Jatkuvuus

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Jos tiedetään, että itseisarvo funktiosta on jatkuva, niin onko funktio ilman itseisarvoa jatkuva? Miten tämän voi todistaa?

Sivut

Kommentit (23)

Vierailija

Jos funktion itseisarvo on jatkuva, itse funktio ei välttämättä ole jatkuva.
Esimerkiksi funktio
f(x)=1, kun x on rationaaliluku ja
f(x)=-1 kun x on irrationaaliluku
on kaikkialla epäjatkuva kun taas sen itseisarvofunktio
|f(x)|=1
on jatkuva kaikkialla.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
Prinssi
Minkälainen kuvaaja tulee funktiosta
f(x) = x, kun x on rationaaliluku ja
f(x) = 0, kun x on irrationaaliluku?

Et antanut funktion määrittelyjoukkoa. Jos tämä tunnetaan, funktion kuvaaja selviää suoraan määritelmästä: Kuvaaja on joukko
{(x,f(x))}={(x,x)|x rationaaliluku} unioni {(x,0)|x irrationaaliluku}.

Vierailija
Prinssi
Minkälainen kuvaaja tulee funktiosta
f(x) = x, kun x on rationaaliluku ja
f(x) = 0, kun x on irrationaaliluku?

Kuvaajassa on ikäänkuin kaksi suoraa, y=x ja y=0. Ne eivät kuitenkaan ole todellisia jatkuvia suoria, vaan koostuvat yksittäisistä pisteistä. Nekin ovat kuitenkin niin tiheässä että niiden väliä ei voi nähdä, koska kahden rationaali- tai irrationaaliluvun välistä löytyy aina lisää...

Mutta kuvaaja ei ole siis jatkuva (paitsi ehkä kun x=0?).

Vierailija
Edu
Prinssi
Minkälainen kuvaaja tulee funktiosta
f(x) = x, kun x on rationaaliluku ja
f(x) = 0, kun x on irrationaaliluku?

Kuvaajassa on ikäänkuin kaksi suoraa, y=x ja y=0. Ne eivät kuitenkaan ole todellisia jatkuvia suoria, vaan koostuvat yksittäisistä pisteistä. Nekin ovat kuitenkin niin tiheässä että niiden väliä ei voi nähdä, koska kahden rationaali- tai irrationaaliluvun välistä löytyy aina lisää...

Mutta kuvaaja ei ole siis jatkuva (paitsi ehkä kun x=0?).


Ei mitään ehkä, vaan funktio on jatkuva tasan yhdessä kohdassa, ja se kohta on x=0. Muualla funktio ei ole jatkuva.

Vierailija
Kale
Ei mitään ehkä, vaan funktio on jatkuva tasan yhdessä kohdassa, ja se kohta on x=0. Muualla funktio ei ole jatkuva.
Miten tutkitaan funktion jatkuvuutta yksittäisessä pisteessä? Lukiossa tätä ei opetettu.

Vierailija
Massi^-
Kale
Ei mitään ehkä, vaan funktio on jatkuva tasan yhdessä kohdassa, ja se kohta on x=0. Muualla funktio ei ole jatkuva.
Miten tutkitaan funktion jatkuvuutta yksittäisessä pisteessä? Lukiossa tätä ei opetettu.

Tätä varten tarvitaan jatkuvuuden määritelmää:
Reaaliarvoinen funktio on jatkuva pisteessä y jos kaikilla positiivisilla luvuilla s on olemassa luku d siten, että |f(x)-f(y)|

Tämä on se määritelmä, jonka kanssa matematiikan opiskelijat joutuvat opintojensa alussa pähkäilemään eniten ja se kieltämättä näyttää aika kryptiseltä.

Todistetaan määritelmän avulla funktion f(x)=1 jatkuvuus vaikkapa pisteessä x=0.
|f(x)-f(0)|=|1-1|=0. Tämä on pienempi kuin mikään positiivinen luku ja funktio on siis jatkuva pisteessä x=0.

Samoin funktiolle f(x)=x pisteessä x=0.
|f(x)-f(0)|=|x-0|=|x|
Nyt jos valitaan |x-y|=|x-0|=|x| pienemmäksi kuin s, saadaan myöskin |f(x)-f(0)| pienemmäksi kuin s.
Siis funktio on jatkuva pisteessä x=0.

Vierailija
Massi^-
Kale
Ei mitään ehkä, vaan funktio on jatkuva tasan yhdessä kohdassa, ja se kohta on x=0. Muualla funktio ei ole jatkuva.
Miten tutkitaan funktion jatkuvuutta yksittäisessä pisteessä? Lukiossa tätä ei opetettu.

Kyllä kai se lukiossa opeteta( mulla se on vielä kesken...)... Eikö se ole raja-arvojen avulla? Eli raja-arvojen piti olla samat tätä pistettä lähestyttäessä molemmilta puolilta, jotta funktio olisi jatkuva tässä pisteessä?

Vierailija
Pakana
Massi^-
Kale
Ei mitään ehkä, vaan funktio on jatkuva tasan yhdessä kohdassa, ja se kohta on x=0. Muualla funktio ei ole jatkuva.
Miten tutkitaan funktion jatkuvuutta yksittäisessä pisteessä? Lukiossa tätä ei opetettu.

Kyllä kai se lukiossa opeteta( mulla se on vielä kesken...)... Eikö se ole raja-arvojen avulla? Eli raja-arvojen piti olla samat tätä pistettä lähestyttäessä molemmilta puolilta, jotta funktio olisi jatkuva tässä pisteessä?

Suunnilleen näin. Molempien puolien raja-arvojen täytyy olla samat ja lisäksi funktion arvo tutkittavassa pisteessä pitää olla sama kuin ko. raja-arvo.
Eli funktio f on jatkuva pisteessä y, jos lim_x->y f(x) =a ja lisäksi f(y)=a.

Vierailija
Pakana
Massi^-
Kale
Ei mitään ehkä, vaan funktio on jatkuva tasan yhdessä kohdassa, ja se kohta on x=0. Muualla funktio ei ole jatkuva.
Miten tutkitaan funktion jatkuvuutta yksittäisessä pisteessä? Lukiossa tätä ei opetettu.

Kyllä kai se lukiossa opeteta( mulla se on vielä kesken...)... Eikö se ole raja-arvojen avulla? Eli raja-arvojen piti olla samat tätä pistettä lähestyttäessä molemmilta puolilta, jotta funktio olisi jatkuva tässä pisteessä?
Niin mutta muistaakseni se onnistui lukion menetelmillä vain, jos funktio on jatkuva myös pisteen ympäristössä. Muistaakseni opettaja sanoi, että lukion menetelmillä ei voi tutkia onko funktio jatkuva pisteessä, jonka ympäristössä funktio ei ole jatkuva.

Vierailija
Massi^-
Pakana
Massi^-
Kale
Ei mitään ehkä, vaan funktio on jatkuva tasan yhdessä kohdassa, ja se kohta on x=0. Muualla funktio ei ole jatkuva.
Miten tutkitaan funktion jatkuvuutta yksittäisessä pisteessä? Lukiossa tätä ei opetettu.

Kyllä kai se lukiossa opeteta( mulla se on vielä kesken...)... Eikö se ole raja-arvojen avulla? Eli raja-arvojen piti olla samat tätä pistettä lähestyttäessä molemmilta puolilta, jotta funktio olisi jatkuva tässä pisteessä?
Niin mutta muistaakseni se onnistui lukion menetelmillä vain, jos funktio on jatkuva myös pisteen ympäristössä. Muistaakseni opettaja sanoi, että lukion menetelmillä ei voi tutkia onko funktio jatkuva pisteessä, jonka ympäristössä funktio ei ole jatkuva.

Minullakin on sellainen käsitys, että kyllä sen raja-arvon voi lukiossakin ottaa. Siis onnistuu lukion menetelmillä.

Vierailija
Massi^-
Niin mutta muistaakseni se onnistui lukion menetelmillä vain, jos funktio on jatkuva myös pisteen ympäristössä. Muistaakseni opettaja sanoi, että lukion menetelmillä ei voi tutkia onko funktio jatkuva pisteessä, jonka ympäristössä funktio ei ole jatkuva.

Mikäli funktio on määritelty jossakin pisteen x_0 ympäristössä, niin funktio on jatkuva pisteessä x_o jos ja vain jos lim f(x) -> f(x_0), kun x -> x_0. Toisaalta lukiotiedoilla raja-arvojen tarkastelu onnistuu vain, jos funktio on jatkuva pisteen x_0 eräissä vasemman- ja oikeanpuolisissa ympäristöissä, koska lukion "intuitiivinen" raja-arvon käsite ei enää laajene epäjatkuviin ympäristöihin.

Vierailija

Eli kyseinen funktio on jatkuva pisteessä 0, mitenkäs todistetaan että se on epäjatkuva kaikkialla muualla kuin pisteessä 0?

Vierailija
Prinssi
Eli kyseinen funktio on jatkuva pisteessä 0, mitenkäs todistetaan että se on epäjatkuva kaikkialla muualla kuin pisteessä 0?

^Quantum^
(aikaisemmin)
Tätä varten tarvitaan jatkuvuuden määritelmää:
Reaaliarvoinen funktio on jatkuva pisteessä y jos kaikilla positiivisilla luvuilla s on olemassa luku d siten, että |f(x)-f(y)|

Olkoon x rationaaliluku ja erisuuri kuin 0, ja s>0. Minkä tahansa mielivaltaisen pienen etäisyyden d sisäpuolella on olemassa jokin irrationaaliluku y. Siis |x-y|
Olisi siis oltava s>|x|, joka ei toteudu kaikilla s>0. Siis funktio ei ole jatkuva kun x on eri kuin 0.

Edit: näin minä tekisin, lukiotasosta en tiedä miten siellä.

Vierailija

ok! Keksittekö kaksi sellaista funktiota (lähtöjoukku R - maalijoukko R), että kumpikin olisivat epäjatkuvia pisteessä 0, mutta joiden tulo olisi jatkuva pisteessä 0?

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat