Älyttömämpi äärettömyys

Seuraa 
Viestejä553
Liittynyt3.4.2007

Matemaatikot väittävät, että lukujoukossa voi olla ääretön luku, joka on eri luku kuin järjestyslukujen ääretön luku. Väite: Vain järjestyslukujen joukko voi sisältää äärettömän luvun: Todistus:

Olkoon meillä on kahden luonnollisen luvun välissä reaalilukujen joukko. Matemaatikkojen mukaan reaaliluku voi olla ääretön. Mutta logiikan mukaan mikään reaaliluku ei voi olla ääretön, koska se luku pitäisi ensin naputella äärettömäksi ennen kuin ihminen voi alkaa kirjoittamaan seuraavaa lukua.

Jos väitetään, ettei matemaatikon tarvitse kirjaimellisesti naputella äärettömästi reaalilukuun desimaaleja, niin väite on yhtä totta kuin se, ettei lapsen tarvitse piirtää lukua valmiiksi ennen kuin hän on valmis piirtämään seuraavan luvun.

Matemaatikkojen mukaan hän voi siirtyä seuraavan luvun piirtämiseen ennen kuin hän on naputellut edellisen luvun valmiiksi, eli matemaatikon mukaan reaaliluvut ovat luonnostaan äärettömiä, joten hänen ei tarvitse muuta kuin merkitä reaaliluku matemaattisella merkillä lähestymään ääretöntä itsekseen --ja hokkus pokkus --se tapahtuu, kiitetty olkoon herran nimi!

Koska siis matemaatikkojen mukaan reaaliluvuilla on luonnostaan äärettömyys, niin silloin ne kuuluvat luonnollisten lukujen joukkoon, joten koska matemaatikko pystyy absoluuttisen varmasti sanomaan, kumpi vierekkäisistä reaaliluvuista on äärettömyydessä suurempi, niin siksi me voimme laittaa ne suuruusjärjestykseen, eli luonnollisten lukujen äärettömyys on suurempi kuin reaalilukujen äärettömyys --koska meillä on tasan yksi luonnollinen luku, joka on ääretön.

Jos taasen matemaatikko ei voi laittaa kahta vierekkäistä reaalilukua järjestykseen, niin silloin se ei voi johtua mistään muusta kuin siitä, että matemaatikko on siirtynyt naputtelemaan seuraavaa lukua ennen kuin hän naputti äärettömästi edellistä. ---josta triviaalisti huomataan, että matemaatikot ovat kuin kärsimättömiä adhd-lapsia, ...

Kommentit (15)

Vierailija
sinenmaa

Olkoon meillä on kahden luonnollisen luvun välissä reaalilukujen joukko. Matemaatikkojen mukaan reaaliluku voi olla ääretön. Mutta logiikan mukaan mikään reaaliluku ei voi olla ääretön, koska se luku pitäisi ensin naputella äärettömäksi ennen kuin ihminen voi alkaa kirjoittamaan seuraavaa lukua.



Ääretön ei kuulu reaalilukujen joukkoon.

Tai sitten puhutkin desimaalikehitelmien äärettömyydestä.

sinenmaa
Jos väitetään, ettei matemaatikon tarvitse kirjaimellisesti naputella äärettömästi reaalilukuun desimaaleja, niin väite on yhtä totta kuin se, ettei lapsen tarvitse piirtää lukua valmiiksi ennen kuin hän on valmis piirtämään seuraavan luvun.



Tai sitten voisit tutustua raja-arvon käsitteeseen.

Miten ihmeessä meillä voi olla käsite esim kolmasosasta? Sehän on 1/3 eli 0.333...

