Eksponentin ratkaiseminen

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Luultavasti supistusvaiheessa lasku menee päin seiniä.
Eli miten tästä tulisi lähteä oikeaoppisesti eteenpäin?

(3^x * 9) / (9^2x) = 1/81

Kommentit (14)

Vierailija

Sepitin lisäksi vähän tekstiä että mitä teen.

(3^x * 9) / (9^2x) = 1 / 81
[size=67:38irmz96]Muutetaan 9 > 3^2 ja 81 > 3^4.[/size:38irmz96]
(3^x * 3^2) / ((3^2)^2x) = 1 / (3^4)
[size=67:38irmz96]Käytetään tavallisia muunto sääntöjä tai mitä olikaan.[/size:38irmz96]
(3^(x+2)) / (3^4x) = 1 / (3^4)
(3^(x+2)) / (3^4 * 3^x) = 1 / (3^4) |*(3^4)
[size=67:38irmz96]Erotetaan vasemman puolen nimittäjä kahteen osaan, jolloin voidaan molemmat puolet kertoa 3^4:llä ja supistaa nämä pois.[/size:38irmz96]
(3^(x+2)) / (3^x) = 1 / 1
[size=67:38irmz96]Kerrotaan ristiin[/size:38irmz96]
3^(x+2) = 3^x
[size=67:38irmz96]Kantaluvut ovat samat niin vertaillaan vain exponentteja.[/size:38irmz96]
x + 2 = x
2 = x - x
2 = 0
Identtisesti epätosi.
Yhtälö ei toteudu millään X:n arvolla.

Vierailija

Alku menee kuten Lustitarhan ratkaisussa. Yhtälöstä 2*2x = 7*x saadaan

2 = 7x/2x = (7/2)*x

x = 2/(7/2) = 2/3,5 (likimain 0,57)

edit: Äh, eipä tainnut olla ihan noinkaan. No, ainakin yritin.

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Herätys. Ei tämä noin vaikea sentään ole.

(3^x * 9) / (9^(2x)) = 1 / 81
(3^x*3^2)/(3^(2*2x))=1/3^4
3^(x+2)/3^(4x)=3^(-4)
3^(x+2-4x)=3^(-4)
3^(2-3x)=3^(-4)
2-3x=-4
-3x=-6
x=2

Vierailija

eikös näitä helpoimmin logaritmeilla ratkota?

[(3^x)*9/(9^2x)]=1/81
(3^x)*729=9^2x
lg(3^x)+lg729=lg(9^2x)
xlg3-2xlg9=-lg729
x(lg3-2lg9)=-lg729
x=-lg729/(lg3-lg81) ja tämä laskimeen, saadaan
x=2

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
allunen
eikös näitä helpoimmin logaritmeilla ratkota?

[(3^x)*9/(9^2x)]=1/81
(3^x)*729=9^2x
lg(3^x)+lg729=lg(9^2x)
xlg3-2xlg9=-lg729
x(lg3-2lg9)=-lg729
x=-lg729/(lg3-lg81) ja tämä laskimeen, saadaan
x=2


Logaritmeilla laskeminen onnistuu kanssa, mutta jotkut matemaatikot, kuten minä, eivät pidä todistusta täsmällisenä, ellei sitä pysty ilman elektronisia laskuvälineitä tarkastamaan. Tietysti sovelluksissa on kätevämpää laskea logaritmeilla. Mutta logaritmithan keksittiin yleistämään tämäntyyppisten yhtälöiden ratkaisut, joten minä en ainakaan keksi miten lausekkeen -lg 729/(lg 3-lg 81) voisi todistaa kakkoseksi vetoamatta jossain kohti logaritmin määritelmään.

Sinänsä huvittavaa, että muutat lg(9^(2x)):n muotoon 2x lg 9, mutta kuitenkin lopussa muutat 2 lg 9:n muotoon lg 81. Suoraviivaisempaahan olisi sanoa lg(9^(2x))=x lg 81, mutta ei tuo väärin ole.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Puuhikki
Mutta logaritmithan keksittiin yleistämään tämäntyyppisten yhtälöiden ratkaisut, joten minä en ainakaan keksi miten lausekkeen -lg 729/(lg 3-lg 81) voisi todistaa kakkoseksi vetoamatta jossain kohti logaritmin määritelmään.

Kuitenkin jälkiviisaasti on helppo todeta(logaritmin ominaisuuksiin vedoten), että
lg(729) = lg(81²/3²) =-2lg(3/81)
ja
lg(3)-lg(81) = lg(3/81),

jolloin tuo lauseke supistuu kivasti kakkoseksi.

Laskin auttaa tässä arvaamaan tuon paremmin.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

o_turunen
Seuraa 
Viestejä10636
Liittynyt16.3.2005

Heh. Pystytkös sen paremmin perustelemaan. Arvaamalla ja näytön
desimaalien määrää säätämällä nämä asiat hoidetaan ja todistetaan.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.
Korant: Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
o_turunen
Heh. Pystytkös sen paremmin perustelemaan. Arvaamalla ja näytön
desimaalien määrää säätämällä nämä asiat hoidetaan ja todistetaan.

juurihan todistin yllä....

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005
bosoni
Kuitenkin jälkiviisaasti on helppo todeta(logaritmin ominaisuuksiin vedoten), että
lg(729) = lg(81²/3²) =-2lg(3/81)
ja
lg(3)-lg(81) = lg(3/81),

jolloin tuo lauseke supistuu kivasti kakkoseksi.


Totta, mutta sen todistamiseksi, että lg(81²/3²) =-2lg(3/81) ja lg(3)-lg(81) = lg(3/81) joudutaan menemään määritelmiin asti, joten siksi suosittelen tekemään tehtävän kuten yllä laskin.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Niin, mutta minulla onkin fysiikan opiskelijana vähän rennompi ote näihin. Lähes ainahan laskuissa joihinkin tunnetuksi oletettuihin sääntöihin vedotaan ilman erillistä todistamista. Tässä tapauksessa logaritmin ominaisuuksiin.

Todistukset löytyy usein valmiina oppikirjoista, ja jos ei löydy, niin saattaa tulla harjoitustehtävänä. Jos ei sitäkään, niin mielestäni voi luottaa siihen, että joku on joskus todistanut laskusäännön ehtoineen. Meillä moni asia jääkin todistamatta, jos todistus on hankala.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vanha jäärä
Seuraa 
Viestejä1557
Liittynyt12.4.2005
Jino
Luultavasti supistusvaiheessa lasku menee päin seiniä.
Eli miten tästä tulisi lähteä oikeaoppisesti eteenpäin?

(3^x * 9) / (9^2x) = 1/81

Yhtälön saa helposti potenssin laskusäännöillä muotoon

9*3^x/(3^x)^4 = 1/81.

Vaihdetaan sitten muuttuja sijoituksella z = 3^x, eli

9*z/z^4 = 1/81,

josta saadaan helposti tulos z = 9. Tästä edelleen takaisinsijoituksella yhtälö

3^x = 9,

joka muodollisesti ratkeaisi helpoiten ottamalla molemmista puolista kolmikantainen logaritmi.

Vanha jäärä

Uusimmat

Suosituimmat