Mandelbrotin fraktaali

Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005

Täällä on ollut yllättävän vähän keskustelua fraktaaleista. Viime aihe on vuodelta 2005, ja siinä keskusteltiin fraktaalikuvioiden "aitoudesta" tietokoneen laskentatarkkuuden rajoissa.
En jaksanut sitä aihetta nostattaa, vaan laitan tähän vähän infoa Mandelbrotin fraktaalista ja yhden zoomivideon tuohon äärettömään monimutkaisuuteen.

Eli Mandelbrotin fraktaali on kompleksisen funktion kuvaaja:

Kuvaaja näyttää ensisilmäyksellä tylsältä, mutta sitä se ei todellakaan ole, kunhan tarkastelee tuota kuvaajaa vähän lähempää... ja värikoodauksen kanssa.

Tässä hyvä esimerkki siitä, mitä kaikkea tuolta kuvaajasta löytyy. Tässä vielä toinen.
Lisää zoomivideoita löytyy samasta paikasta.

Jos tuon Mandelbrotin fraktaalin renderöi toisella tavalla, niin saadaan lotusasennossa istuvaa Buddhaa muistuttava hahmo, Buddhabrot:

...mikä on aika hauska yhteensattuma.

Onko mahdollista, kuten jotkut tutkijat spekuloivat, että oma universumimme on osa korkeampiulotteista fraktaalia?
Jos Mandelbrotin fraktaalin koko ääretön monimutkaisuus saadaan yhden yksinkertaisen kaavan avulla, niin onko olemassa kaava, joka tuottaa meidän todellisuutemme?
En näe syytä, miksei näin voisi olla.

∞ = ω^(1/Ω)

Sivut

Kommentit (41)

Vierailija

Maailmankaikkeudessa on ainakin fraktaalisia piirteitä monessa eri skaalassa, vuoristoista lumihiutaleisiin. Eli jokin osa toimii varmaankin fraktaalin tavoin, jos ei muuta. Eli fraktaalisuus on osa kokonaisuutta, ei varmaan kaikki. Mutua siis. Kuten aina.

EDIT: Ja kyllähän aika samanoloisia kaavoja on monia kuvaamassa todellisuutta. E = mc^2, Ep = 1/2 mv^2 ja niinpoispäin. Niistä voi seurata fraktaalimaisia asioita todellisuuteemme. Kuten onkin. Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen mukaan emme koskaan kyllä voi tutkia pienuutta äärettömän pitkälle nähdäksemme, jatkuuko pieneneminen loputtomiin. Tämä ei poissulje sitä mahdollisuutta, estää meitä vaan tietämästä onko näin. Ylöspäin skaalassa mentäessä tulee valonnopeus ja siitä johtuva mahdottomuus nähdä äärettömän pitkälle vastaan. Rajat on asetettu, ja niiden puitteissa pitää toimia ja pähkäillä mistä hitosta oikein on kysymys.

Mutta sepäs taas kiinnostaa enää murto-osaa ihmisistä. Enemmnä ollaan keskitytty oman elämän ympärillä pyörimiseen. Tai tv-sarjoihin. Tai muuhun hapatukseen.

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005
Armitage
Mutta sepäs taas kiinnostaa enää murto-osaa ihmisistä. Enemmnä ollaan keskitytty oman elämän ympärillä pyörimiseen. Tai tv-sarjoihin. Tai muuhun hapatukseen.

Jep, nykyihmisen maailmankuva on sen verran itsekeskeinen ja pinnallinen, että harvemmin ihmiset edes pysähtyvät miettimään tällaisia asioita.

∞ = ω^(1/Ω)

Vierailija

Jos ollaan tarkkoja niin mandelbrotin kuvaajan sisäpuolella oleva alue on se, jolla Zn+1 = Zn^2 + C ei karkaa äärettömyyteen. Ja ulkopuolella se taas karkaa. Tässä Z olet alussa 0 ja C olet jokin piste kompleksitasolla. Eli musta alue on niitä C:n arvoja joilla funktio ei karkaa äärettömyyteen. Itse fraktaalihan on tämän alueen reuna.

Mandelbrotin fraktaali on matemaattisesti hyvinkin tarkkaan analysoitu. Muistaakseni on todistettu että se on yhtenevä (reuna on jatkuva, vaikkei mitallinen), eli se on topologisesti sama kuin levy.

