Seuraa 
Viestejä178

Olkoon p polynomi astetta n ja p(k)=k/(k+1), k=0,1,2,...,n.

Etsi p(n+1) ?

Nyt meni Veijolta pasmat sekaisin.

Sivut

Kommentit (26)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
veijo
Seuraa 
Viestejä178
Puuhikki
Hetken mietittyäni totesin, että neuvomani tapa taitaa olla melko kömpelö. Lagrangen interpolaatiopolynomilla tehtävä näyttäisi menevän kivuttomammin.

No nyt meni jo totaalisesti yli hilseen.

veijo
Seuraa 
Viestejä178
Puuhikki
Lagrangen polynomit on selitetty esim. Matti Lehtisen kirjassa Matematiikan olympiakirja : tehtävät ja ratkaisut.

No mistäs ihmeestä minä sellaisen tähän hätään pieraisen.

Tuota voisiko joku asiantuntija auttaa vähän yksityiskohtaisemmin?
Se mitä itse olen tuota pyöritellyt niin vaikuttaa liian vaikealta
minulle?

pöhl
Seuraa 
Viestejä968

Jos laskut menevät sekaisin, kannattaa vaan pitää pää kylmänä ja tarkastaa jokainen välivaihe. Minun laskujen mukaan

p_j(x)=(k-1)/k \prod_{l=1,l \ne k}^n (x-x_{l-1})/(x_k-x_{l-1}) ja p on näiden summa. Voi olla, että minäkin tein laskuvirheitä.

veijo
Seuraa 
Viestejä178
Puuhikki
Jos laskut menevät sekaisin, kannattaa vaan pitää pää kylmänä ja tarkastaa jokainen välivaihe. Minun laskujen mukaan

p_j(x)=(k-1)/k \prod_{l=1,l \ne k}^n (x-x_{l-1})/(x_k-x_{l-1}) ja p on näiden summa.

Voi olla, että minäkin tein laskuvirheitä.

Nyt en kyllä oikein ymmärrä noita merkintöjä.

prod on kai product eli tulo? Mutta silti hepreaa minulle.

pöhl
Seuraa 
Viestejä968

Miksi moderaattorit eivät laita palstalle LaTeX-tukea? \prod on tulo, kreikkalainen versaali Sigma, tulon merkki. Tulo oletaan yli joukon {1,2,...,k}, mutta siihen ei oteta mukaan indeksiä k. x_k ja x_{l-1} tarkoittaa x alaindeksi k ja x alaindeksi l-1.

veijo
Puuhikki
Muodosta yhtälöryhmä ja ratko siitä kertoimet.



Yritinkin mutta ei toiminut. Mitähän tuosta pitäisi tulla?

p(n+1) = ((-1)^(n+1) + n+1) / (n+2).

veijo
Seuraa 
Viestejä178
Gödel
veijo
Puuhikki
Muodosta yhtälöryhmä ja ratko siitä kertoimet.



Yritinkin mutta ei toiminut. Mitähän tuosta pitäisi tulla?



p(n+1) = ((-1)^(n+1) + n+1) / (n+2).

Täh! En tajua. Onko tuo oikein?

veijo
Gödel
veijo
Puuhikki
Muodosta yhtälöryhmä ja ratko siitä kertoimet.



Yritinkin mutta ei toiminut. Mitähän tuosta pitäisi tulla?



p(n+1) = ((-1)^(n+1) + n+1) / (n+2).



Täh! En tajua. Onko tuo oikein?

On.

Suosittelen apufunktion

f(x)=(x+1)*p(x) - x

käyttöä, jolloin

f(x)=0, kun x =0,1,2,..., n.

Joten on olemassa a siten, että

f(x) = a*x*(x-1)*(x-2)*...*(x-n).

veijo
Seuraa 
Viestejä178
Gödel

Suosittelen apufunktion

f(x)=(x+1)*p(x) - x

käyttöä, jolloin

f(x)=0, kun x =0,1,2,..., n.

Joten on olemassa a siten, että

f(x) = a*x*(x-1)*(x-2)*...*(x-n).

Mistä ihmeestä tuon f(x):n kehitit?
Ja miten niin f(x)=0, kun x= 0, 1, 2, ...., n?
Nyt mä oon vielä enemmän pihalla kuin alunperin.
Pitäis saada tää tehtyä ens keskiviikoks.
Pistäkää ny viel apuja tai ainaki jotain
osviittaa....

veijo
Seuraa 
Viestejä178
Puuhikki
Miksi moderaattorit eivät laita palstalle LaTeX-tukea? \prod on tulo, kreikkalainen versaali Sigma, tulon merkki. Tulo oletaan yli joukon {1,2,...,k}, mutta siihen ei oteta mukaan indeksiä k. x_k ja x_{l-1} tarkoittaa x alaindeksi k ja x alaindeksi l-1.

Muutin noi alaindeksit pienemmäksi 7 kokoon, niin sain

p[size=59:1v7wylsc]j(x)[/size:1v7wylsc] =(k-1)/k \prod_{l=1,l \ne k}^n (x-x[size=59:1v7wylsc]{l-1}[/size:1v7wylsc] )/(x[size=59:1v7wylsc]k[/size:1v7wylsc]-x[size=59:1v7wylsc]{l-1}[/size:1v7wylsc] )

mutta en vieläkään osaa lukea tuota kokonaan.
Mitä tuo

=(k-1)/k \prod_{l=1,l \ne k}^n tarkoittaa?

pöhl
Seuraa 
Viestejä968
veijo

Mitä tuo

=(k-1)/k \prod_{l=1,l \ne k}^n tarkoittaa?


Moderaattorit hoi! Laittakaa jo palstalle LaTeX-tuki!!!

(k-1)/k on reaalinen kerroin \prod_{l=1,l \ne k}^n f(x_l) tarkoittaa tuloa

f(x_1)*f(x_2)*...*f(x_{l-1})*f(x_{l+1})*...*f(x_n). Tässä * on tavallinen kertolasku, ei esimerkiksi konvoluutio.

veijo
Olkoon p polynomi astetta n ja p(k)=k/(k+1), k=0,1,2,...,n.

Etsi p(n+1) ?

Nyt meni Veijolta pasmat sekaisin.




Gödel

Suosittelen apufunktion

f(x)=(x+1)*p(x) - x

käyttöä, jolloin

f(x)=0, kun x =0,1,2,..., n.

Joten on olemassa a siten, että

f(x) = a*x*(x-1)*(x-2)*...*(x-n).

Ihmettelen myös mistä keksit f(x)=(x+1)p(x)-x mutta jatkaisin tuota
laskemalla f(-1), josta tulee (-1+1)p(x)-(-1)=1

Ymmärrän myös tuon, että f(x)=0, kun x =0,1,2,..., n,
josta voi myös laskea arvon f(-1)=a(-1)(-2)(-3)...(-1-n)=a*(-1)^(-n-1)*(n+1)! eli siis a=(-1)^(n+1)*1/(n+1)!

Tuostahan voikin jo laskea mitä on f(n+1) ja alku (arvauksesta?)
saadaan p(x)=(f(x) + x)/(x + 1)........

Joko Veijo valaistui.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat