Matriisikysymys

Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Olkoon A 3x2-matriisi ja B 2x3-matriisi, jolle

AB=
8 2 -2
2 5 4
-2 4 5

Laske BA.

Tiedän, että BA voi olla 9I tai 9I+N, missä N on nollasta poikkeava nilpotentti matriiisi. En kuitenkaan ole keksinyt esimerkkiä tapaukseen 9I+N. Onko tämä tapaus mahdollista?

Kommentit (8)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Kysymys voi olla tyhmä, mutta esitän sen kuitenkin... Miten ylipäätään kerrotaan 2x3 ja 3x2 matriisi keskenään toisinpäin?

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Jep kysymys tosiaan oli tyhmä, ja johtui ajatusvirheestä. Paperille kirjoittamalla ongelma hävisi kummasti

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
Puuhikki
Tiedän, että BA voi olla 9I tai 9I+N, missä N on nollasta poikkeava nilpotentti matriiisi.

Ihan mielenkiinnosta: mistä tiedät että BA voi olla 9I tai 9I+N? Itse saan vain 9I:n (mikä vastaakin sitten kysymykseesi).

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005
Päivystävä dosentti
Ihan mielenkiinnosta: mistä tiedät että BA voi olla 9I tai 9I+N? Itse saan vain 9I:n (mikä vastaakin sitten kysymykseesi).

Jos merkitään M:=BA, kaikki mahdolliset matriisit similaarisia kuin M ovat (AX)(X^{-1}B)=AB ja X^{-1}BAX=X^{-1}MX.
AB:n karakterisenin polynomi det(xI-AB) on x^{3}-18x^{2}+81x=(x-9)^{2}x. BA:n karakteristinen polynomista putoaa termi x pois, joten se on (x-9)^{2}, jolloin BA=9I tai BA=9I+N jollekin nilpotentille N.

Vierailija

On tuosta matriisien käsittelystä sen verran aikaa, etten kyllä tällä hetkellä muista, kuinka tuollainen ratkaistaan. Ei liene järkevää tehdä 9 yhtälön ryhmää, koska tuntemattomia kuitenkin on 12. Huomaan, että AB on symmterinen, joten sitä kautta on helpohko kyllä uskoa, että BA = nI, n∈R mutta kuinka se siis lasketaan?

Vierailija

Itse katsoin kaikkia mahdollisia ratkaisuja A:lle ja B:lle, jotka toteuttavat ehdon AB = annettu matriisi. Jos A ja B ovat ratkaisu (siis AB on haluttu matriisi), silloin A' = AC ja B' = C^{-1}B ovat selvästi myös käypä ratkaisu (C on 2x2 kääntyvä matriisi) koska A'B' = AB. On melko helppo näyttää, että kaikki ratkaisut todella ovat tuota muotoa, ja loppu onkin sitten selvä.

Uusimmat

Suosituimmat