Apua algebraan (yliopistoalgebraan)

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Näinkin yksinkertainen Algebra II-kurssin tehtävä saa minut ripottelemaan tuhkaa ylleni:

Oletukset:
G ja H ryhmiä
f: G -> H homomorfismi
N = Ker(f)
G' G:n aliryhmä

Kohta i) H' = f(G') osoitettava H:n aliryhmäksi. Tämä on helppo.

Kohta ii) Osoitettava f^{-1}(H') = G'N = NG'.

G'N = NG' on suoraviivaista, ja osaan osoittaa, että G'N on f^{-1}(H'):n osajoukko. Mutta miten ihmeessä osoitan, että f^{-1}(H') on G'N:n osajoukko?

Pääsen siihen asti, että jos x kuuluu f^{-1}(H'), niin on olemassa y kuuluu G' jolla f(x) = f(y). (Ja myös olemassa z kuuluu N jolla f(x) = f(y)f(z) = f(yz).) Olisi helppoa, jos f olisi injektio, mutta kun ei välttämättä ole. Miten tästä eteenpäin, vai jotain muutako kautta tämän pitäisi aueta?

Kommentit (4)

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Jos x kuuluu alkukuvaan f^{-1} (H'), f(x) kuuluu ryhmään H' = f(G'),
joten x kuuluu G':hen. Siten f^{-1}(H') c G' c G'N.

Toiseen suuntaan todistaessa voidaan olettaa, että g'n on G'N:n alkio. Osoitetaan, että f(g'n) kuuluu f(G'):hen.

Nyt kun n kuuluu Ker f:ään, f(g'n) = f(g') f(n) = f(g'), sillä f on homomorfismi ja f(n) = 1. Koska f(g') c f(G'):hen, on väite todistettu.

Vierailija
Puuhikki
Jos x kuuluu alkukuvaan f^{-1} (H'), f(x) kuuluu ryhmään H' = f(G'),



Joo.

joten x kuuluu G':hen.

Miksi? Eihän f ole injektio. Siis voihan olla niin, että x:llä on sama kuva kuin jollain G':n alkiolla, mutta x ei itse kuulu joukkoon G'. Jos näin ei voi olla, niin miksi ei? (Saattaa seurata jostain homomorfismin ominaisuudesta, mutta en hoksaa...)

pöhl
Seuraa 
Viestejä875
Liittynyt19.3.2005

Osoitetaan, että jos x kuuluu f^{-1} (H'):hon, x kuuluu G'N:ään.
Jos x kuuluu f^{-1}(H'):hon, f(x) kuuluu H' = f(G'):hen, joten f(x) = f(g') jollain g'. Tällöin f(g'x^{-1}) = 1, joten g'x^{-1} kuuluu ytimeen N = ker f. Mutta koska N on G:n normaali aliryhmä, N sisältyy ryhmään g' N g'^{-1}, joten g'x^{-1} = g'n g'^{-1}. Tästä seuraa, että x^{-1} = ng'^{-1}, eli x = g'n^{-1}, joka on selvästi G'N:n alkio.

Vierailija

Kiitos. Tuo vastaus oli sikäli hyödyllinen, että en ymmärtänyt sitä, mutta sen luettuani osasin ratkaista tehtävän itse. Lupaan palata vaivaamaan foorumia uusilla vähän vaikeammilla algebran tehtävillä kunhan saan kurssia luettua eteenpäin

Uusimmat

Suosituimmat