Pakonopeus

Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Ihmetyttää tämä pakonopeus juttu
http://fi.wikipedia.org/wiki/Pakonopeus

Kiihdytyksen jälkeenhän kappaleelle on jokin vakionopeus eli liikemäärä. Kun toinen kappale vaikuttaa siihen voimalla F, vaikkakin jatkuvasti pienenevällä sellaisella, niin etenevän kappaleen liikemäärähän pitäisi vähentyä koko ajan tuon voiman impulssin vaikutuksesta. Olen kysymysmerkkejä täynnä.

Pakonopeushan selittyy kyllä sillä, että muut taivaankappaleet alkavat vetää sitten tuota etenevää kappaletta puoleensa, jolloin niiden voimien lisääntyessä tuo alkuperäinen voima jää tappiolle, ts. resultantin suunta muuttuu.

Sivut

Kommentit (86)

Vierailija

Kyllähän pakenevan kappaleen liikemäärä koko ajan väheneekin sitä mukaan kun sen nopeus hidastuu. Juju siinä onkin seuraava virke "...kappaleen nopeus on sen äärettömän kauas kuljettua yhä suurempi tai yhtä suuri kuin nolla".

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Snaut
Kyllähän pakenevan kappaleen liikemäärä koko ajan väheneekin sitä mukaan kun sen nopeus hidastuu. Juju siinä onkin seuraava virke "...kappaleen nopeus on sen äärettömän kauas kuljettua yhä suurempi tai yhtä suuri kuin nolla".

Minusta vain tuntuu siltä, että äärettömän kauas ei voida päästä, ellei se lähtönopeus ole ääretön. Sanoisinpa tuota matemaattiseksi harhaksi, noin se ei voi periaatteessa mennä.

Paul M
Seuraa 
Viestejä8560
Liittynyt16.3.2005

Hyvä pohdinnan aihe. Jos polttoainetta riittää nerokkaassa hitaassa raketissa, niin eikö maan vaikutuspiiristä pääse pois vaikka kävelynopeudella?

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Vierailija
David
Snaut
Kyllähän pakenevan kappaleen liikemäärä koko ajan väheneekin sitä mukaan kun sen nopeus hidastuu. Juju siinä onkin seuraava virke "...kappaleen nopeus on sen äärettömän kauas kuljettua yhä suurempi tai yhtä suuri kuin nolla".

Minusta vain tuntuu siltä, että äärettömän kauas ei voida päästä, ellei se lähtönopeus ole ääretön. Sanoisinpa tuota matemaattiseksi harhaksi, noin se ei voi periaatteessa mennä.

Liittyy varmaan siihen että vetovoima vähenee suhteessa etäisyyden neliöön, mutta kappaleen nopeus ei hidastu potenssissa suhteessa etäisyyteen.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Paul M
Hyvä pohdinnan aihe. Jos polttoainetta riittää nerokkaassa hitaassa raketissa, niin eikö maan vaikutuspiiristä pääse pois vaikka kävelynopeudella?

Totta maar pääsee. Jäin tässä miettimään tuota kehänopeuden vaikutusta. Alus alkaa kiertyä vastapäivään maahan nähden, jos sen kehänopeutta ei lisätä samassa suhteessa kuin etäisyys maahan kasvaa. Stationäärisellä radallahan alus pysyy paikallaan maahan nähden, kun sillä on riittävä nopeus maapallon keskiön ympäri. Tuo nopeus pitää saavuttaa, jos halutaan jäädä killumaan avaruuteen maan suhteen paikoilleen, ilman lisävoimia.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Pertsa3

Liittyy varmaan siihen että vetovoima vähenee suhteessa etäisyyden neliöön, mutta kappaleen nopeus ei hidastu potenssissa suhteessa etäisyyteen.

Ei tuo ajatuskulku sovi tähän tilanteeseen. Itse pyörittelin vähän ympyräliikkeen kaavojen kautta tuota tilannetta ja sain yhtälöt näin.

F = Gm1m2/r^2 = m2v^2/r => tasapainoyhtälöt

Gm1/r = v^2

v = SQRT(Gm/r), jossa
v = kappaleen nopeus ympyräradalla
m= keskuskappaleen massa
r = etäisyys keskusmassasta

Toinen kaava
G1*v2^2 / G2*v1^2 = r1/r2, jossa

G1,G2 = gravitaatiot etäisyydellä 1 ja 2
r1,r2 = etäisyydet 1 ja 2
v1, v2 = nopeudet käännepisteissä eli kauimpana ja lähinnä massakeskipistettä.

Näissä tosin on tuo alkuyhtälö v^2 / r, on tosin otettu siitä lähtökohdasta, että toinen kappale pysyy jäykän keskuskappaleen suhteen ympyräradalla. Tämähän ei ole todellinen tilanne kahden vapaan kappaleen tapauksessa.

Vierailija

Eikös tämä ole niitä keskipakois voimia jotka vaikuttaa vain pinnalla, elikkä jos tykillä ammuttaisiin maanpinnalta niin vaadittaisiin se 11km/s vauhti jotta kuula lentäisi (ilman lisä kiihdytystä) niin kauvaksi että kappale irtoaisi maan vetovoiman piiristä.

(jos ei niin onhan toikin otettava huomioon).

F = ratanopeus - KappaleenNopeus, jos kappaleella on rata nopeus niin se ei myöskään putoa että kohoa.

Mutta lähtönopeus vähenee maan vetovoiman verran kokoajan jollei kappaleelle anneta lisä vauhtia, elikkä rata määräytyy sen mukaan mitä nopeempaa kappale liikkuu maahan nähen (suunnasta riippumatta).

Vierailija
Einesteini
Eikös tämä ole niitä keskipakois voimia jotka vaikuttaa vain pinnalla, elikkä jos tykillä ammuttaisiin maanpinnalta niin vaadittaisiin se 11km/s vauhti jotta kuula lentäisi (ilman lisä kiihdytystä) niin kauvaksi että kappale irtoaisi maan vetovoiman piiristä.

(jos ei niin onhan toikin otettava huomioon).

Ei tämä oikeastaan ole keskipakoisvoimajuttu, mutta muuten tuo on ihan totta.

Vetovoima pienenee etäisyyden neliössä. Äärettömän kaukana voima on nolla. Pakonopeus lasketaan siis siten, että mikä alkunopeus tarvitaan, jotta kappale tosiaan pääsisi ilman mitään ulkpuolisia häiriöitä äärettömän kauas toisesta kappaleesta. Tässä Maa vetää mua puoleensa hiukan reilun tuhannen newtonin voimalla. 7000 km morkeudessa voima on enää 250 N. Kun lasketaan vetovoimalle integraali 6700 km:stä äärettömään saadaan energiantarve Maasta lähtevälle kappaleelle. Energiasta on sitten helppo laskea tarvittava nopeus. Koko laskuun on tietenkin olemassa suora kaavakin, mutta energian kautta se on johdettavissa.

edit Laskun lähtökohtana käytetään 6700 km, koska lähdetään Maan pinnalta ja etäisyydet on keskipisteestä

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Niin siis F = mv^2 / r ja jos ei haluta massan tai voiman kanssa leikkiä niin sitten yksinkertaisesti käytetään kiihtyvyyksiä g = v^2/r tai kulmanopeuden w avulla ilmaistuna g = w^2r. Eli kun tarvittavan keskeiskiihtyyden arvo on sama kuin gravitaation, niin kappale pysyy samalla etäisyydellä.

Tuo pakonopeus liittynee elliptisen radan ominaisuuksiin, tosin jos isoakseli menee äärettömäksi niin se lyhyempi menee nollaan, joten silloinhan se törmää . Onko se silloin pois maan vetovoiman piiristä?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005

No otetaan matematiikasta esimerkki, joka selventää sitä että ikuisesti hidastuva kappale ei pysähdy koskaan. Kuvitellaan, että kappaleen nopeus pienenee puoleen joka sekunti. Selvästi huomataan, että kapple hidastuu ikuisesti, mutta ei pysähdy koskaan. 1/r^2 muotoisessa painovoimakentässä hidastuvuuden muoto lienee erilainen, mutta idea on sama.

Luonnollisesti käytännön maailmassa pakonopeus on jossakin määrin teoreettinen suure. Se määräytyy ehdosta, että kappaleen liike-energia on sen potentiaalienergian suuruinen. Käytännössä sillä nopeudella liikkuva kappale luonnollisesti joutuu aikansa etäännyttyään muiden voimien vaikutukseen ja sen kohtaloa ei voi ennustaa. Äärettömän kauas se ei tietysti etene koskaan, ei edes ideaalimaailmassa, koska matka vaatii äärettömän ajan. Äärettömyydet ovat vain raja-arvotarkastelujen seurauksia, joille ei ole syytä antaa käytännön laskuissa liikaa painoarvoa.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Neutroni
No otetaan matematiikasta esimerkki, joka selventää sitä että ikuisesti hidastuva kappale ei pysähdy koskaan. Kuvitellaan, että kappaleen nopeus pienenee puoleen joka sekunti. Selvästi huomataan, että kapple hidastuu ikuisesti, mutta ei pysähdy koskaan.

"Selvähän tää on" sanoi Rokka aikoinaan.

Neutroni

1/r^2 muotoisessa painovoimakentässä hidastuvuuden muoto lienee erilainen, mutta idea on sama.

Idea ei mielestäni ole ollenkaan sama. Tässä hidastuminen on sidottu matkaan ei aikaan, kuten tuossa edellä. Ei kait tämäkään nyt pitäisi mitenkään ylivoimainen laskutoimitus olla suoraviivaisessa liikkeessä. Kiertoradat mutkistavat asiaa, mutta suoraviivainen liikehän on vain yksi erikoistapaus muista vaihtoehtoisista "kiertoradoista". Jos otamme kaksi toistensa suhteen liikkumatonta kappaletta ja "räjäytämme" ne erilleen, niin kyllä ne palaavat takaisin samaan pisteeseen tietyn aikavakion T puitteissa.

Neutroni

Luonnollisesti käytännön maailmassa pakonopeus on jossakin määrin teoreettinen suure. Se määräytyy ehdosta, että kappaleen liike-energia on sen potentiaalienergian suuruinen. Käytännössä sillä nopeudella liikkuva kappale luonnollisesti joutuu aikansa etäännyttyään muiden voimien vaikutukseen ja sen kohtaloa ei voi ennustaa. Äärettömän kauas se ei tietysti etene koskaan, ei edes ideaalimaailmassa, koska matka vaatii äärettömän ajan. Äärettömyydet ovat vain raja-arvotarkastelujen seurauksia, joille ei ole syytä antaa käytännön laskuissa liikaa painoarvoa.

Tästä olemme kyllä samaa mieltä. Riittävän tarkkoja arvojahan käytännön ratalaskuihin nuo raja-arvoihin ja energiataseisiin perustuvat systeemit tarjoavat.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä26890
Liittynyt16.3.2005
David
Idea ei mielestäni ole ollenkaan sama. Tässä hidastuminen on sidottu matkaan ei aikaan, kuten tuossa edellä.



Tässä tapauksessa matka ja aika ovat sidotut toisiinsa. No, lasketaan, ei tuo ole paha lasku.

Pieni pyörittely tuottaa yhtälön (d^2/dt^2)*r=-a*r^-2, jossa r on ammuttavan massan etäisyys vertailumassasta ja a on massoista ja gravitaatiovakiosta riippuva vakio. Otetaan valistunut arvaus, että ratkaisu on muotoa r(t)=b*t^x, jossa b on vakio ja x eksponentti. Pieni matemaattinen vääntö osoittaa, että yrite on diffisyhtälön ratkaisu, kun x=2/3.

Johonkin ajanhetkeen mennessä edetty matka on siis verrannollinen t^(2/3):een ja nopeus t^(-1/3):een. Havaitaan, kuten odottaa saattaa, että ajan kasvaessa rajatta kappale etääntyy rajattoman pitkälle, ja nopeus lähestyy nollaa.

Näköjään tuolle yhtälölle on pakko olla muitakin ratkaisuja, jotka tuottavat periodisia funktioita sidotuille tiloille, muta tämä ilmeisesti kuvaa tilannetta, jossa energiaa on painovoimakentästä vapautumiseen. Muiden tapausten ratkaisemiseksi pitäisi laskea nuo vakiot ja keksiä joku periodinen yrite.

Kiertoradat mutkistavat asiaa, mutta suoraviivainen liikehän on vain yksi erikoistapaus muista vaihtoehtoisista "kiertoradoista".



Eivät mutkista, pakonopeudessa ei huomioida muita kappaleita. Nopeuden suunnalla ei ole gravitaatiokentästä vapautumisen kannalta väliä, kunhan se on sellainen että pois ammuttava luotain ei törmää lähtöplaneettaansa.

Jos otamme kaksi toistensa suhteen liikkumatonta kappaletta ja "räjäytämme" ne erilleen, niin kyllä ne palaavat takaisin samaan pisteeseen tietyn aikavakion T puitteissa.

Nimenomaan eivät palaa, mikäli niille annetaan liike-energiaa enemmän kuin toistensa potentiaalikuopista poispääseminen vaatii. Energiaperiaatteen avulla asia lienee helpompi ymmärtää. Gravitaatio luo potentiaalikuopan, josta vapautumiseen vaaditaan tietty energiamäärä painoyksikköä kohti. Tuo energia on aina äärellinen. Pakonopeus seuraa siitä, että jos kappaleella annetaan massayksikköä kohti liike-energiaa enemmän kuin potentiaalikuopasta pääsy vaatii, siitä vain osa kuluu vapautumiseen ja sen jälkeenkin kappale liikkuu yhä poispäin milloinkaan palaamatta.

Paul M
Seuraa 
Viestejä8560
Liittynyt16.3.2005
Neutroni
No otetaan matematiikasta esimerkki, joka selventää sitä että ikuisesti hidastuva kappale ei pysähdy koskaan. Kuvitellaan, että kappaleen nopeus pienenee puoleen joka sekunti. Selvästi huomataan, että kapple hidastuu ikuisesti, mutta ei pysähdy koskaan.

Tuolla sarjalla on äärellinen raja-arvo ja kappale pysähtyy. Jos alkunopeus on vaikka 1 m/s, saavuttaa kappale 2 m huikean etäisyyden äärettömän ajan kuluessa. Kappale myös fyysisesti pysähtyy ja aivan vain kymmenissä sekunneissa, koska nopeasti saavutetaan Planckin matka kuljettavaksi.

Nopeuden on hidastuttava selvästi hitaammin kuin puoleen aina saman tarkasteluajan puitteissa, jotta etäisyys saa raja-arvoksi äärettömän. Raja-arvofunktion tai sarjakehitelmän voivat kertoa viimeksi kouluja käyneet. Varmaa on se, että sarja löytyy väliltä 1+0,5+0,25... (raja-arvo 2) ja 1+1+1+1... (raja-arvo ääretön)

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat