Tensorilaskut

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Osaisikohan kukaan insinööri tai fyysikko täällä neuvoa minua pikku pulmassa? Ajatellaan indeksien laskemista ja nostamista tensorilaskennassa. Sehän tehdään kertomalla metriikalla tai käänteismetriikalla, esim.

A_ba = mu_(ax) (A^a)_b

ymmärtääkseni. Mutta miten tämä kertolasku käytännössä tehdään? Missä suunnnassa A:n komponentteja operoidaan? Olen varma, että tämä on ihan yksinkertainen asia, mutta mistään ei tahdo löytyä kunnollista selitystä. Olisin kiitollinen esimerkistä, ja muistakin tensorijutuista.

Kommentit (3)

Vierailija
halogeenikko
Osaisikohan kukaan insinööri tai fyysikko täällä neuvoa minua pikku pulmassa? Ajatellaan indeksien laskemista ja nostamista tensorilaskennassa. Sehän tehdään kertomalla metriikalla tai käänteismetriikalla, esim.

A_ba = mu_(ax) (A^a)_b

ymmärtääkseni. Mutta miten tämä kertolasku käytännössä tehdään? Missä suunnnassa A:n komponentteja operoidaan? Olen varma, että tämä on ihan yksinkertainen asia, mutta mistään ei tahdo löytyä kunnollista selitystä. Olisin kiitollinen esimerkistä, ja muistakin tensorijutuista.

En tiedä onko kyseessä typo vai ymmärrysvirhe, mutta tuon kaavasi tulisi olla

A_(ba) = mu_(ax) (A^x)_b.

Ensimmäiseksi täytyy huomata, että merkinnöissä viljellään Einsteinin summaussääntöä: Jos sama indeksi (yllä x) on kaavassa kahdesti (jos notaatio on fiksua ja virheitä ei ole tullut, kerran ylä- ja kerran alaindeksinä), niin termin edestä on jätetty kirjoittamatta siellä oikeasti lymyävä summaussymboli tuon merkinnän yli. Ylläoleva kaava siis kertoo, kuinka nuo kaksi eri tensorin A muotoa saadaan toisistaan, kunhan tunnetaan metriikka mu.

Esimerkiksi, jos avaruus olisi nyt kolmiulotteinen, yo. kaavan voisi kirjoittaa auki muotoon

A_(ba) = mu_(a1) (A^1)_b + mu_(a2) (A^2)_b + mu_(a3) (A^3)_b.

Toivottavasti tämä auttaa vähän alkuun. Googlekin löytää lukuisia englanninkielisiä tekstejä aiheesta vaikkapa hakusanoin "tensor" ja "introduction". Valitettavasti tämä foorumi ei tue LaTeX-merkintöjä kuten esim. Physicsforums tukee (kannattanee muuten vilkaista keskusteluja aiheesta sielläkin), joten nämä merkinnät voivat näyttää hyvinkin sekaville

Vierailija

Kyllä on kyseessä typo, ja näinhän se menee, kuten sanot, että Einsteinin summasääntö siellä lymyää. Tulostinkin jonkun Sharipovin "Quick Tensor Introductionin", mutta ihan rautalangasta vääntäen. Jos kirjoitan A:n komponentit auki taulukoksi, operoinko metriikan ylärivillä A:n ekaa saraketta vai ekaa riviä Oletetaan vaikka diagonaalinen metrinen tensori.

Vierailija
halogeenikko
Jos kirjoitan A:n komponentit auki taulukoksi, operoinko metriikan ylärivillä A:n ekaa saraketta vai ekaa riviä Oletetaan vaikka diagonaalinen metrinen tensori.

Vastaus tähän on helpoin nähdä katsomalla, mikä on tuo juokseva indeksi (ts. onko se rivi- vai sarakeindeksi). Tyypillisestihän ensimmäinen on rivi-indeksi ja toinen sarakeindeksi, joten ylläolevassa esimerkissä edetään pitkin myyn riviä ja A:n saraketta.

Ja onnistuinpa vielä edellisessä viestissäni kirjoittamaan tuon kaavankin väärin näköjään, oikein olisi:

A_(ab) = mu_(ax) (A^x)_b.

Uusimmat

Suosituimmat