Seuraa 
Viestejä45973

Kuinka pallon tilavuuden kaava V(pallo) = 4/3 * π * r³ voidaan johtaa?

Sivut

Kommentit (30)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704

Kuinka tuttua on integroiminen ja pallokoordinaatisto? Helpointahan tuon johtaminen on laskea tilavuus integroimalla pallokoordinaatistossa.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

tomppa
Kuinka pallon tilavuuden kaava V(pallo) = 4/3 * π * r³ voidaan johtaa?

Pallon Ala A: 4 *pii * r exp 2 integroidaan säteeen suhteen int(r)= elikkä r:n potenssi kasvaa kahdesta kolmeen ja uusi potenssi (3) tulee myös lausekkeen jakajaksi. Noin nii ku maalaisjärjellä selitettynä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
delta
Jos kerrot neljällä samalla r:llä olevan suoraympyräkartion tilavuuden (kaava 1/3*pii*r^2*h , h=r) saat pallon tilavuuden.

Hmm. Olikos tuossa jokin perusteltavissa oleva logiikka? Ei ainakaan minulle ihan heti auennut.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Esitin sen lähinnä huomiona. Minua kiinnostaa tuon murtoluvun 4/3 synty.
Jos pallo halkaistaan neljään yhtäsuureen lohkoon , on yksi lohko samankokoinen kokoinen kuin tämä pyöreäpohjainen kartio ,jos korkeus on myös r.
Tällaisen neljännespallolohkon kuoren ala on pii*r^2 ,siis sama kuin pallon halkaisijalla tai ympyräkartion pohjalla.
Jos lohko olisi jotain muovautuvaa tai rautalankakehikko siitä saisi muovailtua tällaisen kartion. Se varmaan olisikin paras tapa minun tätä todistella.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
delta
Esitin sen lähinnä huomiona. Minua kiinnostaa tuon murtoluvun 4/3 synty.

Hakematta mitään metafyysistä selitystä se saadaan laskettua ihan raa'asti. En tiedä, kuinka paljon tunnet matematiikkaa, mutta jos uskot että näin se menee, niin voin näyttää yhden tavan.

Tuolla edellä nimim. risat on esittänyt yhden tavan laskea pallon tilavuus, olettaen, että pallon pinta-ala osataan laskea.

Oletetaan pallon muodostuvan hyvin ohuista pallonkuorista, joiden pinta-ala on tietysti 4pii*r². Jos pallonkuorien paksuus on häviävän pieni dr, niin kunkin pallon tilavuus on dr*4pii*r².

Matemaattinen keino näiden pallonkuorien tilavuuksien yhteenlaskemiseen on integrointi. Integroidaan (eli lasketaan yhteen) pallonkuorien tilavuuksia keskipisteestä pallon reunaan asti. ja se merkitään:

∫4pii*r²dr

ja kun tuon lausekkeen laskee, niin ulos putkahtaa 4/3*pii*R³.

Eli tuon murtoluvun nelonen oli kotoisin pinta-alan kaavasta ja kolmonen syntyi integroitaessa. (geometria on varsinainen syy, mutta se ilmestyy siihen näin laskiessa tuossa kohtaa) Sille ei välttämättä ole sen kummempia geometrisia yhteyksiä lieriöön tai kartioon.

Lasketaan nyt mallin vuoksi tuon lieriön ja kartion tilavuuden yhteys.

Oletetaan lieriö, jonka pohjan ala on A. Lieriön tilavuus on luonnollisesti Ah.

Entäpä suora kartio, jonka pohjan ala on tuo sama A ja korkeus sama h? (pohjan muodolla ei väliä)

Suorassa kartiossa poikkileikkauksen ala on suoraanverrannollinen halkaisijan neliöön. (ei väliä mistä kohtaa otettu, kunhan otetaan aina samasta kohdasta)

Suorassa kartiossa poikkileikkausken halkaisija on suoraanverrannollinen etäisyyteen huipusta. Pinta-ala taas on suoraanverrannollinen halkaisijan neliöön, joten

A(h)=c*h², joka menee nollaan kun h on nolla. cH² = A(H) on ala korkeudella H.

Noh, lasketaan taas näitä ohuita pintoja, joiden häviävän pieni paksuus on dh, yhteen huipusta korkeuteen H.

∫c*h²dh = 1/3*cH³ = 1/3A(H)*H Taas tuo murtoluku ilmestyi integroitaessa ja tietenkin varsinainen syy on geometriassa.