On hieman harhaanjohtavaa sanoa että siinä on ääretön monimutkaisuus. Algoritmisesti se on hyvinkin simppeli (eli se nousee yksinkertaisesta kaavasta). Se on siis kaukana satunnaisdatasta.

derz
Seuraa 
Viestejä2431
Liittynyt11.4.2005
Raivomielen Unet
Jos ollaan tarkkoja niin mandelbrotin kuvaajan sisäpuolella oleva alue on se, jolla Zn+1 = Zn^2 + C ei karkaa äärettömyyteen. Ja ulkopuolella se taas karkaa. Tässä Z olet alussa 0 ja C olet jokin piste kompleksitasolla. Eli musta alue on niitä C:n arvoja joilla funktio ei karkaa äärettömyyteen. Itse fraktaalihan on tämän alueen reuna.

Kiitos lisäinfosta. Itse en ole perehtynyt fraktaalin matematiikkaan tuota kaavaa tarkemmin, kun ei tietotaito riitä.
Kompleksiluvuistakin osaan vain perusasiat.

Raivomielen Unet
On hieman harhaanjohtavaa sanoa että siinä on ääretön monimutkaisuus. Algoritmisesti se on hyvinkin simppeli (eli se nousee yksinkertaisesta kaavasta). Se on siis kaukana satunnaisdatasta.

Joo, mutta Matti Meikäläiselle fraktaalikuviot näyttävät todella monimutkaisilta ja satunnaisilta, vaikka koko kuvio syntyykin vain yhdestä simppelistä, itseään toistavasta(?) kaavasta.

ps. tässä ihan mielenkiintoinen artikkeli.

∞ = ω^(1/Ω)

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Eikös Mandelbrotissa ole semmoinen mielenkiintoinen piirre myöskin että vaikka sama kuvio toistuu näennäisen samanlaisena äärettömän syvälle (?) mittakaavan pienentyessä, kuvioissa on kuitenkin pieniä, enemmän tai vähemmän kaoottisia eroavaisuuksia?

Vai onko kyseessä vain renderöintilaitteiston epätarkkuuksista?

YouTubessa on hauskoja videoita Mandelbrot-zoomeista. Esimerkkinä vaikkapa tämä klippi - jos viimeinen kuva olisi monitorin kokoinen, koko joukko olisi halkaisijaltaan suurempi kuin tunnettu maailmankaikkeus...

Minkähänlainen olisi kappaleena Mandelbrotin joukko kolmannessa ulottuvuudessa... Ja kuinka suuri pinta-ala sillä olisi?

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
Herra Tohtori
Minkähänlainen olisi kappaleena Mandelbrotin joukko kolmannessa ulottuvuudessa... Ja kuinka suuri pinta-ala sillä olisi?

Mandelbrotin joukko on itseasiassa 4D (ja yleistettynä 5D tai 6D). Täällä voi katsoa sen eri leikkauksia ja myös projektiota 3D:hen.

http://www.superliminal.com/fractals/

Vierailija

Joo, ei se kovin vaikeaa ole kuvitella sitä kolmiulotteisena, ehkä keuhkoja muistuttava pinta tai sensuuntainen, pallo, jonka yhdessa reunassa onkalo toiseen palloon, ja seinä täynnä pieniä onkaloita, jotka johtavat aina pienempii pallomaisiin onkaloihin.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
Herra Tohtori
Eikös Mandelbrotissa ole semmoinen mielenkiintoinen piirre myöskin että vaikka sama kuvio toistuu näennäisen samanlaisena äärettömän syvälle (?) mittakaavan pienentyessä, kuvioissa on kuitenkin pieniä, enemmän tai vähemmän kaoottisia eroavaisuuksia?

Vai onko kyseessä vain renderöintilaitteiston epätarkkuuksista?

Ei, kyllä ne kardioidit ovat hieman vääristyneitä. Myös niistä erkanevat "kuidut" ovat hieman erilaisia. Kaiken kaikkiaan Mandelbrotin joukko on kuitenkin aika paljon itseään toistava. Kun zoomailee jollain ohjelmalla, pian sen huomaa. Ei sieltä oleellisesti erilaisia rakenteita löydä, hieman erilaisia variaatioita samoista perusjutuista.

