Pinta-alan ja tilavuuden suhde

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tulin tuossa miettineeksi että kun pallo on tilavuudeltaan suurin kappale pinta-alaan verrattuna, niin millä keinoin tämä todistetaan matemaattisesti?

Ihan pikaisesti ei ainakaan löytynyt kuukkelilla. Omat matikan taidot ei riitä mihinkään, ajattelin että siinä pitänee verrata erilaisia kappaleita? Mutta miten käsitellään jotain sattumanvaraisen muotoista kappaletta? Vai tarvitaanko mitään vertailua?

Jos joku viitsii selitellä niin kiitoksia!

Kommentit (12)

Vierailija
entinen
Tulin tuossa miettineeksi että kun pallo on tilavuudeltaan suurin kappale pinta-alaan verrattuna, niin millä keinoin tämä todistetaan matemaattisesti?

Ihan pikaisesti ei ainakaan löytynyt kuukkelilla. Omat matikan taidot ei riitä mihinkään, ajattelin että siinä pitänee verrata erilaisia kappaleita? Mutta miten käsitellään jotain sattumanvaraisen muotoista kappaletta? Vai tarvitaanko mitään vertailua?

Jos joku viitsii selitellä niin kiitoksia!

Toki tuota voi tutkia säännöllisten monitahokkaiden pinta-alan ja tilavuuden suhteen. Tetraedri, kuutio, oktaedri, dodekaedri, ikosaedri... ja pallon.

Tästä voinee sitten tehdä jonkinasteisen vertailun - pallohan on hyvin lähellä tarpeeksi moneen osaan jaettua monitahokasta.

Kyseisten monitahokkaiden tilavuuden ja pinta-alan laksemiseen pitäisi kyllä löytyä kaavat.

iisakka
Seuraa 
Viestejä848
Liittynyt30.9.2005

En osaa, mutta kerron kuitenkin mitä mietiskelin asiasta.

Aluksi voisi ehkä miettiä yksinkertaisempaa ongelmaa siirtymällä 2-ulotteisiin kappaleisiin ja hakemalla todistusta sille, että ympyrällä on tasokuvioista suurin A/k, jossa A = ala ja k = kehän pituus. Kun vertaillaan ympyrää ja säännöllistä n-kulmiota, voitaisiin ehkä jotenkin osoittaa, että A/k kasvaa kun n lähestyy ääretöntä.

Toisaalta asiaa voisi ehkä lähestyä fysiikan kautta. Ehkä sekin asia, että saippuakuplakin muotoutuu nimenomaan pallon muotoiseksi kätkee vastauksen tähän kysymykseen... Tähän liittyen mietiskelin paineen, tilavuuden ja pinta-alan suhteita eri muotoisilla kappaleilla. Jos vaikka kuution muotoiseen onttoon esineeseen pumppaa suuren ylipaineen, niin arkikokemuksen mukaan sen tasopinnat alkavat pullistua, ts. se pyrkii pallon muotoiseksi.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26853
Liittynyt16.3.2005
entinen
Tulin tuossa miettineeksi että kun pallo on tilavuudeltaan suurin kappale pinta-alaan verrattuna, niin millä keinoin tämä todistetaan matemaattisesti?

Tuo kuulostaa variaatiolaskennan paikalta. En kuitenkaan ole perehtynyt siihen jollakin kurssilla ollutta ultralyhyttä mainintaa paremmin, joten en osaa sen paremmin auttaa. Funkionaalien kanssa siinä tehtiin jotain, joka silloin meni korkealta ja kovaa yli hilseen.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Mahtaakohan väite päteä? Jos pallon pinnalta poistaa joukon, jonka 2- ja 3-ulotteinen Lebesguen mitta on nolla, niin eikös silloin kysytty suhde pysy vakiona, mutta kappale ei ole pallo?

Jos kuitenkin olen väärässä, mikä on mahdollista, uskoisin väitteen seuraavan Brunnin-Minkowskin epäyhtälöstä.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Pitäisi mennä, kuten Neutroni ehdotti, variaatiolaskennalla. Myös moni muu "saippuakalvo ongelma" ratkeaa sillä. Tässä tapauksessa ehdollinen variaatio. Eli tarvitaan lagrangen kertoimia, kun sidosehto on mukana.

Tehtävä voidaan muotoilla näin:
etsi funktionaalin J [y] ääriarvo ehdolla K[y]= vakio. (tilavuus)

saadaan L[y]=J[y]+lamda(K[y]-vakio), lamda on se Lagrangen kerroin.

Sitten pitää muotoilla nuo funktionaalit, käyttää Eulerin yhtälöä jne...

Itse en tuota ihan ulkomuistista osaa, vaan pitäisi ottaa kirjaa avuksi.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Puuhikki
Mahtaakohan väite päteä? Jos pallon pinnalta poistaa joukon, jonka 2- ja 3-ulotteinen Lebesguen mitta on nolla, niin eikös silloin kysytty suhde pysy vakiona, mutta kappale ei ole pallo?

Hmm. Jos noin täsmällisiä ollaan, niin ehkä sitten, mutta jos oletetaan hieman reaalimaailmaa koskevaa tilannetta, niin jos poistetaan joukko, jonka Lebesquen mitta on nolla, niin reaalimaailmassa emme poista oikeastaan mitään. (ts. mitään fysikaalista ei tapahdu, jos pinnasta poistetaan viiva, tai tilavuudesta poistetaan kaksiulotteinen pinta) Voihan niitä pintoja ja tilavuuksia ajatella paremman puutteessa vaikka integraaleina, jolloin ongelma poistuu lebesquen mitan määritelmän perusteella

edit: tässä notaatio Lebesque tarkoittaa Lebesgue...

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
iisakka
Toisaalta asiaa voisi ehkä lähestyä fysiikan kautta. Ehkä sekin asia, että saippuakuplakin muotoutuu nimenomaan pallon muotoiseksi kätkee vastauksen tähän kysymykseen...

Tämä havainto vain vahvistaa oletuksen olevan totta. Kun kaikki molekyylit haluavat olla nesteen sisällä niin pisara saa muodon jossa niitä on vähiten pinnalla. Koska ilmiö perustuu molekyylien välisiin voimiin, luulisin ettei sen kautta voi johtaa matemaattista perustaa pisaran geometrialle.

bosoni
Tehtävä voidaan muotoilla näin:
etsi funktionaalin J [y] ääriarvo ehdolla K[y]= vakio. (tilavuus)

saadaan L[y]=J[y]+lamda(K[y]-vakio), lamda on se Lagrangen kerroin.

Sitten pitää muotoilla nuo funktionaalit, käyttää Eulerin yhtälöä jne...


Niinpä niin, arvasin että menee aika hankalaksi. Hankalaksi siis sillä tavalla ettei meikäläisen matikan perusmetkut 1+2 lähemmäs 10 vuotta sitten oikein riitä tähän hommaan

Tuo bosonin kuvailema keino siis ilmeisesti kattaa kaikki kuviteltavissa olevat muodot, limaklöntistä kananmunaan ja karvalakkiin. Mielenkiintoista että näin maalaisjärjellä yksinkertaisen oloinen juttu on kuitenkin sitten aika monimutkainen(?)..

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
entinen

Tuo bosonin kuvailema keino siis ilmeisesti kattaa kaikki kuviteltavissa olevat muodot, limaklöntistä kananmunaan ja karvalakkiin.

Periaatteessa, mutta jos oikea vastaus sattuisi olemaan karvalakki, niin luulenpa että tuo laskeminen osoittautuisi ylitsepääsemättömän vaikeaksi.

Tuo laskentatapa on jo melko työläs yhden muuttujan tapauksessa, mutta menee vielä työläämmäksi, jos muuttujia on monta. Vapaaehtoisesti vapaa-ajalla voisin kuvitella laskevani yksinkertaistetun yhden muuttujan ongelman tuosta, eli välille a:sta b:hen rajoittuvan pyörähdyskappaleen muoto, tilavuuden pysyessä vakiona ja pinta-alan minimoiden. Pitäisi tulla ulos ympyrän yhtälö, jonka pyörähdyskappale on pallo..

Tuolla ongelma muotoilulla ei kuitenkaan ihan todisteta alkuperäistä ongelmaa, ja tuossakin alkuehdoksi pitää asettaa että korkeus kohdissa a ja b on nolla... (koska muuten ongelma ei ole riittävän hyvin rajattu, ja ratkaisu sisältää pari mielivaltaista vakiota) Pari A4 paperia tuohonkin voisi tuhrautua, ja työläämmäksi menee jos rehellisesti pyrkii laskemaan alkuperäistä ongelmaa...

Sen verran otan varovaisesti takaisin, että en mene näin äkkiä vannomaan, että ongelma on helposti rajattavissa tuossa alkuperäisessä ongelmassa. (luulisi, että mikäli tehtävä ei ole ihan mahdottoman vaikea, niin joku on sen laskenut, ja ehkä se löytyy jostain laskettuna)

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

r-säteisen pallon pinta-ala on A=4 pii r^2 ja tilavuus V=4 pii r^3/3. Siten 36 pii V^2=A^3, joten pallon tapauksessa kolmiulotteinen isoperimetrinen epäyhtälö muuttuu yhtälöksi, eli suurempitilavuuksista kappaletta ei voi olla kunhan pinta-ala on vakio.

Vierailija

Olisikohan vaihtoehtoinen todistustapa ainakin pallon topologian tapauksessa verrata pinta-ala integraalia tilavuusintegraaliin. Eli lasketaan yksinkertaisesti tilavuus integroimalla ja samalla pinta-ala. Ja silloin tulee paras 'hyötysuhde' kun saadaan mahdollisimman paljon tilavuutta/pinta-ala. Jos säde muuttuu jossain vaiheessa niin se ei vaikuta kummoisestikkaan tilavuusintegraaliin (se käyryys on toista kertalukua eli supistuu pois) mutta pinta-alaan taas tietenkin vaikuttaa (muistelkaa viiva-integraaleja).

Tästä huomaa sen suoraan että optimitilanne on pallo kun topologia on yhtenäinen sekä valitusta origosta piirretty säde ei leikkaa pintaa kuin yhdessä kohtaa.

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
Raivomielen Unet
Olisikohan vaihtoehtoinen todistustapa ainakin pallon topologian tapauksessa verrata pinta-ala integraalia tilavuusintegraaliin.

Voit kokeilla. En ole reaalianalyysin asiantuntija, mutta mielestäni integraalit voivat mennä melko hankaliksi jos kappaleessa on paljon fraktaalipintaa. Tässä tapauksessa pitäisi todistaa, että tällöin raunan pinta-ala kasvaa välttämättä rajatta.

Vierailija

Mitä enemmän naisen vaatteilla on pinta-alaa sitä suuuurempi on Hänen tilavuutensa.

Näin kerran naisen jolla tilavuus oli niin valtava, että vessan pönttö meni tukkoon.

Näin kerran Mäkissä laihan naisen syömässä.

Uusimmat

Suosituimmat