Oho, nyt en kirjoittanut ääretöntä määrää kolmosia. Olinpas jekku ja huijasin. Kyllä tässä vähän hävettää. Onhan tuo asia vähän epäselvä jos en jää loppuiäkseni naputtamaan kolmosta.

sinenmaa
Jos taasen matemaatikko ei voi laittaa kahta vierekkäistä reaalilukua järjestykseen

Ongelmana tässä on että annat minkä tahansa kaksi lukua joista väität että ne ovat vierekkäin, löydän niiden välistä uusia. Yritä hetki miettiä tätä. Tietenkin toinen on yksiselitteisesti suurempi kuin toinen, mutta luonnollisista luvuista tuttua "seuraava" käsitettä ei ole.

Vierailija
sinenmaa
Olkoon meillä on kahden luonnollisen luvun välissä reaalilukujen joukko. Matemaatikkojen mukaan reaaliluku voi olla ääretön.

Tässä sinulla tulee ajatusvirhe. Puhut äärettömästä reaaliluvusta kun ilmeisetikin tarkoitat päättymätöntä reaalilukua, kuten esim. 1,1111... tai 0,9999... luvut ovat päättymättömiä, mutta eivät äärettömiä.

Vierailija
sinenmaa
Matemaatikot väittävät, että lukujoukossa voi olla ääretön luku, joka on eri luku kuin järjestyslukujen ääretön luku. Väite: Vain järjestyslukujen joukko voi sisältää äärettömän luvun: Todistus:

Olkoon meillä on kahden luonnollisen luvun välissä reaalilukujen joukko. Matemaatikkojen mukaan reaaliluku voi olla ääretön. Mutta logiikan mukaan mikään reaaliluku ei voi olla ääretön, koska se luku pitäisi ensin naputella äärettömäksi ennen kuin ihminen voi alkaa kirjoittamaan seuraavaa lukua.

Jos väitetään, ettei matemaatikon tarvitse kirjaimellisesti naputella äärettömästi reaalilukuun desimaaleja, niin väite on yhtä totta kuin se, ettei lapsen tarvitse piirtää lukua valmiiksi ennen kuin hän on valmis piirtämään seuraavan luvun.

Matemaatikkojen mukaan hän voi siirtyä seuraavan luvun piirtämiseen ennen kuin hän on naputellut edellisen luvun valmiiksi, eli matemaatikon mukaan reaaliluvut ovat luonnostaan äärettömiä, joten hänen ei tarvitse muuta kuin merkitä reaaliluku matemaattisella merkillä lähestymään ääretöntä itsekseen --ja hokkus pokkus --se tapahtuu, kiitetty olkoon herran nimi!

Koska siis matemaatikkojen mukaan reaaliluvuilla on luonnostaan äärettömyys, niin silloin ne kuuluvat luonnollisten lukujen joukkoon, joten koska matemaatikko pystyy absoluuttisen varmasti sanomaan, kumpi vierekkäisistä reaaliluvuista on äärettömyydessä suurempi, niin siksi me voimme laittaa ne suuruusjärjestykseen, eli luonnollisten lukujen äärettömyys on suurempi kuin reaalilukujen äärettömyys --koska meillä on tasan yksi luonnollinen luku, joka on ääretön.

Jos taasen matemaatikko ei voi laittaa kahta vierekkäistä reaalilukua järjestykseen, niin silloin se ei voi johtua mistään muusta kuin siitä, että matemaatikko on siirtynyt naputtelemaan seuraavaa lukua ennen kuin hän naputti äärettömästi edellistä. ---josta triviaalisti huomataan, että matemaatikot ovat kuin kärsimättömiä adhd-lapsia, ...

väite on kyllä melko järjetön yhtä järjetön ku jumalan olemassa olo <.< eiku...

luxlapis
Seuraa 
Viestejä553
Liittynyt3.4.2007
Phony
sinenmaa
Olkoon meillä on kahden luonnollisen luvun välissä reaalilukujen joukko. Matemaatikkojen mukaan reaaliluku voi olla ääretön.

Tässä sinulla tulee ajatusvirhe. Puhut äärettömästä reaaliluvusta kun ilmeisetikin tarkoitat päättymätöntä reaalilukua, kuten esim. 1,1111... tai 0,9999... luvut ovat päättymättömiä, mutta eivät äärettömiä.