Edit: pieni korjaus ja selventävä lisäys tuon A(H):n suhteen.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

bosoni:
En minäkään hae mitään metafyysistä selitystä.
Kiitos että jaksoit tehdä selkoa.
Minulle on derivoinnin jälkeen aika sankkaa sumua. En voi sanoa , että tällä istumalla asia olisi selvinnyt, mutta säilytän tämän ja jatkan perehtymistä.

Risat ja bosoni. Ei lähtökohtana voida pitää ympyrän pinta-alan kaavaa a=4πr², koska se ei ole mitenkään itsestään selvä. Joko se pitää johtaa ensin, tai lähteä liikkeelle jostain muusta, esim. jo mainitusta pyörähdyskappaleen tilavuuden integroimisesta.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Kale
Risat ja bosoni. Ei lähtökohtana voida pitää ympyrän pinta-alan kaavaa a=4πr², koska se ei ole mitenkään itsestään selvä.

Joo, riippuu mitä oletetaan tiedetyksi. On se helppo johtaa pallokoordinaatistossa tai sitten pyörähdyskappaleen pintana.

edit: tarkoitit varmaan pallon pinta-alaa

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
delta
Voidaanko kehän pituudesta johtaa samalla lailla ympyrän pinta-ala seuraavasti ?
∫2pii*rdr =2∫pii*rdr = 4pii*r^2

Kyllä vain, idea aivan oikein hahmotettu. Mutta tuossa on pieni kerroin virhe. Integroinnista tulee puolikas eteen ja lopputulos on pii*r².

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

bosoni
Kale
Risat ja bosoni. Ei lähtökohtana voida pitää ympyrän pinta-alan kaavaa a=4πr², koska se ei ole mitenkään itsestään selvä.



Joo, riippuu mitä oletetaan tiedetyksi. On se helppo johtaa pallokoordinaatistossa tai sitten pyörähdyskappaleen pintana.

edit: tarkoitit varmaan pallon pinta-alaa


Ups! Pallonpa pallon!

Yksi hyvä tapa jolla saadaan minkä ulotteisen pallon tilavuus tahansa on integroida yksi ulottuvuus pienempiä palloja yhteen. Ympyrää pienempi 'pallohan' on viiva. Voidaan siis integroida yhteen viivoja. Ajatelkaa sitä siten että ympyrä voidaan jakaa äärettömään määrään eri pituisia viivoja jotka ovat päällekkäin. Eli se leikataan yhdessä suunnassa moneen siivuun.

Yhden tälläisen siivun pituus suhteessa ympyrän keskipisteeseen on tietenkin 2*Sqrt[R^2 - x^2) jossa R olet ympyrän säde ja x olet etäisyys ympyrän keskipisteestä. Eli integroidaan välillä -R -> R 2Sqrt[R^2-x^2] dx ja lopputulos on pii*R^2. Noin saatiin kivasti ympyrän pinta-ala.

Seuraavaksi lasketaan pallo. Pallo voidaan ajatella tietenkin pinoksi ympyröitä. Ympyrän halkaisija on taas 2*Sqrt[R^2-x^2] samalla logiikalla kuin äsken. Koska haluamme tässä säteen esille niin jaamme sen kahdella. Koska äsken integroitiin 1d palasia ja saatiin 2d pinta niin nyt integroidaan niitä ympyrän pinta-aloja yhteen. Eli integroidaan taas välillä -R - R pii*Sqrt[R^2 - x^2]^2 = pii integraali -R R R^2 - x^2 dx Tästä tulee mukavasti ulos (4/3)pii*R^3

Ja samalla logiikalla laskemme hyperpallon (4d pallon) hypertilavuuden. Summaamme vain palloja yhteen. Tästä saadaan (pii^2*R^4)/2. Tällä tavalla voidaan jatkaa aina vain äärettömyyteen asti.

Tällä tavalla laskien oletetaan vain pythagoraan lause tunnetuksi sekä perus integrointi. Ei siis lähdetä mistään oletuksista että tiedetään jo pinta-alan kaava.

Lisäys:
Näin iltapäivän ratoksi parametrisoin tuon uudestaan. Sen integroitavan objektin säteenhän voi ilmoittaa keskuskulman sininä. Samalla muuttuvat myös integroimisrajat. Eli uusi integraali on perusmuotoa 0-π Sin[x]. Tästä sain sitten johdettua mukavan muotoisen kaavan N pallolle.

(Kertoma k=1 -> k=n ∫0-pii Sin[x]^k dx)*R^n

Nuo integraalit kerrottuna keskenään antavat sen vakion, ja R on sitten säderiippuvuus. Geometria on kyllä hieno asia.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Raivomielen Unet
Eli integroidaan taas välillä -R - R pii*Sqrt[R^2 - x^2]^2 = pii integraali -R R R^2 - x^2 dx Tästä tulee mukavasti ulos (4/3)pii*R^3

Jep, tuo menee suht helposti noin, eli ympyränkaaren pyörähdyskappaleen tilavuutena. Hankalampaa sen sijaa olisi laskea samalla idealla pallon pinta-alaa. Lauseke on helppo muodostaa, kun ajatellaan puoliympyrän kaaren pyörähtävän x-akselin ympäri. Ohuen pinnan viipaleen ala on tässä tietysti kehän pituus kertaa sqrt(dx²+dy²) (pythagoraan lauseella ympyrän kaaren differentiaali) eli tulee 2pii*y*sqrt(dx²+dy²).

Muokataan tuo lauseke vielä uusiksi, jotta voidaan integroida yhden muuttujan suhteen.lavennetaan dy² dx²:lla ja otetaan juuresta ulos dx

tulee 2pii*y*sqrt(1+(dy/dx)²)dx = 2pii*sqrt(R²-x²)*sqrt(1+(dy/dx)²)dx

ja tuosta (dy/dx)² tulee x²/(R²-x²) ja sen voi sijoittaa tuonne ja jatkaa, jos haluaa...

Sieltä tulee kyllä 4pii*R², mutta hankaluutena on tuon neliöjuurifunktion integrointi ilman erillistä kikkailua. Se onnistuu kyllä periaatteessa jos jaksaa.

Pallokoordinaatistossa tietty menee ilman kikkailua, mutta sillä oletuksella että tuntee pallokoordinaatiston ja useampiulotteisen integroinnin.

Loppujen lopuksi pallon tilavuuden integrointi on helpompaa lukion tiedoin kuin pallon pinta-alan johtaminen... vai keksiikö joku helpomman keinon?

Edit: tuo edellinen lasku oli alunperin väärin. Niin väärin, että hävettää.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1578
Kale
Risat ja bosoni. Ei lähtökohtana voida pitää ympyrän pinta-alan kaavaa a=4πr², koska se ei ole mitenkään itsestään selvä. Joko se pitää johtaa ensin, tai lähteä liikkeelle jostain muusta, esim. jo mainitusta pyörähdyskappaleen tilavuuden integroimisesta.

Tällaiset tehtävät onnistuvat helposti piirtämällä tilanteesta differentiaaligeometrinen kuva, jossa näkyy tila-alkio dV lausuttuna koordinaattien ja niiden pienten lisäysten avulla. Tietysti asiaan vaikuttaa myös sopivan koordinaatiston valinta, mikä luonnollisesti tässä tapauksessa on pallokoordinaatisto.

Parhaiten tilanne selviää linkin

http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/e ... 3_2_2.html

toisesta kuvasta, jossa tila-alkio on määritetty. Sen alla olevassa kehyksessä myös integrointi on suoritettu, mutta r:n yläraja on tässä tilavuuden laskennan tapauksessa R eikä ∞.

Vanha jäärä

Vanha jäärä
Kale
Risat ja bosoni. Ei lähtökohtana voida pitää ympyrän pinta-alan kaavaa a=4πr², koska se ei ole mitenkään itsestään selvä. Joko se pitää johtaa ensin, tai lähteä liikkeelle jostain muusta, esim. jo mainitusta pyörähdyskappaleen tilavuuden integroimisesta.



Tällaiset tehtävät onnistuvat helposti piirtämällä tilanteesta differentiaaligeometrinen kuva, jossa näkyy tila-alkio dV lausuttuna koordinaattien ja niiden pienten lisäysten avulla. Tietysti asiaan vaikuttaa myös sopivan koordinaatiston valinta, mikä luonnollisesti tässä tapauksessa on pallokoordinaatisto.

Parhaiten tilanne selviää linkin

http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/e ... 3_2_2.html

toisesta kuvasta, jossa tila-alkio on määritetty. Sen alla olevassa kehyksessä myös integrointi on suoritettu, mutta r:n yläraja on tässä tilavuuden laskennan tapauksessa R eikä ∞.


Niinpä. Tuli vain mieleen, että eikö pallokoordinaatistossa kulmia ole sopimusmukaisesti määrätty, kun täältä löytyy eri paikkaan merkitty θ ? Itsekin olen oppinut sen esittämäsi linkin tyyliin, joten hämmästykseni oli suuri, kun löysinesittämäni sivun.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat