Differentiaaliyhtälö
klo 7:43 | 21.3.2005
Tietääkö joku, miten seuraava tehtävä ratkeaa:
Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä
y' = (x-3)(y+1)^(2/3)
Osoita, että y(x) = -1 on tehtävän ratkaisu. Ratkaise tehtävä yleisesti ja osoita, ettei millään integrointivakion C arvolla saada edelläolevaa ratkaisua. Miten tämä on mahdollista?
DY separoituu ihan siististi ja integraaleiksi jää perus potenssi-integraaleja. Separoidessasi yhtälöä joudut olettamaan y:n erisuureksi kuin -1. HT: miksi?
Riittääkö tämä?
esimerkiksi kun separoidaan yhtälöä y' - y = 0 joudutaan olettamaan, että y ei saa olla 0. Silti lopullinen vastaus on y=Ce^x , jossa C kuuluu reaaleihin (sillä sallimalla C=0, saadaan ratkaisu y=0, joka selvästikin totoettaa yhtälön).
saisin, että
y= ( ( 1/2*x^2 - 3x + C) / 3 )^3 - 1
jotta lauseke y(x) = -1 olisi aina tosi riippumatta x:n arvosta, pitäisi 1/2*x^2 - 3x + C = 0 kaikilla x:n arvoilla. Tämä ei tietenkään ole mahdollista, sillä yhtälön y= 2x^2 - 3x +c kuvaaja esittää paraabelia. Ts. ei voida löytää C:lle sellaista arvoa, että y(x) = -1 kaikilla x.
Aika lähellä ollaan, mutta varsinainen kysymykseen (miksi y ei saa olla 0) tämä ei tarkkaan ottaen vielä vastaa. Täydennyksiä?
tässä se saakin olla 0...esimerkin idea oli vain todistaa, että y=0 voi kelpaa vaikka se se joudutaan "kieltämään" separointivaiheessa..
mitä mieltä olet ylläolevasta vastauskestani?
Hain takaa juuri sitä, minkä vuoksi separointi ei onnistu arvolla y = 0 (tai alkuperäisessä yhtälössä y=-1)? Mitä separoinnin yrittäminen ko. arvolla aiheuttaisi?
DY joudutaan siis ratkaisemaan kahdessa eri osassa. Ensimmäisessä tapauksessa y != 0 ja separointi onnistuu. Toisessa y = 0 ja separointi ei onnistu, mutta suoraan sijoittamalla y = y' = 0 näkee yhtälön toteutuvan.
Vastaus on oikeaa muotoa, mutta mielestäni kuution sisällä pitäisi olla binomi 3/2*x^2 - 9x. Vakiotermithän voi niputtaa yhteen.
joo'o, niin se kai pitää
Kai huomasit, että kuution sisällä jaettiin kolmella, ei kerrottu... no ei sillä ole mitään merkitystä tehtävän ratkaisun kannalta
Ok, kerrotaan mitä hain takaa.
Alkuperäinen yhtälö y' = (x-3)(y+1)^(2/3) voidaan ratkaista separoimalla ainoastaan, kun y != -1, koska muuten separoinnissa jaettaisiin muodollisesti nollalla. Vasemman puolen tekijä (y+1)^(2/3) menee nollaksi y:n arvolla -1 ja silloin sitä ei voida jakaa yhtälön toiselle puolelle.
Eli separoimalla saatu DY:n ratkaisu on pätevä kaikille y:n arvoille paitsi -1:lle. Tapaus y = -1 on tarkasteltava erikseen, mutta sen toteutuminen nähdään suoraan alkuperäisestä yhtälöstä.
Toivottavasti tämä ei muuten ollut kotitehtävä!
Siltähän se valitettavasti kovasti näyttää. Mitä jos sovittaisiin, että kukin tekee itse omat läksynsä eikä teetätä niitä muilla? Eivätkä muut avuliaasti ratko niitä valmiiksi. Fuksikurssien laskaritehtävät, kun nyt eivät kuitenkaan mitään suurta tiedettä ole...