Laskennan tarkkuuden suhteen Mandelbrot on aika helppo juttu. Jos tarkkuutta kasvattaa liikaa, joukko pikselöityy ihan siististi. Tavallisilla 8 tavun liukuluvuilla pääsee jo pitkälle, joskin tuossa linkitämässäsi videossa se ei ole riittänyt.

Vierailija
Raivomielen Unet
Mandelbrotin fraktaali on matemaattisesti hyvinkin tarkkaan analysoitu. Muistaakseni on todistettu että se on yhtenevä (reuna on jatkuva, vaikkei mitallinen), eli se on topologisesti sama kuin levy.

Yhtenevä se käsittääkseni on, mutta nyt täytyy kyllä pureskella kovasti tuota väitettä, ettei se olisi mitallinen. Tulee mieleen tällainen:

Fraktaalihan on saatu iteroimalla äärettömyyksiin ja se siis koostuu yksittäisistä pisteistä. Pisteiden joukon mahtavuus on ääretön, mutta numeroituva. Näin ollen sen mitta on sama kuin muiden äärettömien, mutta numeroituvien joukkojen, kuten esim. rationaalilukujen joukon. Ja koska rationaalilukujen joukon mitta on nolla, niin silloin myös Mandelbrotin joukon mitta on nolla.

Kommentoikaa nyt sitten tuota ajatustani...

Raivomielen Unet
On hieman harhaanjohtavaa sanoa että siinä on ääretön monimutkaisuus. Algoritmisesti se on hyvinkin simppeli (eli se nousee yksinkertaisesta kaavasta). Se on siis kaukana satunnaisdatasta.

Näinhän se on. Vähän asian vierestä, mutta mielenkiintoistahan näissä kaoottisissa joukoissa on se, että ne ovat alkuarvoherkkiä (sensitive dependence of initial conditions), eli pienikin muutos alkuarvoon (lähtöpisteeseen) saa aikaan joukon, joka ei visuaalisesti muistuta edellistä joukkoa paljoakaan.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Kale
Yhtenevä se käsittääkseni on

En osaa paljoakaan fraktaaligeometriaa, joten olisi kiva kuulla, mitä tarkoittaa fraktaalin yhtenevyys? Tiedän, että geometriassa kaksi joukkoa voivat olla keskenään yhteneviä, mutta miten yksittäinen fraktaali voisi olla yhtenevä (paitsi tietysti itsensä kanssa)?

Vierailija
Kale
Raivomielen Unet
Mandelbrotin fraktaali on matemaattisesti hyvinkin tarkkaan analysoitu. Muistaakseni on todistettu että se on yhtenevä (reuna on jatkuva, vaikkei mitallinen), eli se on topologisesti sama kuin levy.

Yhtenevä se käsittääkseni on, mutta nyt täytyy kyllä pureskella kovasti tuota väitettä, ettei se olisi mitallinen. Tulee mieleen tällainen:

Fraktaalihan on saatu iteroimalla äärettömyyksiin ja se siis koostuu yksittäisistä pisteistä. Pisteiden joukon mahtavuus on ääretön, mutta numeroituva. Näin ollen sen mitta on sama kuin muiden äärettömien, mutta numeroituvien joukkojen, kuten esim. rationaalilukujen joukon. Ja koska rationaalilukujen joukon mitta on nolla, niin silloin myös Mandelbrotin joukon mitta on nolla.

Kommentoikaa nyt sitten tuota ajatustani...




Kompleksilukujen joukon mahtavuus on sama kuin reaalilukujen eli ylinumeroituvasti ääretön. Täten pisteitä jotka kuuluvat mandelbrotin joukkoon on ylinumeroituvasti ääretön. En ole varma siitä onko sen reunalla mittaa, olen vain muistavinani näin, yhtenevyydestä olen kyllä varma.

Tietenkin tietokoneella iteroidut fraktaalien kuvat ovat aina äärellisiä ja kiltisti numeroituvia, tämä johtuu siitä että otetaan pikseli ja päätetään nyt että se edustaa jotain niistä pisteistä jotka se peittää, siinä ikäänkuin unohdetaan paljon tavaraa. Mutta fraktaali matemaattisena objektina on asia erikseen.

Sitten käytännön asiasta. Sen määrittäminen että mikä on mandelbrotin joukon pinta-ala on äärimmäisen vaikeata. On tietenkin triviaalia huomata että joku piste (esim 100 + 0i) ei kuulu joukkoon koska se kyllä karkaa äärettömyyteen. Mutta pisteet fraktaalin reunalla ovat äärimmäisen hankalia. Tulee ongelmaksi että milloin lopettaa iteroitin ja päättää että piste kuuluu joukkoon. Tästä syystä aina käytännön iteroinneissa osa pisteistä jotka ovat joukon ulkopuolella luullaankin sisällä oleviksi. (Esim miljoonan iteraation jälkeen päätetään että kyllä se on sisällä, vaikka se sitten räjähtäisi käsiin miljardin jälkeen)

Puuhikki
Tiedän, että geometriassa kaksi joukkoa voivat olla yhteneviä, mutta miten yksittäinen fraktaali voisi olla yhtenevä (paitsi tietysti itsensä kanssa)?

Tarkoittaa sitä että jokaisesta joukon pisteestä voi piirtää viivan joukon toiseen pisteeseen siten että kuljetaan aina joukon sisällä, sen topologia on siis sama kuin ympyrän siinä suhteessa (tai vaikka banaanin, kunhan joukko ei muodostu erillisistä paloista). On kyllä tämä termistö vähän hakusessa matematiikan osalta mutta toivottavasti ymmärsit mitä tarkoitetaan tässä.

EDIT.

Kyllä, yhtenäisyys nimenomaan.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Raivomielen Unet
Puuhikki
Tiedän, että geometriassa kaksi joukkoa voivat olla yhteneviä, mutta miten yksittäinen fraktaali voisi olla yhtenevä (paitsi tietysti itsensä kanssa)?



Tarkoittaa sitä että jokaisesta joukon pisteestä voi piirtää viivan joukon toiseen pisteeseen siten että kuljetaan aina joukon sisällä, sen topologia on siis sama kuin ympyrän siinä suhteessa (tai vaikka banaanin, kunhan joukko ei muodostu erillisistä paloista).

Eli siis sama käsite kuin topologiassa yhtenäisyys? Vai tarkoittaako viiva jatkuvaa kuvausta?

Vierailija

Aluksi tunnustan, etteivät fraktaalit ole ominta alaani, joten minulla voi olla virhekäsityksiä.

Tuo Raivomielen Unen kommentti jäi mietityttämään. Olen ajatellut, että fraktaali muodostuu jostakin lähtöpisteestä ja siitä äärettömiin iteromalla saaduista pisteistä. Nyt kuitenkin olen Raivomielen Unia tulkitsevinani, että fraktaali olisi niiden alkupisteiden joukko, joista lähtenyt iteraatio ei karkaa äärettömiin. Edellisessä tapauksessa joukon mitta olisi varmasti nolla, jälkimmäisessä taas ei, koska se voi olla joko suurempi kuin nolla tai kenties pahimmillaan jopa ei-mitallinen. Asiaan paremmin perehtyneet voivat nyt selkeyttää minulle tämän asian, kiitos.

Vierailija

Se miten fraktaali iteroidaan riippuu aivan täysin fraktaalista. Niitä kun on aika paljon erilaisia. Ei ole olemassa vain yhtä ainutta fraktaalia.

Mandelbrotin joukko nimenomaan on niiden kompleksitason pisteiden C joukko joille rekursiivinen funktio Z0=C Zn+1 = Zn^2 + C _EI_ karkaa äärettömyyksiin kun n -> ääretön. Mandelbrotin fraktaalin kuvissa origo on siellä suurimman pallon "keskellä" ja -2 on hännän päässä ja 0.5 on siinä nypyssä mikä tulee siihen suurempaan palloon. Kummatkaan pisteet itsessään eivät kuulu mandelbrotin joukkoon (voin muistaa väärin, kokeilkaa laskimella).

Joukolla itsessään on kyllä mitta. Sen pinta-alan arviot vaihtelevat välillä 1.5-1.7 riippuen menetelmästä. Se on tarkemminottaen ympyrän jonka säde on 2 alijoukko. Näin sen yhteneväisyys osoitettiin. Mutta tämä reunan mitta alkoi nyt hämäämään, täytynee etsiä tietoa asiasta enemmän.

Ne hienot värit mitä noihin saadaan yleensä generoidaan siten että mitä kauemmin kestää karata äärettömyyksiin (sitä lähempänä reunaa) niin sitä kirkkaampi väri.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat