Todennäköisyyslaskenta

Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Katselin tässä ihan mielenkiinnosta lukion todennäköisyyslaskennan opasta ja kiinnitin huomiota yhteen asiaan.

Oppaassa oli kaava sellaisen todennäköisyyden laskemiseen, jossa oli annettu A:n todennäköisyys ja B:n (jäljempänä olen käyttänyt O:ta ja Ö = 1 - O, kun tänne ei kaikkia merkkejä saa) todennäköisyys ja vastauksena saadaan todennäköisyys sille, että jompi kumpi tapahtuu.

Eli siis
P(AUO) = P(A) + P(O) - P(A&O)
Josta lopputuloksena tulee kyllä oikea tulos, mutta kritiikin kohteena näen sen, että kaavassa käytetään todennäköisyyksien yhteen ja vähennyslaskuja, mikä herättää hieman ihmetystä, koska todennäköisyyksiä ei mielestäni voi edes periaatteessa laskea yhteen.

Oikeampi ratkaisukaava on mielestäni
P(AUO) = 1 - P(Ä&Ö)
eli vähennetään yhdestä se todennäköisyys, että kumpikaan ei tapahdu.
Joka purettuna on P(AUO) = 1 - [(1 - P(A)) * (1 - P(O)]

Tuossa ei missään vaiheessa sorruta yhteenlaskuun vaan vastinarvojen ja kertomisen kautta saadaan oikea tulos. Kaavan johto on myös intuitiivisesti helpommin hahmotettavissa. En enää ihmettele, miksi lukiolaiset pitävät todennäköisyyslaskentaa hankalana.

Kommentit (11)

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005

P(A&O) = P(A)*P(O|A)

Ainoastaan, jos O on riippumaton A:sta, oikea puoli saa muodon P(A)*P(O).

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
hmk
P(A&O) = P(A)*P(O|A)

Ainoastaan, jos O on riippumaton A:sta, oikea puoli saa muodon P(A)*P(O).


No tuossa tapauksessa käytettiin sellaista esimerkkiä, jossa ne olivat riippumattomia. Pointti ole kuitenkin tuo kaavassa esiintyvää yhteenlasku, joka mielestäni sotii todennäköisyyslaskennan periaatetta vastaan.

Eikä kukaan muista (paitsi hikipinkot kaavojen ulkoa opettelijat) milloin saa laskea yhteen tai vähentää. Kun lähtee siitä, ettei koskaan lähde laskemaan mitään todennäköisyyksiä keskenään yhteen, niin pitäisi päästä oikeampaa lopputulokseen ja toisaalta ymmärtää paremmin mistä on kysymys.

Vierailija

Venn-diagrammit helpottavat hahmottamista. Yhteen- ja vähennyslaskut ovat tässä tapauksessa aivan järjellisiä operaatioita.

Esim. Lasketaan P(A U B), eli A tai B realisoituu.
Lasketaan yhteen A:n ja B:n "pinta-alat". Koska A ja B menevät osittain päällekkäin, leikkaus tulee lasketuksi kahdesti ja se on siis vähennettävä kerran. Siis kaavaksi tulee tuo P(A) + P(B) - P(A&B).

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Hahmottamisen helpottamiseen ehkä paremi ratkaisu on piirtää samankokoiset neliöt, jotka jakaa väliviivalla kahteen osaan, siten että toinen osa on varjostettu.

Kun erilliset neliöt (todennäköisyyskuvat) käännetään ristiin, niin varjostettujen osien päällekkäin meno kuvaa leikkausta ja koko alue ykköstä. Itse asiassa ko. kuviosta näkee hyvin nopeasti kaikki tarvittavat vaihtoehdot eri totuusarvoille.

Vierailija
David
-- todennäköisyyksiä ei mielestäni voi edes periaatteessa laskea yhteen.

Kerrotko hieman, miksi todennäköisyyksien yhteenlaskeminen tuntuu väärältä. Entä miksi niiden kertominen tuntuu luonnollisemmalta? Todennäköisyydet ovat kuitenkin lukuja siinä missä muutkin reaaliluvut, joten tokihan niilläkin pitää voida laskea.

totinen
Seuraa 
Viestejä4876
Liittynyt16.3.2005
Samuli
David
-- todennäköisyyksiä ei mielestäni voi edes periaatteessa laskea yhteen.



Kerrotko hieman, miksi todennäköisyyksien yhteenlaskeminen tuntuu väärältä. Entä miksi niiden kertominen tuntuu luonnollisemmalta? Todennäköisyydet ovat kuitenkin lukuja siinä missä muutkin reaaliluvut, joten tokihan niilläkin pitää voida laskea.
Ellei olla tarkkana, voidaan yhteenlaskun tuloksena saada todennäköisyydeksi yli yksi, mikä on selkeä merkki virheestä. Sen sijaan kertomalla todennäköisyyksiä ei voi mitenkään saada yli ykkösen.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
totinen
David
No juu, kyllähän tuossa voi joukko-oppia tietysti hyödyntää. Joskin tuossa saattaa hämärtyä se, mikä vastaa ykköstä.
Eiköhän se ole tuossa tapauksessa koko kuvan ala.

Onhan se, tosin tuo neliön (ykkösen) jakaminen osiin kuvaa asian hieman konkreettisemmin (saattaa olla toki, että jos joukko-oppi on selkäytimessä niin mylpyröilläkin pärjää).

Todennäköisyydet eivät ole luonteeltaan yhteenlaskettavia, tämä se perusprinsiiippi oli. Siksi niiden matemaattinenkin käsittely yhteenlaskettavina osina on, jos ei nyt virheellistä, niin helposti harhaanjohtavaa.

Vierailija
totinen
Ellei olla tarkkana, voidaan yhteenlaskun tuloksena saada todennäköisyydeksi yli yksi, mikä on selkeä merkki virheestä. Sen sijaan kertomalla todennäköisyyksiä ei voi mitenkään saada yli ykkösen.

No, eikö tämän takia kannata suosia nimenomaan yhteenlaskua --- yhteenlasku varoittaa toisinaan virheestä, kertolasku taas ei koskaan. ^_^

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005

Tietysti asia voidaan nähdä myös niin, että todennäköisyysarvoa kuvataan sitä vastaavalla joukolla eli todennäköisyyttä vastaavalla absoluuttiarvolla. Esim. jos todennäköisyys on 0.6 niin joukko on 60 otosta sadasta.

"Ongelmaksi" muodostuu sitten ehkä se, että kuvataan toinen otos esim. 325 kahdeksasta sadasta. Nyt nämä eivät olekaan saman keskenään saman arvoisia joukkoja, kuten puhtailla todennäköisyysarvoilla tilanne on. Eli yhteenlaskennassa voi tällä tavoin tulla pientä päänvaivaa.

Eli luvut 60 ja 325 eivät ole suoraan vertailukelpoisia keskenään, sitä vastoin niitä vastaavat todennäköisyysarvot ovat. Kun lasketaan kertomalla, ei tarvitse hakea erikseen yhteistä nimittäjää, josta voi seurata virhe.

No jaa, alkaa mennä turhan paljon spekulaation puolelle.

Uusimmat

Suosituimmat