No, päättymätön päättyy siis himpun verran ennen kuin siitä tulisi ääretön

Satutko tietämään, montako prosenttia päättymätön on äärettömästä

Vierailija
sinenmaa
Phony
sinenmaa
Olkoon meillä on kahden luonnollisen luvun välissä reaalilukujen joukko. Matemaatikkojen mukaan reaaliluku voi olla ääretön.

Tässä sinulla tulee ajatusvirhe. Puhut äärettömästä reaaliluvusta kun ilmeisetikin tarkoitat päättymätöntä reaalilukua, kuten esim. 1,1111... tai 0,9999... luvut ovat päättymättömiä, mutta eivät äärettömiä.

No, päättymätön päättyy siis himpun verran ennen kuin siitä tulisi ääretön

Satutko tietämään, montako prosenttia päättymätön on äärettömästä


en mutta satun tietämään ettei jumalaa ole <.<

Vierailija
sinenmaa

No, päättymätön päättyy siis himpun verran ennen kuin siitä tulisi ääretön

Ei siitä tule ääretön tai pääty missään vaiheessa. Vaikka summalla olisi ääretön määrä termejä se ei aina johda äärettömyyteen.

Klassinen nuoliesimerkki. Nuoli matkaa ensin puolet matkasta, sitten neljäsosan, sitten kahdeksasosan jne. 1/2 + 1/4 + 1/8... = 1

Voit kokeilla tuota jollain tikulla. Laita ensin sormi puoliväliin, sitten siitä jäljelläolevasta matkasta puolet eteenpäin, sitten taas puolet jäljelläolevasta jne. Tuo ei tietenkään todista että se lopullinen summa olisi koko matka, mutta se osoittaa että se on aina pienempi kuin koko matka.

Tästä pääsemme sitten raja-arvon käsitteeseen jossa summan raja-arvo termien määrän kasvaessa äärettömyyteen lähestyy jotain tiettyä pistettä.

luxlapis
Seuraa 
Viestejä553
Liittynyt3.4.2007
Raivomielen Unet
sinenmaa

No, päättymätön päättyy siis himpun verran ennen kuin siitä tulisi ääretön

Ei siitä tule ääretön tai pääty missään vaiheessa. Vaikka summalla olisi ääretön määrä termejä se ei aina johda äärettömyyteen.

Klassinen nuoliesimerkki. Nuoli matkaa ensin puolet matkasta, sitten neljäsosan, sitten kahdeksasosan jne. 1/2 + 1/4 + 1/8... = 1

Voit kokeilla tuota jollain tikulla. Laita ensin sormi puoliväliin, sitten siitä jäljelläolevasta matkasta puolet eteenpäin, sitten taas puolet jäljelläolevasta jne. Tuo ei tietenkään todista että se lopullinen summa olisi koko matka, mutta se osoittaa että se on aina pienempi kuin koko matka.

Tästä pääsemme sitten raja-arvon käsitteeseen jossa summan raja-arvo termien määrän kasvaessa äärettömyyteen lähestyy jotain tiettyä pistettä.


Siis sittenkin äärettömyyttä havaittavissa? Mutta nykyaikana me tiedetään, ettei ääretöntä voi lähestyä. mikään luku ei ole lähempänä ääretöntä kuin mikä tahansa muu luku. Ei siis ole loogista sanoa, että jokin asia lähesty ääretöntä. Ehkäpä vielä viime vuosituhannella uskottiin, että ääretöntä voidaan lähestyä, mutta me modernit ihmeiset kyllä tajutaan, että se oli silloin, kun ihminen oli vielä paljossa kehittymätön.

Matematiikan pitää myös olla loogista. Sitä vastoin asia, joka lähestyisi ääretöntä, ei todellakaan kuulu loogisiin asioihin, joten pyydän sinua selittämään asiasi logiikalla, jos matematiikkaa ei voi loogistaa.
Jos nimittäin olisi totta, että jokin voi lähestyä ääretöntä, niin silloin sellainen äärettömyys olisi luku, mutta koska täälläkin on sanottu, että luvut ja äärettömyys on eri juttuja, niin siksi ääretöntä ei voi lähestyä rajallisesti.
Missä vaiheessa sitten luku muuntuu äärettömäksi? Onko se Jumala, joka muuntaa sellaisen luvun äärettömäksi, jonka piirtämisen matemaatikko on jättänyt laiskuuttaan kesken?

Toisaalta on sanottu, että tiede on itseään korjaava, eli jos matematiikassa havaitaan aksioomavirheitä, niin ne tulee korjata, koska muutoin tiede ei voi lähestyä rajatta totuutta.

Ilmeisesti äärettömyys on käsitetty väärin; jos luvussa on äärettömästi numeroita, niin se on tasan yhtä suuri äärettömyys kuin mikä tahansa äärettömyys. Luvun ei siis tarvitse lähestyä ääretöntä; riittää, että luvun termit lähestyvät ääretöntä, niin se on sama asia.

Toisaalla kuitenkin totesin, että ei ole viisasta jättää luvun piirtäminen kesken, ja ikään kuin jättää muiden arvailun varaan, mitä se tarkoittaa, vaan jos väittää jonkun luvun lähestyvän ääretöntä, niin kehotan sellaista sitten naputtelemaan siitä luvusta vähintään 90 prosenttia. Antaahan ope lapsellekin matikasta ehdot, jos lapsi jättää joka numeron piirtämisen kesken ja siirtyy aina seuraavaan, joten matemaatikoilta pitää voida vaatia vähintään sama luvun kokonaan piirtäminen ennen kuin matemaatikko saisi luvan siirtyä piirtämään seuraavaa lukua.

Tähän mennessä matemaatikot eivät ole vielä koskaan naputelleet ääretöntä lukua tai edes puoliääretöntä, joka johtuu pelkästään matemaatikkojen laiskuudesta

Vierailija
sinenmaa
Mutta nykyaikana me tiedetään, ettei ääretöntä voi lähestyä. mikään luku ei ole lähempänä ääretöntä kuin mikä tahansa muu luku. Ei siis ole loogista sanoa, että jokin asia lähesty ääretöntä. Ehkäpä vielä viime vuosituhannella uskottiin, että ääretöntä voidaan lähestyä, mutta me modernit ihmeiset kyllä tajutaan, että se oli silloin, kun ihminen oli vielä paljossa kehittymätön.

Käytä termiä "kasvaa rajatta", sillä se ajaa tässä tapauksessa saman asian kuin "lähestyy ääretöntä" ja on kenties helpommin ymmärrettävissä.

sinenmaa
Missä vaiheessa sitten luku muuntuu äärettömäksi?

Esim. lim (x->0+) 1/x

sinenmaa
Ilmeisesti äärettömyys on käsitetty väärin; jos luvussa on äärettömästi numeroita, niin se on tasan yhtä suuri äärettömyys kuin mikä tahansa äärettömyys.



No ei. Luvussa 0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... on ääretön määrä yhteenlaskettavia ja summa on silti äärellinen eli 1.

sinenmaa
Tähän mennessä matemaatikot eivät ole vielä koskaan naputelleet ääretöntä lukua tai edes puoliääretöntä, joka johtuu pelkästään matemaatikkojen laiskuudesta

Ylempänä on ääretön luku (tosin raja-arvona). Kysynkin nyt sinulta, että mitä tarkoitat "puoliäärettömällä" luvulla?

Vierailija
sinenmaa

Siis sittenkin äärettömyyttä havaittavissa? Mutta nykyaikana me tiedetään, ettei ääretöntä voi lähestyä. mikään luku ei ole lähempänä ääretöntä kuin mikä tahansa muu luku. Ei siis ole loogista sanoa, että jokin asia lähesty ääretöntä. Ehkäpä vielä viime vuosituhannella uskottiin, että ääretöntä voidaan lähestyä, mutta me modernit ihmeiset kyllä tajutaan, että se oli silloin, kun ihminen oli vielä paljossa kehittymätön.

