PALLO

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Kuinka pallon tilavuuden kaava V(pallo) = 4/3 * π * r³ voidaan johtaa?

Sivut

Kommentit (30)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Kuinka tuttua on integroiminen ja pallokoordinaatisto? Helpointahan tuon johtaminen on laskea tilavuus integroimalla pallokoordinaatistossa.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
tomppa
Kuinka pallon tilavuuden kaava V(pallo) = 4/3 * π * r³ voidaan johtaa?

Pallon Ala A: 4 *pii * r exp 2 integroidaan säteeen suhteen int(r)= elikkä r:n potenssi kasvaa kahdesta kolmeen ja uusi potenssi (3) tulee myös lausekkeen jakajaksi. Noin nii ku maalaisjärjellä selitettynä.

Jacci
Seuraa 
Viestejä8
Liittynyt16.3.2005

Voit myös laskea pallon tilavuuden pyörähdyskappaleen tilavuutena, kun origokeskeisen ympyrän x^2+y^2=r^2 puolikas y=sqrt(r^2-x^2) pyörähtää x-akselin ympäri.

Vierailija

Jos kerrot neljällä samalla r:llä olevan suoraympyräkartion tilavuuden (kaava 1/3*pii*r^2*h , h=r) saat pallon tilavuuden.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
delta
Jos kerrot neljällä samalla r:llä olevan suoraympyräkartion tilavuuden (kaava 1/3*pii*r^2*h , h=r) saat pallon tilavuuden.

Hmm. Olikos tuossa jokin perusteltavissa oleva logiikka? Ei ainakaan minulle ihan heti auennut.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Esitin sen lähinnä huomiona. Minua kiinnostaa tuon murtoluvun 4/3 synty.
Jos pallo halkaistaan neljään yhtäsuureen lohkoon , on yksi lohko samankokoinen kokoinen kuin tämä pyöreäpohjainen kartio ,jos korkeus on myös r.
Tällaisen neljännespallolohkon kuoren ala on pii*r^2 ,siis sama kuin pallon halkaisijalla tai ympyräkartion pohjalla.
Jos lohko olisi jotain muovautuvaa tai rautalankakehikko siitä saisi muovailtua tällaisen kartion. Se varmaan olisikin paras tapa minun tätä todistella.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
delta
Esitin sen lähinnä huomiona. Minua kiinnostaa tuon murtoluvun 4/3 synty.

Hakematta mitään metafyysistä selitystä se saadaan laskettua ihan raa'asti. En tiedä, kuinka paljon tunnet matematiikkaa, mutta jos uskot että näin se menee, niin voin näyttää yhden tavan.

Tuolla edellä nimim. risat on esittänyt yhden tavan laskea pallon tilavuus, olettaen, että pallon pinta-ala osataan laskea.

Oletetaan pallon muodostuvan hyvin ohuista pallonkuorista, joiden pinta-ala on tietysti 4pii*r². Jos pallonkuorien paksuus on häviävän pieni dr, niin kunkin pallon tilavuus on dr*4pii*r².

Matemaattinen keino näiden pallonkuorien tilavuuksien yhteenlaskemiseen on integrointi. Integroidaan (eli lasketaan yhteen) pallonkuorien tilavuuksia keskipisteestä pallon reunaan asti. ja se merkitään:

∫4pii*r²dr

ja kun tuon lausekkeen laskee, niin ulos putkahtaa 4/3*pii*R³.

Eli tuon murtoluvun nelonen oli kotoisin pinta-alan kaavasta ja kolmonen syntyi integroitaessa. (geometria on varsinainen syy, mutta se ilmestyy siihen näin laskiessa tuossa kohtaa) Sille ei välttämättä ole sen kummempia geometrisia yhteyksiä lieriöön tai kartioon.

Lasketaan nyt mallin vuoksi tuon lieriön ja kartion tilavuuden yhteys.

Oletetaan lieriö, jonka pohjan ala on A. Lieriön tilavuus on luonnollisesti Ah.

Entäpä suora kartio, jonka pohjan ala on tuo sama A ja korkeus sama h? (pohjan muodolla ei väliä)

Suorassa kartiossa poikkileikkauksen ala on suoraanverrannollinen halkaisijan neliöön. (ei väliä mistä kohtaa otettu, kunhan otetaan aina samasta kohdasta)

Suorassa kartiossa poikkileikkausken halkaisija on suoraanverrannollinen etäisyyteen huipusta. Pinta-ala taas on suoraanverrannollinen halkaisijan neliöön, joten

A(h)=c*h², joka menee nollaan kun h on nolla. cH² = A(H) on ala korkeudella H.

Noh, lasketaan taas näitä ohuita pintoja, joiden häviävän pieni paksuus on dh, yhteen huipusta korkeuteen H.

∫c*h²dh = 1/3*cH³ = 1/3A(H)*H Taas tuo murtoluku ilmestyi integroitaessa ja tietenkin varsinainen syy on geometriassa.

Edit: pieni korjaus ja selventävä lisäys tuon A(H):n suhteen.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

bosoni:
En minäkään hae mitään metafyysistä selitystä.
Kiitos että jaksoit tehdä selkoa.
Minulle on derivoinnin jälkeen aika sankkaa sumua. En voi sanoa , että tällä istumalla asia olisi selvinnyt, mutta säilytän tämän ja jatkan perehtymistä.

Vierailija

Voidaanko kehän pituudesta johtaa samalla lailla ympyrän pinta-ala seuraavasti ?
∫2pii*rdr =2∫pii*rdr = 4pii*r^2

Vierailija

Risat ja bosoni. Ei lähtökohtana voida pitää ympyrän pinta-alan kaavaa a=4πr², koska se ei ole mitenkään itsestään selvä. Joko se pitää johtaa ensin, tai lähteä liikkeelle jostain muusta, esim. jo mainitusta pyörähdyskappaleen tilavuuden integroimisesta.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Kale
Risat ja bosoni. Ei lähtökohtana voida pitää ympyrän pinta-alan kaavaa a=4πr², koska se ei ole mitenkään itsestään selvä.

Joo, riippuu mitä oletetaan tiedetyksi. On se helppo johtaa pallokoordinaatistossa tai sitten pyörähdyskappaleen pintana.

edit: tarkoitit varmaan pallon pinta-alaa

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
delta
Voidaanko kehän pituudesta johtaa samalla lailla ympyrän pinta-ala seuraavasti ?
∫2pii*rdr =2∫pii*rdr = 4pii*r^2

Kyllä vain, idea aivan oikein hahmotettu. Mutta tuossa on pieni kerroin virhe. Integroinnista tulee puolikas eteen ja lopputulos on pii*r².

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat