Pienten pallojen määrä suuren pallon sisällä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Olkoon iso pallo, jonka säde on x, ja pieniä palloja joiden säde on y.
Montako pientä palloa menee ison pallon sisään?

Triviaali vastaushan on (x/y)^3, jos tarkastellaan vain pallojen tilavuutta, mutta onkohan laskutoimitus miten vaikea jos otetaan huomioon että pienten pallojen väliin jää tyhjää tilaa.

Onko ongelman ratkaiseminen ympyröillä 2-ulotteisessa avaruudessa yhtään helpompaa?

Kommentit (4)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26912
Liittynyt16.3.2005
Heppu
Olkoon iso pallo, jonka säde on x, ja pieniä palloja joiden säde on y.
Montako pientä palloa menee ison pallon sisään?

Triviaali vastaushan on (x/y)^3, jos tarkastellaan vain pallojen tilavuutta, mutta onkohan laskutoimitus miten vaikea jos otetaan huomioon että pienten pallojen väliin jää tyhjää tilaa.

Onko ongelman ratkaiseminen ympyröillä 2-ulotteisessa avaruudessa yhtään helpompaa?

En osaa ratkaista ongelmaa, mutta muistaakseni jossain matematiikan kurssilla todettiin äärellisen tilavuuden pakkausongelmien olevan yleisesti vaikeita.

Äärettömään pakkaukseen saadaan ne klassiset ratkaisut, pintakeskeinen kuutiohila ja heksagonaalinen hila (ja niiden pinousvialliset sekasikiöt). En osaa johtaa todistusta sille, että nuo ovat tiheimmät mahdolliset pakkaukset, mutta täyttösuhde on pienellä geometrisellä pohdiskelulla helppo laskea. Pannaan tetraedrin kärkiin pallot ja lasketaan paljonko ne täyttävät tetraedristä.

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005
Heppu

Triviaali vastaushan on (x/y)^3, jos tarkastellaan vain pallojen tilavuutta, mutta onkohan laskutoimitus miten vaikea jos otetaan huomioon että pienten pallojen väliin jää tyhjää tilaa.

Asiaa on tutkittu paljon ja kuukkeloiminen termeillä "packing problem sphere" tai termien kombinaatioilla antaa lisätietoa kyllin.

Itse olen joskus joutunut perehtymään 2D-ongelmiin, kun sekä alue ja siihen sijoiteltavat kappaleet ovat olleet erilaisia ja mielivaltaisen muotoisia. Tehtävä vie kombinatorisen optimoinnin ongelmiin, joiden ratkaisu on periaatteessa helppoa, mutta käytännössä vaikeaa kombinaatioräjähdyksen takia.

Säännöllisten geometrioiden sijoittelun vaikeus taas riippuu alueen muodosta sekä kappaleen ja alueen pinta-alasuhteesta. Pienten ympyröiden sijoittamisessa isoon säännölliseen alueeseen lienee tasasivuisten kolmioiden verkko varsin pätevä.

Vanha jäärä

Uusimmat

Suosituimmat