Differentiaaliyhtälöpari

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Mietin miten ratkaistaan varatun hiukkasen rata sen saapuessa kohtisuorasti homogeeniseen magneettikenttään ilman, että oletetaan etukäteen sen olevan ympyrärata. Päädyin seuraavaan differentiaaliyhtälöpariin:

m*d²x/dt²=qB*dy/dt

m*d²y/dt²=qB*dx/dt

Miten kyseinen diff.yht.pari ratkaistaan? En ole varma onko yhtälö oikein. Jos ei ole, niin miten rata sitten ratkaistaan?

Kommentit (10)

Vierailija

Ratkaisu tavasta en lähde lausumaan mutta tekniset apuvälineet
kertovat ratkaisun olevan muotoa.

x(t) = C2+C3*exp(-q*B/m*t)+C4*exp(q*B/m*t),

y(t) = -C3*exp(-q*B/m*t)+C4*exp(q*B/m*t)+C1

Jossa nuo C1,C2,C3 ja C4 integroimisvakioita.

Vierailija

Tossa y-komponenttiyhtälössä (alemmassa) pitäisi olla miinusmerkki oikealla puolella, tulee sitä ristituloa
vxB=(v_x,v_y,0) x (0,0,B)
laskettaessa. Kannattaa aluksi ratkaista v_x ja v_y, jolloin kyseessä on suoraan ensimmäisen kertaluvun diff.yhtälösysteemi. Ajastariippumaton rata taitaa ratketa muodollisillalla jakolaskuilla.

Suoraan tuollainen muotoa u'(t)=Au(t)-muotoinen yhtälö ratkeaa eksponenttimatriisin avulla, u(t)=e^(At)*u0.Tässä tehtävässä kannattanee kuitenkin eliminoida toinen muuttujista v_x ja v_y derivoimalla toinen yhtälö ajan suhteen ja ratkaisemalla saatu toisen kertaluvun yhden muuttujan diffis.

EDIT: se olikin alempi yhtälö, y-komponenttiin liittyvä siis.

Vierailija
deriva
Tossa y-komponenttiyhtälössä (ylemmässä) pitäisi olla miinusmerkki oikealla puolella, tulee sitä ristituloa
vxB=(v_x,v_y,0) x (0,0,B)
laskettaessa.

Siinä tapauksessa ratkaisut ovatkin muotoa:

y(t) = (-(q^2)^(1/2)*C3*cos(B/m*(q^2)^(1/2)*t)+(q^2)^(1/2)*C4*sin(B/m*(q^2)^(1/2)*t)+C1*q)/q

x(t) = C2+C3*sin(B/m*(q^2)^(1/2)*t)+C4*cos(B/m*(q^2)^(1/2)*t)

Vierailija

Tähän on olemassa semmonen kiva kompleksilukutemppu, joka kannattaa muistaa kun tulee
saman tyylisiä yhtälöitä ratkaistavaksi:

m*d²x/dt²=-qB*dy/dt

m*d²y/dt²=qB*dx/dt

kerrotaan alempi yhtälö i:llä ja lisätään ylempään:

m*d²(x+iy)/dt² =-qB*(dy/dt-idx/dt)=i*qB*d(x+iy)/dt

eli nyt kun kirjoitetaan z=x+iy saadaan z:alle normaali 2:kln diffis yhtälö

m*d²z/dt²=-iqB*dz/dt

jonka sitten voi ratkaista esim sijoittamalla yrite z=exp(i*k*t) jolloin saadaan

-k^2*m=k*qB => k= -qB/m

tästä saadaan sitten y ja x

x= Re exp(-iqBt/m)=cos(qBt/m)
y= Im exp(-iqBt/m)=sin(qBt/m)

eli siis ympyrä! (ylläri ylläri!)
Laskussa saattaa olla jotain pikku virheitä, mutta idea pitäis olla ihan selkeä!

Vierailija
Welli
Tähän on olemassa semmonen kiva kompleksilukutemppu, joka kannattaa muistaa kun tulee
saman tyylisiä yhtälöitä ratkaistavaksi:

m*d²x/dt²=-qB*dy/dt

m*d²y/dt²=qB*dx/dt

kerrotaan alempi yhtälö i:llä ja lisätään ylempään:

m*d²(x+iy)/dt² =-qB*(dy/dt-idx/dt)=i*qB*d(x+iy)/dt

eli nyt kun kirjoitetaan z=x+iy saadaan z:alle normaali 2:kln diffis yhtälö

m*d²z/dt²=-iqB*dz/dt

jonka sitten voi ratkaista esim sijoittamalla yrite z=exp(i*k*t) jolloin saadaan

-k^2*m=k*qB => k= -qB/m

tästä saadaan sitten y ja x

x= Re exp(-iqBt/m)=cos(qBt/m)
y= Im exp(-iqBt/m)=sin(qBt/m)

eli siis ympyrä! (ylläri ylläri!)
Laskussa saattaa olla jotain pikku virheitä, mutta idea pitäis olla ihan selkeä!

Differentiaaliyhtälöiden täsmällinen ratkaiseminen vaatii myös tietoa
alkuarvoista. Tässä niitä ei ole käsitelty, joten ratkaisu ilman
integroimisvakioita ei voi olla validi. Toisaalta alkuarvoja ei
ole myöskään annettu, joten sitä paremmalla syyllä.

Vierailija

Deriva taisikin jo kertoa kaiken tarpeellisen. Tässä on yksi tapa vähän enemmillä välivaiheilla.

Yhtälöt ovat siis:

x'' = a y'
y'' = -a x'
( a = qB/m )

Nämä voidaan ratkaista nopeuden suhteen:

vx' = a vy
vy' = -a vx

Tästä saadaan, että ratkaisujen pitää toteuttaa nämä yhtälöt:

vx'' = -a² vx
vy'' = -a² vy

Tämänlaisten yhtälöiden kaikki reaaliset ratkaisut ovat muotoa:

A sin(a t) + B cos(a t)

Täten paikan funktioiden on oltava muotoa:

A sin(a t) + B cos(a t) + C

On vielä otettava huomioon, että derivoitiin kerran, eli kaikki ratkaisut eivät välttämättä päde.

x = Ax sin(a t) + Bx cos(a t) + Cx
y = Ay sin(a t) + By cos(a t) + Cy

Sijoitetaan tämä alkuperäiseen yhtälöön. Huomataan, että vakiot Cx ja Cy saavat olla mitkä tahansa - ne vastaavatkin paikkaa. Saadaan:

-Ax sin - Bx cos = Ay cos - By sin
-Ay sin - By cos = Ax cos - Bx sin

Koska diffisyhtälöiden on pädettävä kaikilla ajanhetkillä, saadaan (sin ja cos lin. riippumattomia):

Ax = By
Bx = -Ay
Ay = -Bx
By = Ax

Ratkaisu pitää siis vielä muokata:

x = Ax sin + Bx cos + Cx
y = -Bx sin + Ax cos + Cy

Tässä on juuri sopiva määrä tuntemattomia.

Jatkuu pian...

Vierailija

Jatkuu... Päädyttiin siis tähän:

x = Ax sin + Bx cos + Cx
y = -Bx sin + Ax cos + Cy

Merkitään (x, y) = x, (Cx, Cy) = p0. Tällöin:

x = p0 + (Bx, Ax) * cos + (Ax, -Bx) * sin

Huomataan, että vektori (Ax, -Bx) on vektori (Bx, Ax) pyöritettynä 90 astetta kellosuuntaan x-y-tasossa. Nyt on selvää, että kyseessä on ympyrä.

Tällöin (Bx, Ax) = (x0, y0) ilmaisee yksinkertaisesti missä kohdassa hiukkanen on ympyräradallaan ajanhetkellä nolla. Vektori p0 on ympyräradan keskipiste.

Yhtälöt voi tietenkin muokata tähän muotoon:

x = R cos(a t + k0) + x0
y = R sin(a t + k0) + y0

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
calculator

Differentiaaliyhtälöiden täsmällinen ratkaiseminen vaatii myös tietoa
alkuarvoista. Tässä niitä ei ole käsitelty, joten ratkaisu ilman
integroimisvakioita ei voi olla validi.

Tuossa ei olekaan haettu yleistä ratkaisua, vaan yksi erikoisratkaisu.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
Massi^-
Mietin miten ratkaistaan varatun hiukkasen rata sen saapuessa kohtisuorasti homogeeniseen magneettikenttään ilman, että oletetaan etukäteen sen olevan ympyrärata. Päädyin seuraavaan differentiaaliyhtälöpariin:

m*d²x/dt²=qB*dy/dt

m*d²y/dt²=qB*dx/dt

Miten kyseinen diff.yht.pari ratkaistaan? En ole varma onko yhtälö oikein. Jos ei ole, niin miten rata sitten ratkaistaan?




calculator
Welli
Tähän on olemassa semmonen kiva kompleksilukutemppu, joka kannattaa muistaa kun tulee
saman tyylisiä yhtälöitä ratkaistavaksi:

m*d²x/dt²=-qB*dy/dt

m*d²y/dt²=qB*dx/dt

kerrotaan alempi yhtälö i:llä ja lisätään ylempään:

m*d²(x+iy)/dt² =-qB*(dy/dt-idx/dt)=i*qB*d(x+iy)/dt

eli nyt kun kirjoitetaan z=x+iy saadaan z:alle normaali 2:kln diffis yhtälö

m*d²z/dt²=-iqB*dz/dt

jonka sitten voi ratkaista esim sijoittamalla yrite z=exp(i*k*t) jolloin saadaan

-k^2*m=k*qB => k= -qB/m

tästä saadaan sitten y ja x

x= Re exp(-iqBt/m)=cos(qBt/m)
y= Im exp(-iqBt/m)=sin(qBt/m)

eli siis ympyrä! (ylläri ylläri!)
Laskussa saattaa olla jotain pikku virheitä, mutta idea pitäis olla ihan selkeä!




Differentiaaliyhtälöiden täsmällinen ratkaiseminen vaatii myös tietoa
alkuarvoista. Tässä niitä ei ole käsitelty, joten ratkaisu ilman
integroimisvakioita ei voi olla validi. Toisaalta alkuarvoja ei
ole myöskään annettu, joten sitä paremmalla syyllä.



bosoni

Tuossa ei olekaan haettu yleistä ratkaisua, vaan yksi erikoisratkaisu.

Näin on. Siksipä asiaa kommentoinkin.

Vierailija
bosoni
calculator

Differentiaaliyhtälöiden täsmällinen ratkaiseminen vaatii myös tietoa
alkuarvoista. Tässä niitä ei ole käsitelty, joten ratkaisu ilman
integroimisvakioita ei voi olla validi.



Tuossa ei olekaan haettu yleistä ratkaisua, vaan yksi erikoisratkaisu.

Kaikki ratkaisut ovat ympyräratoja (tai pelkkä piste) x-y-tasossa. Jos hiukkasella on magneettikentän suuntaista nopeutta, on kyseessä spiraalirata.

Uusimmat

Suosituimmat