Ytimen ymmärtämisen kautta

Seuraa 
Viestejä8560
Liittynyt16.3.2005

Missä määrin tuntuu enemmän opiskelleista mahdolliselta, että matematiikkaa opetettaisiinkin aivan aidosti asioitten ymmärtämisen kautta? Eli perinteiset ns. ulkoa opeteltavat asiat olisivat täysin kiellettyjä. Johtaisiko tämä siihen, että ulkoa oppivat, mutta täysin lahjattomat eivät saavuttaisi mitään tasoa?

Tällä hetkellä on sen tyypin kutina, että liian iso osa matemaattisista suorituksista perustuvat kaavamaiseen tekemiseen. Jopa niin alkeellisessa asiassa kuin on prosenttilaskenta. Puhumattakaan korkean matematiikan ihmeistä.

Kuinka pitkälle voi "erikoistua" pelkällä hyvällä ulkoluvun osaamisella?

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Sivut

Kommentit (27)

Vierailija

Minunkin kutinani on täysin samaa tyyppiä. Toisaalta tuntuu jopa typerältä, että ulkoa opeteltavat asiat kiellettäisiin täysin sillä eikö matematiikka ole juuri sitä ,ainakin lähestulkoon.

Opiskelemme tällä hetkellä (lukiossamme) integrointia eikä minulla ole harmainta aavistustakaan miten ne pinta-alat muodostuvat. No, eipä ole ongelmia sillä käyttämällä integrointi kaavoja ne saa laskettua vaivatta.

Vierailija

Nykyiselläänhän peruskouluissa ja lukiossa matematiikka on pitkälti mekaniista suoritusta. Sitten jos on sanallinen tehtävä, niin heti ovat oppilaat huutamassa, että "hyi, sanallinen tehtävä, en osaa".

Käytännössä kyllä nuo ulkoa opeteltavat on pakko opettaa. Kunta-aksioomissa ei ole mitään järkeä, jos sitä ennen ei osaa laskea rationaali- tai reaaliluvuilla. Tai funktion mitallisuudesta ei kannata puhua ennenkuin on jonkinlainen tatsi integroimiseen. Koska kymmenjärjestelmä on oikeastaan pelkkä sopimus, niin normaalin laskentoon liittyy aina ulkoa opeteltavia asia. Tosin siinä rinnalla voisi opettaa hieman syvällisempää ymmärrystä, esimerkiksi murtolukujen jakolaskuissa ei vain opetettaisi mekaanista laskuprosessia, vaan kerrottaisiin, että jakolasku on käänteislaskun vastalaskutoimitus ja mietittäisiin mitä ne käänteisluvut ovatkaan. Perusteet pitää ensiksi osata ennenkuin voi ruveta ymmärtämään rakennetta syvällisemmin, mutta loogista ajattelua ja ongelman ratkaisua olisi hyvä opettaa mekaanisten perusasioiden rinnalla.

Yliopistomatematiikassakin kursseja voi vielä viedä kursseja läpi mekaanisilla laskuilla ja todistusten ulkomuistista toistamisella, mutta hyviä arvosanoja sillä ei enää saa. Sitten kun mennään varsinaiseen tutkimukseen matematiikassa, niin siinä sitten viimeistään vaaditaan luovuutta, intuitiota ja asioiden syvällisempää ymmärtämistä.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26898
Liittynyt16.3.2005
Paul M
Missä määrin tuntuu enemmän opiskelleista mahdolliselta, että matematiikkaa opetettaisiinkin aivan aidosti asioitten ymmärtämisen kautta? Eli perinteiset ns. ulkoa opeteltavat asiat olisivat täysin kiellettyjä. Johtaisiko tämä siihen, että ulkoa oppivat, mutta täysin lahjattomat eivät saavuttaisi mitään tasoa?



En usko, että se onnistuu. Matematiikan opiskelussa pitää käydä asiat pariin kolmeen kertaan läpi. Ensin aivan alkeistasolla, sitten yläaste/lukiotasolla ja lopuksi sitten kunnolla korkeakoulutasolla. Matematiikassa on myös paljon muistettavia sopimuksia, joten kokonaan ulkoluvulta ei voi välttyä.

Kuinka pitkälle voi "erikoistua" pelkällä hyvällä ulkoluvun osaamisella?

Fysiikanopetuksesta minulla on laajempi kokemus kuin matematiikan. Ulkoaoppijoiden tie tyssää korkeakoulujen peruskursseihin. Se on monelle suuri vaikeus, että oppilaat ovat oppineet matematiikan täysin erillään todellisuudesta olevana oppirakennelmana, joka on vielä jaoteltu tiukan erillisiin lokeroihin. Sitten kun eteen lyödään tehtävä, jossa fysiikan ongelma pitää kirjoittaa matemaattiseen muotoon, ja ratkaista se käyttämällä useita matematiikan osa-alueita (vektoreita, integraali- ja differentiaalilaskentaa, analyyttistä geometriaa, trigonometriaa jne.), ulkolukuihmeiden tie nousee pystyyn. Ensimmäisissä laskuharjoituksissa sen oikein huomaa (sekä opiskelijana että opettajana), että nyt lyötiin fiksuksi itseään luulevaa kaveria isolla vasaralla otsalohkoon.

Peruskursseilta löytyy kyllä aina joku yksittäistapaus (alle 1 %), jotka opettelevat uskomattoman pitkiä kaavoja ulkoa (osa tietysti myös lunttaa), mutta yleisesti ulkoluvulla lukiossa pärjänneiden on siinä vaiheessa joko aloitettava erityyppinen lähestyminen asioihin, tai todettava olevansa väärällä alalla. Yhtään pitemmälle ei pelkkä ulkoluku kanna, vaan ainakin vähän pitää asiasta myös ymmärtää, vaikka sitten hinkuaisi johtajan tai myyntimiehen uralle.

Vierailija

Nimimerkin Paul M kysymykseen sanoisin, että ulkoaosaamisesta (tai hienommin sanottuna: salamannopean laskurutiinin hankkimisesta) ei kannata yrittää päästä eroon. Ei samaa asiaa pidä alistua miettimään joka kerta uudelleen, vaan jossain vaiheessa se on jo osattava ulkoa. Mitkä muuten sitten ovat niitä "perinteisiä ulkoa opeteltavia asioita", joihin aloituskommentissa viitataan?

Conservator
Opiskelemme tällä hetkellä (lukiossamme) integrointia eikä minulla ole harmainta aavistustakaan miten ne pinta-alat muodostuvat. No, eipä ole ongelmia sillä käyttämällä integrointi kaavoja ne saa laskettua vaivatta.

Mutta mitä teet, jos kokeeseen tulee kysymys "selvitä, kuinka määrätyn integraalin käsite määritellään"? Tai jos pyydetään laskemaan tilavuutta kappaleelle, joka ei ole pyörähdyskappale?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26898
Liittynyt16.3.2005
Samuli
Mutta mitä teet, jos kokeeseen tulee kysymys "selvitä, kuinka määrätyn integraalin käsite määritellään"? Tai jos pyydetään laskemaan tilavuutta kappaleelle, joka ei ole pyörähdyskappale?

Jos joku lukion opettaja erehtyy tuollaisia kokeissaan kysymään, niin eipä kateeksi käy. Se ryhmän oikeasti fiksu oppilas ehkä saa pisteet, jos on harrastukseksi perehtynyt noihin, 25 muuta saa pyöreän nollan. Ainakaan 90-luvun alussa Riemannin summat tai moninkertaiset integraalit eivät edes kuuluneet lukiokurssiin.

Integrointi on vähänn sellainen juttu, että sitä on vaikea lähteä puhtaalta pöydältä perusteellisesti opettamaan. Helpompaa on ensin opetella lukiotyyliin taulukosta katsomalla, että suunnilleen pääsee perille mistä on kyse, ja sitten vasta käydä käsiksi perusteisiin. Lukiolaisten kannattaa pitää mielessä, että vaikka opettajat pitävät asiasta vähän melua, integraali ja differentiaalilaskenta on yksi tärkeimpiä matematiikan aloja käytännössä. Ne, jotka suuntautuvat luonnontieteelliselle alalle, tulevat tarvitsemaan niitä käytännössä lähes jokaisessa ongelmassaan lopun ikäänsä.

Vierailija
Neutroni
Jos joku lukion opettaja erehtyy tuollaisia kokeissaan kysymään, niin eipä kateeksi käy.

Olen tässä viimevuosina selaillut aika montaa lukion pitkän matematiikan kirjaa. En muista yhtään, jossa määrättyyn integraaliin ei olisi johdateltu ala- ja yläsummien tai välisumman raja-arvon kautta. Myöskin tilavuuden integrointi kohtisuorien leikkausten avulla on useimmissa käsitelty. Moninkertaisia integraaleja ei toki ole näkynyt.

Ei kysymykseen määrätyn integraalin määrittelystä tietenkään mitään matemaattisesti eksaktia vastausta tulisi lukiolaiselta olettaa. Riittäisi, että lukiolainen osaa yhdistää määrätyn integraalin tiettyyn raja-arvoon ja selittää tämän tarpeeksi hyvin. Ehkä kysymystä voisi helpottaa tai täsmentää pilkkomalla se sopivasti alakohtiin.

Tietenkin myös jollain monivalintatyyppisellä tehtävällä voisi kokeilla, onko asioita ymmärretty syvemmin kuin vain laskutekniikan kannalta.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26898
Liittynyt16.3.2005
Samuli
Olen tässä viimevuosina selaillut aika montaa lukion pitkän matematiikan kirjaa. En muista yhtään, jossa määrättyyn integraaliin ei olisi johdateltu ala- ja yläsummien tai välisumman raja-arvon kautta. Myöskin tilavuuden integrointi kohtisuorien leikkausten avulla on useimmissa käsitelty. Moninkertaisia integraaleja ei toki ole näkynyt.



En muista oliko 90-luvulla. Silloinkin kirjassa oli jotain edistyneempiä kappaleita, mutta opetuksessa se mielenkiintoisin osuus hypättiin aina yli. Korkeintaan varoitettiin, ettei YO-kirjoituksissa pidä mennä brassailemaan sellaisella osaamisella, joka on lukiolaiselta "kiellettyä".

Tietenkin myös jollain monivalintatyyppisellä tehtävällä voisi kokeilla, onko asioita ymmärretty syvemmin kuin vain laskutekniikan kannalta.

En tiedä saavutettaisiinko tuolla merkittävää hyötyä. Kyllä ne jotka ymmärtävät asioita, pääsevät kuitenkin hyvillä arvosanoilla kurssit läpi ja voivat jatkaa matematiikkaa vaativilla aloilla jos haluavat. Käytännönkin kannalta laskurutiini on yksi tärkeimmistä asioista, jota koulumatematiikka opettaa. Ilman sujuvaa laskurutiinia "oikean" matematiikan opiskelu käy kovin hankalaksi, kun yhtäkkiä pitääkin pyöritellä sivun pituisia lausekkeita koko sivun pituudelta ilman virheitä.

Paul M
Seuraa 
Viestejä8560
Liittynyt16.3.2005

Älkää nyt sekoittako sääntöjä ja itse ideaa. Minä kaipaan aivan aidosti sitä, että näennäistulosten saavuttamisen sijaan haettaisiin opetusmetodeihin kehityskulkuja, jotka johtavat asian ymmärtämiseen.

Esimerkiksi kertoisin numeerisen analyysin käyttämistä apukeinona ymmärtää kaavan ydintä. Moniko on tehnyt jollain ohjelmointimenetelmällä algoritmin, joka totetuttaa vaikka RLC-piirin askelvasteen? Siis pienellä inkrementillä muotoutuva melko tarkka kuvaaja on lopputuloksena, mutta ajatelkaa mikä havainnollisuus siinä on verrattuna ulkoa opeteltuun kaavarakenteeseen. Kun tutkijan alku ymmärtää mitä oikeasti tapahtuu, niin absoluuttisen tarkka matemaattinen malli löytää oikean lokeronsa työkalujen joukossa. Nyt on se tilanne, että joka vuosi kymmenet tuhannet oppivat vain irrallisia kaavoja, jotka odottavat pelkästään unohdusta. Jos jokainen olisi joutunut ohjelmoimaan alkeellisen numeerisen algoritmin, osaisivat he sen jälkeen tehdä sen numeerisen vaihtoehdon mille tahansa piiriratkaisulle. Tehokkaammat matemaattiset ratkaisut vain odottaisivat sitten tilausta.

Miten paljon matematiikka-automaatit (MathCad tms) mahtavat viedä nykyään havainnollisuutta asioista? Vai tuovatko ne sitä? Tuo on minulle epäselvää, kun olen laskutikkuajan kasvatteja.

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Vierailija
Neutroni
En muista oliko 90-luvulla.



En muistanut itsekään, joten pitihän tuo tarkistaa. Meillä oli lukiossa 1993-1996 käytössä Kukkosen, Merikosken ja Nivan Akseli-sarja. Akseli 3:ssa määritellään ihan normaalina oppiaineksena määrätty integraali ala- ja yläsummien raja-arvona. Mitään ei tietenkään todisteta, mainitaan vain, että voidaan todistaa.

Tilavuus kohtisuorien leikkausten avulla on Akseli 3:ssa syventävänä aineksena.

Muista kirjasarjoista en tiedä. Eikä se, mitä kirjasta löytyy, tietenkään kerro, mitä on opetettu. Tai mitä pitäisi opettaa (sen kertoo opetussuunnitelma).

En tiedä saavutettaisiinko tuolla merkittävää hyötyä.

Kyse on opettajan arvovalinnasta: haluaako opettaa pelkkää laskentoa vai myös (jossain hyvin suppeassa mielessä) tiedettä nimeltä matematiikka. Minusta kympin saamisen pitäisi ainakin olla hankalaa niille, jotka osaavat vain laskea mutteivät yhtään ymmärrä taustoja. Ja onhan ylioppilaskirjoituksissakin silloin tällöin syvällisempää pohdintaa vaativia tehtäviä.

No, ei tästä nyt saisi tulla sellaista käsitystä, että vaadin lukiolaisparoilta liikoja. Toki olen sitä mieltä, että laskurutiini on päätavoite. Lähinnä tarkoitan, että minusta kokeessa saisi olla tällaisiakin kysymyksiä, joista ei ihan pelkällä laskemisella selviä:

* Mitä eroa on määrätyllä integraalilla ja integraalifunktiolla?
* Anna esimerkki epäjatkuvasta funktiosta, jonka määrätty integraali välillä [a, b] on 1.
* Arvioi funktion f(x) = e^(x^2) määrättyä integraalia välillä [0, 1].

Keksikäähän lisää!

Vierailija
Paul M

Esimerkiksi kertoisin numeerisen analyysin käyttämistä apukeinona ymmärtää kaavan ydintä.

Minä en kyllä ymmärrä miten numeerisen analyysin tekeminen jostakin tilanteesta auttaa syvälliseen ymmärtämiseen. Numeerineni mallintaminen jossakin tilanteessahan ei ole välttämättä muutakuin plugata numerot paikalleen ja tehdä sopivat approksimaatiot (noin kärjistetysti, valtaisesti taitoahan sekin vaatii). Enemmän minusta on asian syvällisempää hallintaa se, että osaa johtaa kaavan muutamista peruslähtökohdista ilman, että on opetellut johtoa ulkoa. Tällöin tarvitsee vain muistaa peruslähtökohdat ja loppuasia on hallussa. Tikkuesimerkiksi vaikkapa ei opettele toisen asteen kaavaa ulkoa vaan ratkaisee toisen asteen yhtälöt neliöksi täydentämällä. Tosi asia on se, että aina pitää jotakin opetella ulkoa, jso ei muuta niin mitä tarkoitetaan yleisemmillä merkinnöillä ja käsitteillä.

Paul M
Seuraa 
Viestejä8560
Liittynyt16.3.2005

No tuo oli yksi esimerkki miljoonasta mahdollisesta. Sorry vaan etten kyennyt lataamaan siihen kaikkia miljonaa kerralla.

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Vierailija
Paul M
Missä määrin tuntuu enemmän opiskelleista mahdolliselta, että matematiikkaa opetettaisiinkin aivan aidosti asioitten ymmärtämisen kautta? Eli perinteiset ns. ulkoa opeteltavat asiat olisivat täysin kiellettyjä. Johtaisiko tämä siihen, että ulkoa oppivat, mutta täysin lahjattomat eivät saavuttaisi mitään tasoa?

Joo, helvetin hyvä idea!

Kielletään kaikki kaavat, jotka ylittävät ammattikoulun tason ja leikitään loppuaika palikoilla.
Tällöin varmasti kaikki katkeroituneet Paul M:n kaltaiset reputtajat, jotka eivät kykene abstraktiin ajatteluun pysyisivät kärryillä!

Vierailija

Yksi mahdollinen tie matematiikan syvempään ymmärtämiseen voisi olla lukuavaruuteen "uppoutuminen", sen ominaisrytmien löytäminen ja niihin yhtyminen - vähän musiikin tapaan. Jotain tällaista on vaistoavinaan suurissa matemaatikoissa ja erityisesti intialaisessa Ramanuja´ssa.
http://www.tsv.fi/TTAPAHT/033/enqvist.pdf

Tämä olisi koulussakin täysin mahdollinen tie:
http://solmu.math.helsinki.fi/palauttee ... s2006.html

Monet asiat, kuten vektorit ja tensorit, pitäisi konkretisoida pienimmissä mahdollisissa dimensioissa. Opettaessani aikoinaan laajaa matikkaa halusin tehdä oppilaille täysin selväksi määrätyn integraalin pinta-alana ja integraalifunktion yhteyden ja huomasin, että sehän on "Stokesin lause yhdessä dimensiossa": porraskäyrän alle jäävä pinta-ala ja portaiden korkeudet kaltevuuksinaan etenevän murtoviivan päätepisteiden erotus! Ihmettelen yhä, että kirjantekijät eivät käytä tätä esitystä, joka julkaistiinkin (Matemaattisten Aineiden Aikakauskirja 3/1974).

Kävin kerran topologian laudatur-tenttiäni kysymässä kuuluisan suomalaisen matemaatikon työhuoneessa ja näin hänen työpöydällään paksun nipun käsikirjoituksia ja niissä runsaasti kuvia: ympyröitä ja niissä konvergoivia jonoja ym. Jonkin ajan kuluttua häneltä ilmestyi Springerillä kirja, jossa oli Eine Abbildung!

Olen kyllä ollut monesti huomaavinani, että mitä paremmin hallitsen "ulkoa" vaikkapa jonkun fysiikan kaavan ja sitä aina ajattelen, sitä enemmän se mielessäni alkaa heijastaa niitä esim. luonnonlakeja, joita se on tarkoitettu kuvaamaan. Ja sitä enemmän se myös paljastaa tietämättömyyteni asioiden perimmäisistä juurista.

Minulla oli lukion 1. luokalla sellainen fysiikanopettaja, joka alusta asti lasketti ja johdatutti meillä paljon kaikenlaista ja tunnen vieläkin sen hurmostilan johon jouduin huomatessani, että matemaattiset kaavat puhuivat todellisuudessa vaikuttavista voimista jne.

Paul M
Seuraa 
Viestejä8560
Liittynyt16.3.2005
Hecatoncheires
Paul M
Missä määrin tuntuu enemmän opiskelleista mahdolliselta, että matematiikkaa opetettaisiinkin aivan aidosti asioitten ymmärtämisen kautta? Eli perinteiset ns. ulkoa opeteltavat asiat olisivat täysin kiellettyjä. Johtaisiko tämä siihen, että ulkoa oppivat, mutta täysin lahjattomat eivät saavuttaisi mitään tasoa?



Joo, helvetin hyvä idea!

Kielletään kaikki kaavat, jotka ylittävät ammattikoulun tason ja leikitään loppuaika palikoilla.
Tällöin varmasti kaikki katkeroituneet Paul M:n kaltaiset reputtajat, jotka eivät kykene abstraktiin ajatteluun pysyisivät kärryillä! :idea:

Älä nyt hermostu. Olen vain huolestunut siitä, että nykyään tehtaillaan koulutuksessa näennäistuloksia, koska tuloksia pitää tietenkin tulla. Rakennetaan ikään kuin siltoja ilman toisen pään tukea. Melko pitkiäkin. Seuraus voi olla esimerkiksi osaavan työvoiman puute. Joka tajuaa näennäisosaamisensa, voi pelätä oikeita töitä. Ja työnantajat pelkäävät näennäisosaajaa. Syystäkin.

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat