Osaako joku todistaa tämän?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Oletetaan, että joukko A on reaalilukujen osajoukko ja on epätyhjä. Osoita, että sup A = inf A jos ja vain jos joukossa A on täsmälleen yksi alkio.

Tai tämän

Oletetaan taas, että joukko A on reaalilukujen osajoukko ja epätyhjä sekä ylhäältä rajoitettu. Merkitään M = sup A. Olkoon B = {-a:aE A}. Osoita, että
inf B = -M.

Kommentit (2)

Vierailija
Prinssi
Oletetaan, että joukko A on reaalilukujen osajoukko ja on epätyhjä. Osoita, että sup A = inf A jos ja vain jos joukossa A on täsmälleen yksi alkio.



"=>" Oletetaan, että x,y ovat A:n alkioita. Suoran määritelmien perusteella inf A on pienempi tai yhtä suuri kuin x ja y ja sup A on suurempi tai yhtä suuri kuin x ja y. Koska inf A = sup A, niin inf A = x = y = sup A. Siis A:ssa on täsmälleen yksi alkio.

"<=" Joukon A ainoa alkio x on selvästi sen sup ja inf, koska esimerkiksi x <= x ja kaikkien ylärajojen täytyy olla x:ää suurempia.


Oletetaan taas, että joukko A on reaalilukujen osajoukko ja epätyhjä sekä ylhäältä rajoitettu. Merkitään M = sup A. Olkoon B = {-a:aE A}. Osoita, että
inf B = -M.

Olkoon M = sup A. Siis x <= M kaikilla x kuuluu A:han ja jos x <= y kaikilla x kuuluu A:han, niin M <= y.

Siis -M <= -x kaikilla x kuuluu A:han eli -M on eräs joukon B alaraja. Jos
y <= -x kaikilla x kuuluu A:han, niin tällöin
x <= -y kaikilla x kuuluu A:han. Siis M <= -y eli y <= -M. Siis M on joukon B alarajoista suurin eli M = sup B.

Vierailija

Onhan tämä sanottu jo tuhat kertaa, mutta noihin olisi riittäny aivan hyvin melko lyhyet vinkitkin. Sopivien vihjeiden antaminen tekemättä tehtävästä kuitenkaan liian helppoa on näissä tehtävissä vihjaajallekin opettavaisempaa kuin suora ratkaiseminen. Tosin juuri noihin tehtäviin vinkki taitaisi olla vain "katso määritelmät", mutta kuitenkin.

Uusimmat

Suosituimmat