En ole nyt aivan varma sekoitatko nyt nuo asiat, termien määrän äärettömyyden ja itse summan arvon äärettömyyden. Termien määrä kyllä on ääretön. Mutta itse summan lopputulos on äärellinen. Ja nykyään juuri voidaan puhua helposti matematiikassa äärettömyyksistä. Ne ovat yksiselitteisesti määriteltyjä asioita. Ja yllättäen äärettömyyksiäkin on eri kokoisia.

sinenmaa

Matematiikan pitää myös olla loogista. Sitä vastoin asia, joka lähestyisi ääretöntä, ei todellakaan kuulu loogisiin asioihin, joten pyydän sinua selittämään asiasi logiikalla, jos matematiikkaa ei voi loogistaa.
Jos nimittäin olisi totta, että jokin voi lähestyä ääretöntä, niin silloin sellainen äärettömyys olisi luku, mutta koska täälläkin on sanottu, että luvut ja äärettömyys on eri juttuja, niin siksi ääretöntä ei voi lähestyä rajallisesti.
Missä vaiheessa sitten luku muuntuu äärettömäksi? Onko se Jumala, joka muuntaa sellaisen luvun äärettömäksi, jonka piirtämisen matemaatikko on jättänyt laiskuuttaan kesken?

Kyllä matematiikka on loogista. Miksi piirtää luku äärettömyyteen asti kun hölmömpikin kaveri näkee suoraan miten se jatkuu? Annetaan mukava käytännön esimerkki.

Laskehan jakokulmassa 1/3. Huomaat että joudut silmukkaan joka tuottaa ulos 0.333... eli kolmosia niin pitkälle kun vain jaksat riipustaa. Nyt kun meillä on paperilla tuo epäonninen kolmasosa ja siitä riipustettu ~20 kolmosta ja alkanut jo ahdistamaan että onko tässä mitään järkeä voidaan havaita siitä jotain säännöllisyyttä. Tarkkaan katsoen ja miettien sitä ymmärtää että katos, eihän tämä lopu koskaan. Aina kun lasken yhden kolmosen ikäänkuin 'palaan takaisin' ja tulee uusi kolmonen mutta nyt kymmenesosa edellisestä eli siihen perään. Tämähän jatkuu aina. Siksipä vain merkitsen tähän että tämä ei pääty ikuna. Miksi ihmeessä täytyisi raapustaa niitä ikuisuuksiin kun selvästi nähdään mitä sieltä tulee? Mitä 'kesken' jättämistä siinä on? Tuo on sitä kuuluisaa logiikkaa.

Huomaa että kyseessä ei ole nyt käsitteen 1/3 huonous. Sillä esim kolmikannassa tämä olisi 0.1 ja 12 kannassa 0.4. Mukavan tarkkoja lukuja.

Meillä on myöskin keinot muuntaa tuollainen ääretön desimaalikehitelmä takaisin murtoluvuksi. Ei ole mitään syytä olettaa että näin ei myös olisi. Sillä jokaisesta murtoluvusta saadaan yksikäsitteinen desimaalikehitelmä ulos. Tämä taidettiin opettaa yläasteen aikana.

Filosofiselta kannalta tässä ahdistanee se, että onkin pidettävä äärettömän pituisua desimaalikehitelmiä saman'arvoisina' kuin päättyviä.

sinenmaa

Ilmeisesti äärettömyys on käsitetty väärin; jos luvussa on äärettömästi numeroita, niin se on tasan yhtä suuri äärettömyys kuin mikä tahansa äärettömyys. Luvun ei siis tarvitse lähestyä ääretöntä; riittää, että luvun termit lähestyvät ääretöntä, niin se on sama asia.

Ja ei edes ole. Vaikka summan termien lukumäärä lähestyy ääretöntä niin summan arvo ei lähesty.

Ota se tikku käteen ja tee se nuolimatkaesimerkki.

sinenmaa

Toisaalla kuitenkin totesin, että ei ole viisasta jättää luvun piirtäminen kesken, ja ikään kuin jättää muiden arvailun varaan, mitä se tarkoittaa,

Ei se ole arvailun varassa. Se on yksiselitteisesti määritelty. Ja huomaa ettei luvun piirtäminen ole jätetty kesken. Esimerkiksi merkki ... luvun perässä yksiselitteisesti kertoo että sama luku jatkuu. Ei siinä ole arvailulla varaa.

Toisaalta vastaavalla tavalla voisi sanoa että jos haluat sanoa 1 niin sinun pitää kirjoittaa 1.0000000... aina äärettömyyteen asti, muu on laiskuutta.

sinenmaa

Tähän mennessä matemaatikot eivät ole vielä koskaan naputelleet ääretöntä lukua tai edes puoliääretöntä, joka johtuu pelkästään matemaatikkojen laiskuudesta

Tai sitten asian fysikaalisesta mahdottomuudesta. Ja yrityksen puute taas johtuu sen suunnattomasta typeryydestä.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
Raivomielen Unet
Sillä jokaisesta murtoluvusta saadaan yksikäsitteinen desimaalikehitelmä ulos.

Hyvä viesti, mutta tätä jäin ihmettelemään. Voihan samalla murtoluvulla on useita desimaalikehitelmiä:

1/1 = 1,00...
1/1 = 0,99...

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Kolmikannassa kyllä kolmella jaolliset luvut tulevat täsmällisiksi, mutta kolmikannallakin jaottomat luvut muuttuvat vastaavasti äärettömän pitkiksi lukusarjoiksi. Tämä on tietysti minkä tahansa äärellisen lukujärjestelmän ongelma.

Sataa kappaletta ei voi jakaa yksiköitä pilkkomatta tasan kolmeen osaan, riippumatta siitä kuinka monta merkkiä käytettävä lukujärjestelmä sisältää.

Vierailija
hmk
Raivomielen Unet
Sillä jokaisesta murtoluvusta saadaan yksikäsitteinen desimaalikehitelmä ulos.



Hyvä viesti, mutta tätä jäin ihmettelemään. Voihan samalla murtoluvulla on useita desimaalikehitelmiä:

1/1 = 1,00...
1/1 = 0,99...




Voi mutta ei koskaan siten että olisi kaksi murtolukua millä olisi jokin yhteinen desimaalikehitelmä. Tätä tarkoitin yksikäsitteisyydellä.

David
Kolmikannassa kyllä kolmella jaolliset luvut tulevat täsmällisiksi, mutta kolmikannallakin jaottomat luvut muuttuvat vastaavasti äärettömän pitkiksi lukusarjoiksi. Tämä on tietysti minkä tahansa äärellisen lukujärjestelmän ongelma.

Sataa kappaletta ei voi jakaa yksiköitä pilkkomatta tasan kolmeen osaan, riippumatta siitä kuinka monta merkkiä käytettävä lukujärjestelmä sisältää.

100/3 on kolmikannassa 1020.1
Samoin kuten 3/2 on 10 kannassa 1.5 vaikka kolmea ei voi jakaa tasan kahteen osaan.
Kehitelmästä ei tule ääretön. Se oli pointti.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Raivomielen Unet

100/3 on kolmikannassa 1020.1
Samoin kuten 3/2 on 10 kannassa 1.5 vaikka kolmea ei voi jakaa tasan kahteen osaan. Kehitelmästä ei tule ääretön. Se oli pointti.

Niin ei nyt juuri siitä, mutta jostain toisesta luvusta tulee päättymätön sarja kolmikantaisessakin järjestelmässä. Ymmärsin kyllä pointin, kunhan koetan mieltää ja täsmentää yleisemminkin.

Uusimmat

Suosituimmat