessa, eli kiihtyvyyttä hän ei koe. Massahan vain vääristää avaruutta, eli periaatteessa matkalainen tällöin vain kulkee suoraa linjaa, joka johtaa takaisin alkupisteeseen?

Onko tilanne jollain tavalla erilainen kuin 'oikeassa' kiihdytyksessä?

To refuse a hearing to an opinion, because one is sure that it is false, is to assume that one's own certainty is the same thing as absolute certainty. All silencing of discussion is an assumption of infallibility. - John Stuart Mill -

Vierailija

Tämä menee jo hyvin vahvasti yleisen suhteellisuusteorian puolelle joten itse en osaa asiaa johtaa perusteista lähtien. Joten tässä olen toistaiseksi ns uskon varassa eli luotan mitä muualla sanotaan.

Saadaksemme raketti kääntämään suuntaa painovoimakentässä on sen mentävä hyvin lähelle kyseistä vetävää kappaletta (ympyrärataehdon on täytyttävä eli perus mekaniikalla mv^2/r ja suhteellisuusteoriassa vielä enemmän on oltava sama kuin vetovoiman ainakin yhdessä pisteessä rataa. Oletamme nyt että tälläinen rata on mahdollinen. Matkalaisen on mentävä hirvittävän lähelle mustaa aukkoa (käytännössä millään muulla kappaleella ei ole tarpeeksi vetovoimaa kääntääkseen suuntaa täysin). Joten normaali aikadilataatio potentiaalin takia astuu jälleen kehiin. Niin lähellä mustaa aukkoa potentiaalin ero käytännössä äärettömyydessä olevaan (maassa aukon kenttä on merkityksetön) on valtava.

Tässä tosin matkalaisen nopeus vielä kasvaa sen lähestyessä aukkoa gravitaation vuoksi jne. Sitä että onko tämä tulos sama kuin muiden tapojen antama en osaa itse todistaa, vielä.

Muiden näkökulmasta tarkasteltuna tilanne on sama. Eli matkaaja vaihtaa inertiaalikoordinaatistoa ja kulkee matkat kaikkien mielestä eri suuntiin.

Vierailija
meta
Entä jos 0,99999999c nopeuteen kiihdytys tehdään 10^-8 sekunnissa ja 100 valovuoden päässä nopeuden muuttaminen vastakkaiseksi tehdään myös 10^-8 sekunnissa, eli nopeus on noin vakio jatkuvasti.

Miten tässä syntyy se vuosien ero???

Jos ne alukset vain lähtevät toisiaan kohti niin tietenkään eroa lopputilanteessa ei ole koska tilanteet ovat symmetriset. Mutta jos kaksoisveli matkalla tekee kiihdytyksen ajassa 10^-8s niin se on hyvinkin tähtitieteellisen suuri kiihtyvyys. Potentiaali oli g*h niin sitten on g ja h molemmat valtavan suuria.

Vierailija

Entä, jos kiihdytetään 1 metrin matkalla ensin 0,99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999c nopeuteen ja sitten vastakkaiseen nopeuteen molemmat 10^-18 sekunnin kuluessa, niin syntyykö kaksosten välillä aikaeroa???

http://www.wakkanet.fi/~fields/finnish1.htm KAIKKI MITÄ TULEE TIETÄÄ

Vierailija

Asia ei muutu numeroarvoja suurentamalla tai pienentämällä. Ainoa mikä muuttuu on aikaeron määrä. Pelkästään meidän kahden välillä on häviävän pieni ajan kulkunopeuden ero johtuen pienestä gravitaatiopotentiaalin erosta.

Tämän säikeen tarkoitus on kansantajuisesti selvittää kaksoisparadoksin ideaa ja sen ratkaisua jotta asiasta ei vastaisuudessa tulisi kränäämistä. Ei suorittaa numeerisia ratkaisuja vino pino.

Vierailija

Otetaan tuo ensimmäinen antamasi skenaario. Maassa oleva kaksonen odottaa noin 200 vuotta että toinen palaa. Matkalla olevan kaksosen mielestä etäisyydet ovat lyhentyneet senverran (maassa olevan mielestä hänen kellonsa on hidastunut) jotta hänelle kuluu aikaa vain 0.02 vuotta. Kovin on lyhyt reissu. Toinen on siis kuollut jo kauan ennen kuin toinen palaa kotiin.

Etsin sinulle vastaavia skenaariotarkasteluja varten tämänlaisen mukavan laskurin jossa ei tarvitse vaivata päätään laskemisella. Syötät vain luvut niin se putkauttaa vastauksen.

http://www.soft-calc.com/calculator/time_dilatation_calculator_e.html

Tuolla pääset leikkimään ja kokeilemaan eri mahdollisuuksia. Hauskoja hetkiä sen parissa.

Leone
Seuraa 
Viestejä4564
Liittynyt16.3.2005

Käytät perusteluna ekvivalenssiperiaatetta. Tehköön matkaaja siis matkansa siten, että hän kokee joka hetki kiihtyvyyden g (matkassa ei siis ole tasaisen liikkeen vaihetta lainkaan). Toisaalta Maassa olija kokee myös saman kiihtyvyyden g (tai oikeastaan Maan tukivoiman).

Nyt ekvivalenssiperiaatteen mukaan kellot käyvät kummallakin samaan tahtiin ja kaksoset ovat samanikäisiä matkan jälkeen. Huomaa, että matkaajan kiihtyvyyden suunnalla tai suunnan muutoksilla ei ole vaikutusta, sillä myös Maassa olijan g:n suunta vaihtuu koko ajan Maan pyöriessä akselinsa ympäri.

Olet siis täysin väärässä.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
Leone
Käytät perusteluna ekvivalenssiperiaatetta. Tehköön matkaaja siis matkansa siten, että hän kokee joka hetki kiihtyvyyden g (matkassa ei siis ole tasaisen liikkeen vaihetta lainkaan). Toisaalta Maassa olija kokee myös saman kiihtyvyyden g (tai oikeastaan Maan tukivoiman).

Ekvivalenssiperiaatteen mukaan kiihtyvyys ja gravitaatio ovat lokaalisti ekvivalentteja. Mutta kaksosparadoksissa kaksoset ovat erillään toisistaan. Maapallon gravitaatiokenttä ei globaalisti muistuta kiihtyvässä liikkeessä olevan havaitsijan "g-kenttää". Eli maapallolla oleva havaitsija voi todeta, että maapallon gravitaatio ei juurikaan vaikuta etäällä olevaan matkalaiseen; sen sijaan matkalaisen kiihtyvyydestä johtuva "g-kenttä" on saman suuruinen koko universumissa. Tilanne ei ole symmetrinen.

Edit: Raivomielen Unet näköjään selitti tuon jo avausviestissään, joten luepas ko. viestin 2. viimeinen kappale ("Ekvival...").

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

de Selby
Seuraa 
Viestejä1231
Liittynyt16.3.2005
Raivomielen Unet

- - - Paradoksi syntyy siitä että matkalle lähtenyt veljensä näkökulmasta näyttää että maassa ollut veljensä etääntyy hänestä ja tulee sitten takaisin, joten eikö tässä nyt pitäisi massa ollut veli nähdä avaruusmatkalta tuleva vanhempana? - - -.



Raivomielen Unet

Edit. Korjattu. Onneksi kielipoliisi ei sakottanut paljoa.

Piipaa piipaa. Kielipoliisi. Aivot meni editistä huolimatta jumiin tuossa ekassa kohtaa ;-)
EDIT: EI sakkoja, varoitus kelvannee.

Gravity sucks.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat